Логаритъм

Логаритъм (Шаблон:Lang λόγος – „отношение“ + ἀριθμός – „число“) на дадено число $x$ е показателят на степента $y$, на която трябва да бъде повдигната основата $b$, за да се получи числото $x$. Логаритъмът от $x$ с основа $b$ се записва като Шаблон:Math или без скоби, като Шаблон:Math; и дори без уточняване на основата, като Шаблон:Math, когато не може да стане объркване. Изчисляването на логаритъма се нарича логаритмуване и е математическа функция, обратна на степенуването.

Графики на логаритмични функции от вида $y={\log }_b(x)$ с три често използвани основи: Шаблон:Math, $e$ и Шаблон:Math. Особените точки Шаблон:Math са означени с пунктирни линии, а всички криви се пресичат в точката Шаблон:Math, защото ${\log }_b(1)=0$ за всяка основа $b$.

Графиката на логаритъм с основа 2 пресича абсцисната ос при Шаблон:Math и преминава през точките Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap, съответстващи на Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math. Кривата се доближава асимптотично до ординатната ос, без да я пресича

От определението в явен вид връзката между логаритъм и степен е:

${\log }_b(x)=y$ тогава и само тогава, когато $b^y=x$.

Например, Шаблон:Math, тъй като Шаблон:Math.

В най-простия случай логаритъмът е броят на еднаквите множители в произведение от еднакви множители. Например, тъй като Шаблон:Math, логаритъмът с основа Шаблон:Math на Шаблон:Math е Шаблон:Math.

По-общо, степенуването позволява всяко положително реално число да бъде повдигнато на всяка реална степен, като резултатът е винаги положителен, така че логаритъмът на всеки две положителни реални числа $b$ и $x$, където $b$ е различно от Шаблон:Math, е винаги уникално реално число Шаблон:Mvar. Числата $b$ и $x$ най-често са реални, но има и теория за комплексните логаритми.

Логаритъмът с основа Шаблон:Math (Шаблон:Math) се нарича десетичен логаритъм и се използва често в науката и техниката. Натуралният логаритъм има за основа неперовото число Шаблон:Math (Шаблон:Math) и широко се използва в математиката и физиката, заради своята проста производна. За тези две основи се използват и специални означения – Шаблон:Math вместо Шаблон:Math и Шаблон:Math вместо Шаблон:Math. Двоичният логаритъм има основа Шаблон:Math (Шаблон:Math) и често се използва в компютърните науки.

Цялата част от логаритъма се нарича характеристика, а дробната част се нарича мантиса. Например ${\log }_{10}253=2,40312$ има характеристика $2$, а мантисата е $0,40312$.

Логаритмите започват да се използват в началото на XVII век от Джон Непер като средство за опростяване на някои изчисления. Те бързо намират широко приложение в науката и техниката за изчисления със сметачна линия или ръчно с логаритмична таблица. При тях се използва едно важно свойство на логаритмите – сумата от логаритмите на две числа е равна на логаритъм от тяхното произведение: Шаблон:Nowrap. Съвременното означение на логаритмите е въведено през XVIII век от Леонард Ойлер, който открива и тяхната връзка с експоненциалната функция.

Аналогично на логаритъма на реалните числа, комплексният логаритъм е обратна функция на експоненциалната функция при комплексните числа. Друг вариант на логаритмичната функция е дискретният логаритъм, използван в криптографията.

Логаритмичните скали се използват за по-компактно изобразяване на величини, които варират в широки граници. Например, децибелът е логаритмична мярка, измерваща отношения (електрически потенциали, мощности или звуково налягане). В химията водородният показател (pH) е логаритмична мярка за киселинността на воден разтвор. Логаритмите се срещат често в различни научни формули, както и в измервания за сложността на алгоритми и при фракталите. С тях се описват музикалните интервали, участват в оценки за броя на простите числа или в някои модели на психофизиката.

Обща информация

Събирането, умножението и степенуването са трите основни аритметични действия. Събирането, най-простото от тях, е обратимо чрез изваждане. Така събирането на 2 и 3 дава 5, като процесът на добавяне на 2 е обратим чрез изваждане на 2: 5 – 2 = 3. Умножението, средното по сложност действие, е обратимо чрез деление – удвояването на $x$ (умножението на $x$ с 2), е обратимо чрез деление на 2. Например, умножението $3\cdot 2=6$ е обратимо чрез делението $6/2=3$. Смисълът на логаритмите е подобно обръщане на основно аритметично действие – повдигането на число на дадена степен, наричано степенуване. Например, повдигането на 2 на трета степен дава 8, тъй като 8 е произведението на три множителя 2:

$2^3=2\times 2\times 2=8$

Логаритъмът от 8 с основа 2 е 3, което изразява факта, че 2 трябва да се повдигне на трета степен, за да се получи 8. Логаритмуването е обратно действие на степенуването, което определя степенния показател, за разлика от коренуването, което също е обратно действие на степенуването, което определя основата на степента (в примера $\sqrt[3]{8}=2$).

Степенуване

Шаблон:Основна Действието степенуване е ключово за разбирането на логаритмите. Повдигането на $b$ на $n$-та степен, където $n$ е естествено число, се извършва чрез умножаването на $n$ множителя, равни на $b$. $n$-тата степен на $b$ се записва като $b^n$, при което

$b^n=\underset{n\text{ множителя}}{\underbrace{b\times b\times \cdots \times b}}$

Степенуването може да бъде разширено до $b^y$, където $b$ е положително число, а степента $y$ е произволно реално число.Шаблон:Hrf Например, $b^{-1}=1/b$ е реципрочната стойност на $b$. Повдигането на $b$ на степен 1/2 дава квадратен корен от $b$. По-общо, повдигането на $b$ на рационална степен $p/q$, където $p$ и $q$ са цели числа, се получава от $q$-тия корен на $b^p$

$b^{p/q}=\sqrt[q]{b^p}$.

Накрая, всяко ирационално число $y$ може да се апроксимира с произволна точност с рационално число. Това може да се използва за изчисляването на $y$-тата степен на $b$: например $\sqrt{2}\approx 1,4141...$, а $b^{\sqrt{2}}$ може да се изчисли с нарастваща точност чрез $b^1,b^{1,4},b^{1,41},b^{1,414},...$.

Определение

Логаритъмът на положително реално число $x$ при основа $b$ е степента, на която трябва да се повдигне $b$, за да се получи $x$. С други думи, логаритъмът на $x$ при основа $b$ е единственото решение $y$ на уравнениетоШаблон:Hrf

$b^y=x$.

Логаритъмът се изписва като „${\log }_{b}x$“ (произнасяно като „логаритъм от $x$ при основа $b$“).

В уравнението $y={\log }_{b}x$ стойността $y$ е отговорът на въпроса „На коя степен трябва да се повдигне $b$, за да се получи $x$?“.

Примери

• Шаблон:Math, тъй като Шаблон:Math.
• Логаритмите може да са и отрицателни: ${\log }_2\frac{1}{2}=-1$, тъй като $2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}.$
• Шаблон:Math е приблизително 2,176, което се намира между 2 и 3, както 150 се намира между Шаблон:Math и Шаблон:Math
• За всяка основа Шаблон:Mvar, Шаблон:Math и Шаблон:Math, тъй като Шаблон:Math и Шаблон:Math.

Логаритмични тъждества

Няколко важни формули, понякога наричани логаритмични тъждества или логаритмични равенства, свързват логаритмите един с друг.

Произведение, частно, степен и корен

Логаритъмът на произведение е равен на сбора на логаритмите на множителите, а логаритъмът на частното на две числа е разликата от техните логаритми. Логаритъмът на $p$-тата степен на дадено число е $p$ пъти логаритъма на самото число, а логаритъмът на $p$-тия корен е равен на логаритъма на числото, разделен на $p$. Следната таблица описва тези тъждества с примери. Всяко от тях може да се изведе чрез субституция на лявата страна в определенията за логаритъм $x=b^{{\log }_{b}x}$ или $y=b^{{\log }_{b}y}$.

	ФормулаШаблон:Hrf	Пример
Произведение	${\log }_b(xy)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y$	${\log }_{3}243={\log }_3(9\cdot 27)={\log }_{3}9+{\log }_{3}27=2+3=5$
Частно	${\log }_b\frac{x}{y}={\log }_{b}x-{\log }_{b}y$	${\log }_{2}16={\log }_2\frac{64}{4}={\log }_{2}64-{\log }_{2}4=6-2=4$
Степен	${\log }_b\left(x^p\right)=p{\log }_{b}x$	${\log }_{2}64={\log }_2\left(2^6\right)=6{\log }_{2}2=6$
Корен	${\log }_b\sqrt[p]{x}=\frac{{\log }_{b}x}{p}$	${\log }_{10}\sqrt{1000}=\frac{1}{2}{\log }_{10}1000=\frac{3}{2}=1.5$

Смяна на основата

Логаритъмът Шаблон:Math може да се получи от логаритмите на $x$ и $b$ при произволна основа $k$ чрез следната формула:Шаблон:Hrf

${\log }_{b}x=\frac{{\log }_{k}x}{{\log }_{k}b}.$

Изхождайки от дефиниционното равенство

$x=b^{{\log }_{b}x}$

може да се приложи Шаблон:Math върху двете страни на уравнението и се получава

${\log }_{k}x={\log }_k(b^{{\log }_{b}x})={\log }_{b}x\cdot {\log }_{k}b$.

Решавайки за ${\log }_{b}x$ се получава:

${\log }_{b}x=\frac{{\log }_{k}x}{{\log }_{k}b}$,

което показва, че преходният коефициент от дадена ${\log }_k$-стойност към нейната съответна ${\log }_b$-стойност е $({\log }_{k}b{)}^{-1}.$

Повечето научни калкулатори могат да изчисляват логаритми с основа 10 и $e$.Шаблон:Hrf Логаритмите с произволна основа $b$ могат да се изчислят с някой от тези два логаритъма въз основа на горната формула:

${\log }_{b}x=\frac{{\log }_{10}x}{{\log }_{10}b}=\frac{{\log }_{e}x}{{\log }_{e}b}.$

При дадено число $x$ и неговия логаритъм Шаблон:Math при неизвестна основа $b$, основата се получава от израза

$b=x^{\frac{1}{{\log }_{b}x}},$ което се вижда от повдигането на дефиниционното равенство $x=b^{{\log }_{b}x}$ на степен $\frac{1}{{\log }_{b}x}.$

Конкретни основи

Графики на логаритми с основи 2, $e$ и 0,5

Измежду всички възможни основи на логаритмите три се използват особено често – това са Шаблон:Math, Шаблон:Math (ирационалната математическа константа ≈ 2,71828) и Шаблон:Math. Логаритъмът с основа $e$ (натурален или естествен логаритъм) се използва широко в математическия анализ, заради неговите особени аналитични свойства. В същото време логаритмите с основа 10 (десетичен логаритъм) са лесни за използване при ръчни изчисления в обичайната десетична бройна система:Шаблон:Hrf

${\log }_{10}(10x)={\log }_{10}10+{\log }_{10}x=1+{\log }_{10}x.$

Така Шаблон:Math е свързан с броя цифри на дадено положително цяло число $x$: броят на цифрите е най-малкото число, по-голямо от Шаблон:Math.Шаблон:Hrf Например, Шаблон:Math е приблизително 3,15, следващото цяло число е 4, което е и броят на цифрите в 1430.

Както естественият логаритъм, така и логаритъмът с основа 2 (двоичен логаритъм), се използват в информатиката, съответно в базовите единици за информация нат и бит.Шаблон:Hrf Двоичните логаритми имат приложение и в компютърните науки, където двоичната бройна система заема централно място, във фотографията за измерване на експозиционното число,Шаблон:Hrf както и в теорията на музиката, където важна роля има удвояването на височините (октава), а интервалите в класическата музика обикновено се измерват чрез двоични логаритми.

Следващата таблица изброява обичайните обозначения на логаритмите с тези три основи и областите, в които те се използват. В много области се изписва Шаблон:Math вместо Шаблон:Math, когато използвана основа може да бъде определена от контекста. Понякога се среща и означението Шаблон:Math.Шаблон:Hrf Колоната „Обозначение по ISO“ показва обозначенията, препоръчвани от Международната организация по стандартизация в стандарта ISO 31-11.Шаблон:Hrf Тъй като изписването Шаблон:Math се използва и за трите основи (или когато основата е неопределена или без значение), предполагаемата основа често се определя въз основа на контекста или съответната научна област. В компютърните науки и математиката log обикновено се отнася съответно за Шаблон:Math и Шаблон:Math.Шаблон:Hrf В други контексти log често обозначава Шаблон:Math.Шаблон:Hrf

Основа Шаблон:Mvar	Наименование на logbx	Обозначение по ISO	Други обозначения	Приложение
2	двоичен логаритъм	Шаблон:MathШаблон:Hrf	Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:MathШаблон:Hrf	компютърни науки, информатика, теория на музиката, фотография
Шаблон:Mvar	натурален логаритъм	Шаблон:Math	Шаблон:MathШаблон:Hrf	математика, физика, химия, статистика, икономика, информатика и техника
10	десетичен логаритъм	Шаблон:Math	Шаблон:Math, Шаблон:Math	техника, логаритмични таблици, спектроскопия

История

Първите изследвания върху концепции сходни с логаритъма, са правени от индийския математик от VIII век Вирасена, който разглежда идеята за ардхакчеда – колко пъти число от вида 2ⁿ може да бъде разделено на две цели половини. За точните степени на 2 това число е логаритъмът за тази основа, който е цяло число. Вирасена описва и други свързани зависимости и въвежда също логаритми с основа 3 и 4.Шаблон:HrfШаблон:Hrf През 1544 година германецът Михаел Щифел публикува „Обща аритметика“ („Arithmetica integra“), която съдържа таблица със степените на 2, смятана за ранен предшественик на логаритмичните таблици.Шаблон:HrfШаблон:HrfШаблон:Hrf

Логаритмите са „изобретени“ от Джон Непер (1550 – 1617) – шотландски математик, лорд на Мърчистън, и от Йост Бюрги – приятел на Кеплер и кралски придворен часовникар в Прага, както и майстор на астрономически инструменти. Непер изобретява логаритмите преди 1594 г., но публикува откритието си едва след 20 години. В заглавието на труда му „Описание на чудната таблица на логаритмите“ („Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio“) личи същият възторг, с който логаритмите са били посрещани навсякъде.

Логаритмите с основа е са въведени от лондонския учител по математика Джон Спейдел; през 1619 г. той издава таблица на „новите логаритми“ на числата от 1 до 1000. Тези логаритми възникват „естествено“ при определяне на лицата, ограничени от хиперболата у=1/х (Лицето на фигурата, ограничено от хиперболата 1/x и правите x=a и x=b, при a<b, e ln b – ln a); затова Николаус Меркатор нарича логаритмите при основа Шаблон:Math „естествени“ или „хиперболични“. Италианският математик Пиетро Менголи също отбелязва важността на логаритмите с основа Шаблон:Math и ги нарича Logarithmi naturali (натурални логаритми).

Термините „логаритъм“ и „антилогаритъм“, въведени от Непер, получават днешния си смисъл у Джон Уолис (1693). Непер разбира под логаритъм log sin α, а под антилогаритъм log cos α. Понятието характеристика, както и самият термин се появяват първоначално в „Arithmetica logarithmica“ на Хенри Бригс през 1624 г.; в таблиците на Непер както числата, така и техните логаритми са цели. Записването на знака над характеристиката започва от Уилям Отред в изданието на „Clavis mathematicae“ (1652), но не получава веднага признание. Мантисата (от етруското mantisa – „добавка“, „придатък“) е въведена от Уолис, който нарича така дробната част на произволна десетична дроб. За първи път Ойлер използва тази дума за означаване на десетичните знаци само на логаритъма (1748).

Думата „основа“ е заимствана от теорията на степенуването и е пренесена в теорията на логаритмите от Ойлер. Модулът на прехода е използван още от Меркатор, а терминът е въведен от Роджър Коутс (1712). Глаголът „логаритмувам“ се появява едва през XIX век.

Непер не използва никакви символи за означаване на логаритмите. Утвърждаващите се съкращения Log, log или l (у Кеплер, Бригс и Отред съответно през 1624, 1631 и 1647 г.) са се употребявали около столетие без строгото им различаване. Коши пръв предлага да се въведат различни знаци за десетичните и натуралните логаритми. Означения, близки до съвременните, са въведени от немския математик Алфред Прингсхайм (1893). Независимо от бързото разпространяване на логаритмите и утвърждаването им в практиката в тяхната теория остават още много неясни моменти дори за изключителните умове на онова време.

Названието, въведено от Непер, произхожда от гръцките думи λόγος и άρίθμός и означава буквално „числа на отношенията“; обяснява се с това, че логаритмите възникват при съпоставянето на членовете на две редици. Основата на неговите логаритми е близка до 1/е. Английският математик Бригс опростява таблиците на Непер и го убеждава да премине към десетична основа (1624). Тези логаритми впоследствие започват да се наричат „бригови“, „десетични“ или „обикновени“. Таблиците на Бюрги са съставени през периода 1603 – 1611 г. Предполага се, че са били публикувани след 10 години под названието „Таблици за геометричната и аритметичната прогресия заедно с подробно наставление, как да се разбират и използват при всякакви пресмятания“. Те остават незабелязани до 1856 г.

Исторически приложения

Обяснение на логаритмите в „Енциклопедия Британика“ от 1797 година

Опростявайки трудни изчисления, логаритмите допринасят за напредъка на науката, особено на астрономията. Те имат критично значение за напредъка на геодезията, астрономическата навигация и други области. Пиер-Симон Лаплас нарича логаритмите „възхитително изобретение, което, намалявайки до няколко дни работата за много месеци, удвоява живота на астронома и му спестява грешките и отвращението, неотделими от дългите пресмятания“.Шаблон:Hrf

Основно пособие, което дава възможност за широко използване на логаритмите преди времето на калкулаторите и компютрите, са логаритмичните таблици.Шаблон:Hrf Първата такава таблица се съставена от Хенри Бригс през 1617 година, веднага след въвеждането на логаритмите от Непер. Впоследствие се появяват таблици с все по-широк обхват. В тях са изброени стойностите на Шаблон:Math и Шаблон:Math за всяко число Шаблон:Mvar в даден интервал, с определена точност и при определена основа Шаблон:Mvar (обикновено Шаблон:Math). Например, първата таблица на Бригс съдържа десетичните логаритми на всички цели числа в интервала 1 – 1000 с точност 14 цифри. Тъй като функцията Шаблон:Math е обратната функция на log_bx, тя е наричана антилогаритъм.Шаблон:Hrf Произведението и частното на две положителни числа c и d редовно се изчисляват като сбора и разликата между техните логаритми. Произведението cd или частното c/d се получават от намирането на антилогаритъм от сбора или разликата, също чрез същата таблица:

$cd=b^{{\log }_{b}c}{b}^{{\log }_{b}d}=b^{{\log }_{b}c+{\log }_{b}d}$

и

$\frac{c}{d}=c{d}^{-1}=b^{{\log }_{b}c-{\log }_{b}d}.$

За ръчни пресмятания, които изискват по-съществена точност, намирането на двата логаритъма, изчисляването на техния сбор или разлика и намирането на антилогаритъма е много по-бързо от извършването на умножението с по-ранните методи, като простаферезата, която се извежда от тригонометрични тъждества. Изчисляването на степени и корени се свежда до умножения или деления и търсения, чрез:

$c^d={\left(b^{{\log }_{b}c}\right)}^d=b^{d{\log }_{b}c}$

и

$\sqrt[d]{c}=c^{\frac{1}{d}}=b^{\frac{1}{d}{\log }_{b}c}.$

Много логаритмични таблици показват логаритмите, като дават поотделно цялата и дробната част на Шаблон:Math.Шаблон:Hrf Цялата част за Шаблон:Math е единица плюс цялата част за Шаблон:Mvar, а дробните части са еднакви. Това значително разширява обхвата на логаритмичните таблици – при таблица, включваща Шаблон:Math за всички цели числа Шаблон:Mvar в интервала от 1 до 1000, логаритъм от 3542 се апроксимира чрез:

${\log }_{10}3542={\log }_{10}(10\cdot 354.2)=1+{\log }_{10}354.2\approx 1+{\log }_{10}354.$ С помощта на интерполация може да се постигне и по-голяма точност.

Друго важно приложение на логаритмите е сметачната линия, двойка логаритмично разграфени скали, използвани за изчисления. Неподвижната логаритмична скала е изобретена от Едмънд Гънтър малко след въвеждането на логаритмите. Уилям Отред я усъвършенства с добавянето на втора плъзгаща се скала. На двете скали са поставени числа на разстояния, пропорционални на разликите между техните логаритми. Плъзгането на подвижната скала съответства на механично събиране на логаритми, както е показано тук:

Умножение на числа и събиране на логаритми със сметачна линия. Тръгвайки от 2 на долната скала, се добавя разстоянието до 3 на горната скала, за да се получи произведението 6. Това съответства на сума от логаритмите log 2 + log 3 = log 6. Сметачната линия работи, като разстоянието от 1 до $x$ е пропорционално на логаритъм от $x$.

Например, добавянето на разстоянието от 1 до 2 на долната скала към разстоянието от 1 до 3 на горната скала дава произведението 6, което се отчита на долната скала. Сметачната линия е основно изчислително средство за инженери и учени до 70-те години на XX век, тъй като дава възможност, за сметка на точността, за по-бързи пресмятания от техниките, базирани на логаритмични таблици.Шаблон:Hrf

Аналитични свойства

Логаритмична функция

За по-задълбоченото изследване на логаритмите е необходимо използването на концепцията за функцията като правило, съпоставящо на дадено число друго число.Шаблон:Hrf За да се дефинира логаритмичната функция трябва да се покаже, че уравнението

$b^x=y$

има решение $x$ и че това решение е единствено, при условие, че $y$ е положително и че $b$ е положително и различно от 1. Доказателството за това се основава на теоремата за средната стойност,Шаблон:Hrf според която непрекъсната функция със стойности $m$ и $n$ има като стойност и всяко число между $m$ и $n$. Дадена функция е непрекъсната, ако няма скокове.

Може да се покаже, че функцията Шаблон:Math има това свойство. Тъй като f има произволно големи и произволно малки положителни стойности, всяко число Шаблон:Math лежи между Шаблон:Math и Шаблон:Math при подходящ избор на Шаблон:Math и Шаблон:Math. Така от теоремата за средната стойност следва, че уравнението Шаблон:Math има решение. Освен това, решението е единствено, тъй като функцията f е строго нарастваща (за Шаблон:Math) или строго намаляваща (за Шаблон:Math).Шаблон:Hrf

Единственото решение Шаблон:Mvar е логаритъмът на Шаблон:Mvar при основа Шаблон:Mvar, Шаблон:Math. Функцията, съпоставяща на Шаблон:Mvar неговия логаритъм се нарича логаритмична функция (или често само логаритъм).

Функцията Шаблон:Math се характеризира и формулата за произведение на логаритми

${\log }_b(xy)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y.$

По-точно логаритъмът за всяка основа Шаблон:Math е единствената нарастваща функция f от множеството на положителните реални числа в множеството на реалните числа, за която Шаблон:Math иШаблон:Hrf

$f(xy)=f(x)+f(y).$

Обратна функция

Графиката на логаритмичната функция Шаблон:Math (в синьо) се получава чрез отражение на графиката на функцията Шаблон:Math (в червено) спрямо диагоналната права (Шаблон:Math)

Според формулата за логаритъм на дадена степен за всяко число Шаблон:Mvar,

${\log }_b\left(b^x\right)=x{\log }_{b}b=x$

Логаритъм при основа Шаблон:Mvar от Шаблон:Mvar-тата степен на Шаблон:Mvar дава Шаблон:Mvar. Обратно, за дадено положително число Шаблон:Mvar, формулата

$b^{{\log }_{b}y}=y$

казва, че ако първо се логаритмува Шаблон:Mvar, а след това основата се повдигне на степен логаритъма, се получава Шаблон:Mvar. По този начин и двата възможни начина на съчетаване на логаритмуване и степенуване дават като резултат първоначалното число. Следователно логаритъмът с основа Шаблон:Mvar е обратната функция на Шаблон:Math.Шаблон:Hrf

Обратните функции са тясно свързани с изходните функции. Техните графики си съответстват една на друга с промяна на координатите Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar (отражение спрямо диагоналната линия Шаблон:Mvar = Шаблон:Mvar), както е показано на схемата вдясно: дадена точка Шаблон:Math на графиката на f съответства на точка Шаблон:Math на графиката на логаритъма и обратното. От това следва, че log_b(x) е разходяща до безкрайност (става по-голяма от всяко дадено число), ако Шаблон:Mvar нараства до безкрайност, при условие, че Шаблон:Mvar е по-голямо от едно. В този случай Шаблон:Math е растяща функция. За Шаблон:Math, Шаблон:Math клони към минус безкрайност. Когато Шаблон:Mvar наближава нула, Шаблон:Math клони към минус безкрайност за Шаблон:Math (съответно, към плюс безкрайност за Шаблон:Math).

Производна и антипроизводна

Графика на естествен логаритъм (в зелено) и неговата тангента в Шаблон:Math (в черно)

Аналитичните свойства на функциите се предават на техните обратни функции.Шаблон:Hrf Така, тъй като Шаблон:Math е непрекъсната и диференцируема функция, такава е и Шаблон:Math. Грубо казано, дадена непрекъсната функция е диференцируема, ако графиката ѝ няма остри чупки. Освен това, тъй като производната на Шаблон:Math е равна на Шаблон:Math от свойствата на експоненциалната функция, от верижното правило следва, че производната на Шаблон:Math се получава като:Шаблон:HrfШаблон:Hrf

$\frac{d}{dx}{\log }_{b}x=\frac{1}{x\ln b}.$

Това означава, че наклонът на тангентата към графиката на логаритъм с основа Шаблон:Math в точката Шаблон:Math е равен на Шаблон:Math.

Производната на ln Шаблон:Mvar е 1/x, от което следва, че ln Шаблон:Mvar е единствената антипроизводна на Шаблон:Math, която има стойност 0 за Шаблон:Math. Точно тази много проста формула е причина функцията да бъде наречена „естествен логаритъм“. Това е и една от основните причина за важността на константата Шаблон:Mvar.

Производната при обобщен функционен аргумент Шаблон:Math е

$\frac{d}{dx}\ln f(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}.$

Частното вдясно се нарича логаритмична производна на f, изчисляването на Шаблон:Math чрез производната на Шаблон:Math и известно като логаритмично диференциране.Шаблон:Hrf

Антипроизводната на естествения логаритъм Шаблон:Math е:Шаблон:Hrf

$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-x+C.$

Подобни формули могат да се изведат от това уравнение за антипроизводните на логаритмите с друга база, като се използва правилото за промяна на основата.Шаблон:Hrf

Интегрално представяне на натуралния логаритъм

Натуралният логаритъм от Шаблон:Mvar е затъмнената площ под графиката на функцията Шаблон:Math (реципрочната стойност на Шаблон:Mvar)

Натуралният логаритъм от Шаблон:Mvar е равен на определения интеграл на Шаблон:Mvar Шаблон:Mvar от 1 до Шаблон:Mvar:

$\ln (t)=\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{x}dx.$

С други думи, Шаблон:Math се равнява на площта между оста Шаблон:Mvar и графиката на функцията Шаблон:Math в интервала от Шаблон:Math до Шаблон:Math. Това следва от фундаменталната теорема на анализа и факта, че производната на Шаблон:Math е Шаблон:Math. Дясната страна на това равенство може да служи за дефиниция на естествения логаритъм. От нея могат да се изведат формулите за логаритъм от произведение и степен.Шаблон:Hrf Например, формулата за произведение Шаблон:Math се извежда като:

$\ln (tu)=\underset{1}{\overset{tu}{\int }}\frac{1}{x}dx\stackrel{(1)}{=}\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{x}dx+\underset{t}{\overset{tu}{\int }}\frac{1}{x}dx\stackrel{(2)}{=}\ln (t)+\underset{1}{\overset{u}{\int }}\frac{1}{w}dw=\ln (t)+\ln (u).$

Равенство (1) разделя интеграла на две части, а равенство (2) е смяна на променливата (Шаблон:Math). В долната илюстрация разделянето съответства на разделяне на площта на жълта и синя част. Разтягането вертикално на синята фигура с коефициент t и свиването ѝ със същия коефициент хоризонтално не променя нейната площ. След като се измести съответно наляво, площта отново е ограничена отгоре от графиката на функцията Шаблон:Math. Така лявата синя фигура, която е интеграл на Шаблон:Math от t до tu е със същата площ, като дясната синя фигура, която е интеграл на същата функция от 1 до u. Това е геометрична илюстрация на равенство (2).

Графична демонстрация на формулата за натурален логаритъм от произведение

Формулата за степенуване Шаблон:Math може да бъде изведена по подобен начин:

$\ln (t^r)=\underset{1}{\overset{t^r}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{w^r}\left(r{w}^{r-1}dw\right)=r\underset{1}{\overset{t}{\int }}\frac{1}{w}dw=r\ln (t)$.

Второто равенство използва смяна на променливата – Шаблон:Math.

Сборът на реципрочните стойности на естествените числа,

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k},$

се нарича хармоничен ред и е тясно свързан с естествения логаритъм – когато n клони към безкрайност, разликата

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n),$

е сходяща към число, наречено константа на Ойлер – Маскерони Шаблон:Math. Тази зависимост се използва за анализ на поведението на алгоритми като бързо сортиране.Шаблон:Hrf

Има и други интегрални представяния на логаритми, които са полезни за определени цели:

$\ln (x)=-\underset{ϵ\to 0}{\lim }\underset{ϵ}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{t}(e^{-xt}-e^{-t})$

$\ln (x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dt}{t}[\cos (t)-\cos (xt)]$.

Първото тъждество може да се провери, като се демонстрира, че при Шаблон:Math двата израза имат еднаква стойност и еднаква производна. Второто тъждество се доказва от равенството

$\frac{1}{t}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dq{e}^{-qt}$

като след това се вмъкне трансформация на Лаплас на Шаблон:Math (и Шаблон:Math).

Трансцендентност

Реалните числа, които не са алгебрични, се наричат трансценденти.Шаблон:Hrf Например, [[Пи|Шаблон:Pi]] и e са трансцендентни числа, но $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ не е. Почти всички реални числа са трансцендентни. Логаритъмът е пример за трансцендентна функция – според теоремата на Гелфонд-Шнайдер те обикновено имат трансцендентни стойности.Шаблон:Hrf

Изчисляване

Логаритмични клавиши (LOG за десетичен логаритъм и LN за естествен логаритъм) на калкулатор „TI-83 Plus“

Логаритмите са лесни за изчисляване в някои частни случаи, като Шаблон:Math. В по-общ вид логаритмите могат да се изчисляват чрез степенни редове или аритметично-геометрични средни стойности или да се отчитат от предварително изчислени логаритмични таблици с определена крайна точност.Шаблон:HrfШаблон:Hrf

Итеративният метод на Нютон, предназначен за приблизително решаване на уравнения, също може да се използва за изчисляване на логаритми, тъй като тяхната обратна функция, експоненциалната, може да се изчислява с добра ефективност.Шаблон:Hrf При възможност за използване само на събиране и битово изместване логаритмите могат да се изчисляват и с алгоритми от типа на CORDIC.Шаблон:Hrf Освен това с алгоритъма за двоичния логаритъм Шаблон:Math може да се изчисли рекурсивно чрез многократно повдигане на квадрат на Шаблон:Mvar въз основа на отношението:

${\log }_2\left(x^2\right)=2{\log }_2(x).$

Редове на Тейлър

За всяко реално число Шаблон:Mvar, за което Шаблон:Math, е вярна следната формула:Шаблон:Hrf

$\begin{array}{cc}\ln (z)& =\frac{(z-1{)}^1}{1}-\frac{(z-1{)}^2}{2}+\frac{(z-1{)}^3}{3}-\frac{(z-1{)}^4}{4}+\cdots \\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\frac{(z-1{)}^k}{k}\end{array}$

Ред на Тейлър за Шаблон:Math, центриран в Шаблон:Math: анимацията показва първите 10 приближения, заедно с 99-о и 100-тното – приближенията не са сходящи отвъд разстояние 1 от центъра

Това е начин да се каже, че Шаблон:Math може да се изчисли приблизително до все по-точна стойност чрез следните изрази:

$\begin{array}{ccc}(z-1)& & \\ (z-1)& -& \frac{(z-1{)}^2}{2}& \\ (z-1)& -& \frac{(z-1{)}^2}{2}& +& \frac{(z-1{)}^3}{3}\\ ⋮& \end{array}$

Например, за Шаблон:Math третото приближение дава 0,4167, което е с около 0,011 по-голямо от Шаблон:Math. Този числов ред се приближава към Шаблон:Math с произволна точност, стига броят на събираемите да е достатъчно голям – Шаблон:Math е границата на реда, който е ред на Тейлър за естествения логаритъм при Шаблон:Math. Редът на Тейлър за Шаблон:Math е особено полезно приближение на Шаблон:Math за малки стойности на Шаблон:Mvar – Шаблон:Math, тъй като за тях:

$\ln (1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}\cdots \approx z.$

Например, за Шаблон:Math приближението от първи ред дава Шаблон:Math, което се отклонява само с 5% от точната стойност 0.0953.

Други степенни редове

Друг степенен ред, използван за изчисляване на логаритми, е базиран на функцията хиперболичен аркустангенс:

$\ln (z)=2\cdot \mathrm{artanh}\frac{z-1}{z+1}=2(\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5+\cdots )=2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2k+1}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^{2k+1},$

за всяко реално число Шаблон:Math.Шаблон:Hrf

Този ред може да се изведе от описаните по-горе редове на Тейлър. Той има по-бърза сходимост от тях, особено за стойности на Шаблон:Mvar близки до 1. Например, за Шаблон:Math първите три събираеми на втория ред апроксимират $ln(1.5)$ с грешка около Шаблон:Val. Бързата сходимост за Шаблон:Mvar близко до 1 може да се използва по следния начин – при грубо приближение Шаблон:Math и полагайки

$A=\frac{z}{\exp (y)},$

логаритъмът на Шаблон:Mvar е:

$\ln (z)=y+\ln (A).$

Колкото по-добро е първоначалното приближение Шаблон:Mvar, толкова по-близо до 1 е Шаблон:Mvar, така че неговият логаритъм да бъде изчислен ефективно. Шаблон:Mvar може да се изчисли с използването на експоненциални редове, които имат бърза сходимост за неголеми стойности на Шаблон:Mvar. За изчисляването на логаритми от по-големи стойности на Шаблон:Mvar, те могат да се редуцират към по-малки стойности: $z=a\times 10^b$, така че $ln(z)=ln(a)+b\times ln(10)$.

Сходен метод може да се използва за изчисляването на логаритми на цели числа. Полагайки $z=\frac{n+1}{n}$ в горния ред, се получава:

$\ln (n+1)=\ln (n)+2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2k+1}{\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^{2k+1}.$

Ако логаритъмът на голямо число Шаблон:Mvar е известен, тогава се получава бързо сходящ ред за Шаблон:Math със скорост на сходимост $\frac{1}{2n+1}$.

Аритметично-геометрично средно

Аритметично-геометричното средно може да се използва за точни приближения на естествения логаритъм. През 1982 година Сасаки и Канада демонстрират, че то е особено бързо за точности между 400 и 1000 десетични знака, докато редовете на Тейлър обикновено са по-бързи при по-ниска точност. В техните изследвания Шаблон:Math се апроксимира с точност Шаблон:Math (или p точни бита) чрез следната формула, изведена от Карл Фридрих Гаус:Шаблон:HrfШаблон:Hrf

$\ln (x)\approx \frac{\pi }{2M(1,2^{2-m}/x)}-m\ln (2).$

Тук Шаблон:Math обозначава аритметично-геометричното средно на Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar. То се получава чрез последователно изчисляване на средното аритметично $(x+y)/2$ и средното геометрично $\sqrt{xy}$ на Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, след което тези две стойности се използват като следващи Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar. Двете числа бързо се свеждат до обща граница, която е и стойността на Шаблон:Math. m се избира така, че:

$x{2}^m>2^{p/2}.$

за да се осигури желаната точност. По-голямо m увеличава итерациите за изчисляване на Шаблон:Math (началните x и y са по-отдалечени, така че са нужни повече итерации до достигане на сходимост), но дава по-голяма точност. Константите Шаблон:Math и Шаблон:Math могат да се изчислят с бързо сходящи редове.

Алгоритъм на Файнман

При работата си върху проекта „Манхатън“ Ричард Файнман разработва побитов алгоритъм, подобен на дълго деление. Той използва факта, че всяко реално число $1<x<2$ може да се представи като произведение на множители от вида $1+2^{-k}$. Алгоритъмът последователно изгражда произведението $P$: ако $P\cdot (1+2^{-k})<x$, се прави замяна на $P$ с $P\cdot (1+2^{-k})$. Това се повтаря за всяка целочислена стойност на $k$, докато се получи желаната точност. Тъй като $\log (x)$ е сборът от събираемите от вида $\log (1+2^{-k})$, съответстващи на тези $k$, за които множителят $1+2^{-k}$ е включен в произведението $P$, $\log (x)$ може да се изчисли само чрез събиране, като се използва таблица за $\log (1+2^{-k})$ за всяко $k$. Таблицата може да се създаде за произволна стойност на основата на логаритъма.Шаблон:Hrf

Приложения

Черупка на наутилус с форма на логаритмична спирала

Логаритмите имат множество приложения, както в математиката, така и извън нея. Част от тях са свързани с концепцията за мащабна инвариантност. Например, в черупката на наутилусите всеки сегмент е приблизително копие на предишния, но увеличен с постоянен коефициент, дефинирайки логаритмична спирала.Шаблон:Hrf Законът на Бенфорд за разпределението на първата цифра също може да се обясни с мащабна инвариантност.Шаблон:Hrf Логаритмите са свързани и със самоподобието. Например, те се използват в анализа на алгоритми, които решават задачи, разделяйки ги на две сходни по-малки задачи и заместващи техните решения.Шаблон:Hrf Размерите на самоподобни геометрични фигури, такива, чиято форма наподобява по-голяма фигура, също се базират на логаритми. Логаритмичните скали са полезни за изобразяването на относителни изменения на величини, за разлика от абсолютните им изменения. Освен това, тъй като логаритмичната функция Шаблон:Math нараства много бавно за големи стойности на Шаблон:Mvar, логаритмичните скали се използват и за по-компактно представяне на стойности с големи разлики. Логаритми се използват и в множество формули в естествените науки, като формулата на Циолковски, уравнението на Фенске или уравнението на Нернст.

Логаритмична скала

Логаритмична диаграма на стойността на една златна марка в хартиени марки по време на хиперинфлацията в Германия през 20-те години на XX век

Някои величини в науката се представят удобно като логаритми на други величини чрез използването на логаритмична скала. Например, децибелът е единица, свързана с величини в логаритмична скала. Той се базира на десетичен логаритъм от съотношения – 10 пъти десетичния логаритъм на съотношението на мощности или 20 пъти десетичния логаритъм на съотношението на електрически напрежения. Използва се за количествена оценка на загубата на напрежение при предаването на електрични сигнали,Шаблон:Hrf за изразяване на нива на звукова мощност в акустиката,Шаблон:Hrf за описване на поглъщането на светлина в спектрометрията и оптиката. Отношението сигнал към шум, описващо количеството нежелан шум, отнесено към смисления сигнал, също се измерва в децибели.Шаблон:Hrf По подобен начин върховото отношение сигнал към шум често се използва за оценка на качеството на звука и компресирането на изображения.Шаблон:Hrf

Ефектите от земетресенията също се измерват удобно чрез десетичния логаритъм от освобождаваната от тях енергия. Този принцип използват скалата на моментния магнитуд и скалата на Рихтер. Например, земетресение с магнитуд 5,0 освобождава 32 пъти Шаблон:Math, а с магнитуд 6,0 – 1000 пъти Шаблон:Math по-голяма енергия от земетресение с магнитуд 4,0.Шаблон:Hrf Друга логаритмична скала е тази на видимата звездна величина, която измерва логаритмично яркостта на звездите.Шаблон:Hrf Друг пример е водородният показател pH в химията – той е отрицателен десетичен логаритъм на активността на водородните йони Шаблон:Chem.Шаблон:Hrf Разлика във водородния показател от единица съответства на десеткратна разлика в активността на водородните йони – оцет с pH около 3 е с 1000 пъти по-голяма активност на водородните йони от водата с pH = 7.

Полулогаритмичните диаграми използват идеята за логаритмичната скала за целите на визуализацията – едната ос, обикновено вертикалната, е в логаритмичен мащаб. Например, диаграмата в дясно свива рязкото нарастване от 1 милион до 1 трилион в същото разстояние по вертикалната ос, както нарастването от 1 до 1 милион. В такива диаграми експоненциалната функция от вида Шаблон:Math изглежда като права с наклон, равен на логаритъма от Шаблон:Mvar. При логаритмичните диаграми и двете оси са в логаритмичен мащаб, при което функции от вида Шаблон:Math се изобразяват като прави с наклон, равен на експонентата k. Такива диаграми се използват за визуализацията и анализа на степенни закони.Шаблон:Hrf

Психология

Логаритмите присъстват в няколко закона, описващи човешките възприятия:Шаблон:HrfШаблон:Hrf законът на Хик задава логаритмично отношение между времето, за което хората правят избор, и броя на възможните избори, които имат.Шаблон:Hrf Законът на Фитс предвижда, че времето, необходимо за бързо придвижване до определено място, е логаритмична функция на съотношението между разстоянието до него и неговия размер.Шаблон:Hrf В психофизиката законът на Вебер-Фехнер описва логаритмична зависимост между дразнител и усещане, например между действителното и възприеманото тегло на пренасян предмет,Шаблон:Hrf макар че тази зависимост е оспорвана от по-нови модели, като закона на Стивънс.Шаблон:Hrf

Психологически изследвания установяват, че хора с ограничена математическа подготовка са склонни да оценяват количествата логаритмично – те позиционират дадено число върху линия според неговия логаритъм, така че например 100 е равно отдалечено и от 10, и от 1000. По-доброто образование измества това линейно възприемане към правилното (поставяйки 1000 на 10 пъти по-голямо разстояние, отколкото 100 от 10), но когато числата са трудни за линейно изобразяване, логаритмите са много по-удобни.Шаблон:HrfШаблон:Hrf

Теория на вероятностите и статистика

Три функции на плътност на вероятността на случайни величини с логнормално разпределение – параметърът Шаблон:Math, който е равен на нула и за трите показани функции, е средната стойност на логаритъма на случайната величина, а не средната стойност на самата величина

Разпределение на първите цифри (в %, червените колони) в населението на страните в света, като черните точки показват разпределението според закона на Бенфорд

Логаритмите се използват широко в теорията на вероятностите. От закона за големите числа следва, че при простия експеримент с хвърляне на монета, докато броят на хвърляния на монетата нараства към безкрайност, наблюдаваният брой на двата възможни резултата клони към равенство. Флуктуациите на всеки от двата резултата спрямо 1/2 се описват от закона за повторния логаритъм.Шаблон:Hrf

Логаритми се използват и в логнормалното разпределение. Когато логаритъмът на дадена случайна величина има нормално разпределение, променливата има логнормално разпределение.Шаблон:Hrf Логнормални разпределения се срещат в много области, в които величини се получават като произведение на множество независими положителни случайно величини, например при изследването на турбуленцията.Шаблон:Hrf

Логаритми се използват в оценката за максимално правдоподобие на параметрични статистически модели. За такива модели функцията на правдоподобие зависи от поне един параметър, който трябва да бъде оценен. Максимум на функцията на правдоподобие се достига при същата стойност на параметъра, при която се достига максимум на логаритъма на правдоподобие, защото логаритъмът е монотонно растяща функция. Логаритъмът е по-лесен за максимизиране, особено при умножавани правдоподобия на независими случайни величини.Шаблон:Hrf

Законът на Бенфорд описва присъствието на цифрите в различни набори от данни, от рода на височини на сгради. Според него вероятността първата десетична цифра в елемент на извадката да е d (от 1 до 9) е равна на Шаблон:Math, независимо от мерните единици.Шаблон:Hrf Така може да се очаква, че 30% от стойностите започват с цифрата 1, 18% с 2 и т.н. Законът намира различни приложения, например одитори използват отклоненията от него, за да откриват възможни счетоводни измами.Шаблон:Hrf

Изчислителна сложност

Анализът на алгоритми е клон на компютърните науки, който изследва ефективността на алгоритмите (обикновено компютърни програми, решаващи определена задача).Шаблон:Hrf В него логаритмите се използват широко при описването на алгоритми, които разделят дадена задача на по-малки задачи, след което обединяват решенията на подзадачите.Шаблон:Hrf

Например, за да намери дадено число в подреден списък, алгоритъмът за двоично търсене проверява средния елемент в списъка, след което, ако не е открил числото, продължава с половината преди или след него. Този алгоритъм изисква средно Шаблон:Math сравнения, където Шаблон:Mvar е дължината на списъка.Шаблон:Hrf По подобен начин алгоритъмът за подреждане чрез сливане подрежда даден неподреден списък, като го разделя на половини, които подрежда преди да слее. Алгоритмите за подреждане чрез сливане обикновено отнемат време, приблизително пропорционално на Шаблон:Math.Шаблон:Hrf Основата на алгоритъма не е уточнена, тъй като резултатът се променя само с константен множител при промяна на основата, което обикновено е пренебрежима разлика в анализа на алгоритми.Шаблон:Hrf

За дадена функция Шаблон:Math се казва, че расте логаритмично, когато Шаблон:Math е точно или приблизително пропорционална на логаритъм от Шаблон:Mvar.Шаблон:Refn Така всяко естествено число Шаблон:Mvar може да бъде представено в двоична форма в не повече от Шаблон:Math бита – количеството памет, необходима за съхраняването на Шаблон:Mvar нараства логаритмично с нарастването на Шаблон:Mvar.

Ентропия и хаос

Схема на динамичен билярд, в която две частици тръгват от центъра на масата с разлика в направлението от 1 градус, след което траекториите им се разделят хаотично в резултат на различните отражения от границите на масата

Ентропията е обобщена мярка за неподредеността на дадена система. В статистическата термодинамика ентропията на дадена физична система се дефинира като:

$S=-k\sum _i{p}_i\ln (p_i).$

където сумирането е по всички възможни състояния  Шаблон:Mvar на системата, например положенията на газови частици в съд, Шаблон:Math е вероятността за достигане на състояние Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar е константата на Болцман. По подобен начин ентропията в теорията на информацията измерва количеството информация – ако даден получател на информация може да очаква всяко от Шаблон:Mvar възможни съобщения с равна вероятност, то количеството информация, донасяна от всяко такова съобщение се оценява количествено с Шаблон:Math бита.Шаблон:Hrf

Показателят на Ляпунов използва логаритми, за да оцени степента на хаотичност на дадена динамична система. Например, за материална точка, движеща се по овална билярдна маса, дори малки отклонения в началните условия водят до напълно различни траектории. Такива системи са хаотични по детерминистичен начин, тъй като малки грешки в измерването на началното състояние предвидимо водят до напълно различни крайни състояния.Шаблон:Hrf

Фрактали

Триъгълникът на Серпински (вдясно) е образуван чрез последователно влагане в равностранни триъгълници на три по-малки подобни триъгълника

Логаритми се използват в дефиницията за размерност на фрактали.Шаблон:Hrf Фракталите са геометрични обекти, които са самоподобни като техни части повтарят, поне приблизително, общата структура на обекта. Например, показаният на илюстрацията триъгълник на Серпински може да бъде покрит с три копия на самия себе си, но със страни, намалени наполовина. Така хаусдорфовата размерност на тази структура е Шаблон:Math. Друга базирана на логаритми мярка за размерността се получава чрез преброяване на клетките, необходими за покриването на даден фрактал.

Музика

Логаритмите са свързани с музикалните тонове и интервали. При темпериран строй съотношението между честотите зависи само от интервала между два тона, не от конкретната честота (височина) на отделните тонове. Например, нотата ла има честота 440 Hz, а си бемол е с честота 466 Hz. Интервалът между тях е един полутон, както и този между си бемол и си (честота 493 Hz). Съответно, съотношенията между честотите съвпадат:

$\frac{466}{440}\approx \frac{493}{466}\approx 1.059\approx \sqrt[12]{2}.$

По този начин логаритмите могат да бъдат използвани за описването на интервали – всеки интервал може да се измери в полутонове като се намери логаритъм с основа Шаблон:Math от съотношението на честотите, докато логаритъм с основа Шаблон:Math изразява интервала в центове (стотни от полутона). Последната мярка се използва за по-прецизно записване, каквото се налага при нетемперираните строеве.Шаблон:Hrf

Интервал	1/12 тон Шаблон:Audio	Полутон Шаблон:Audio	Терца Шаблон:Audio	Тритонус Шаблон:Audio	Октава Шаблон:Audio
Съотношение на честотите r	$2^{\frac{1}{72}}\approx 1.0097$	$2^{\frac{1}{12}}\approx 1.0595$	$\begin{array}{cc}{2}^{\frac{4}{12}}& =\sqrt[3]{2}\\ & \approx 1.2599\end{array}$	$\begin{array}{cc}{2}^{\frac{6}{12}}& =\sqrt{2}\\ & \approx 1.4142\end{array}$	$2^{\frac{12}{12}}=2$
Брой полутонове ${\log }_{\sqrt[12]{2}}(r)=12{\log }_2(r)$	$\frac{1}{6}$	$1$	$4$	$6$	$12$
Брой центове ${\log }_{\sqrt[1200]{2}}(r)=1200{\log }_2(r)$	$16\frac{2}{3}$	$100$	$400$	$600$	$1200$

Теория на числата

Естествените логаритми са тясно свързани с функцията на разпределение на простите числа, която играе важна роля в теорията на числата. За всяко цяло число Шаблон:Mvar броят на простите числа, по-малки или равни на Шаблон:Mvar, е равно на Шаблон:Math. Според теоремата за разпределението на простите числа Шаблон:Math може да се изчисли приблизително от

$\frac{x}{\ln (x)},$

като съотношението между Шаблон:Math и тази дроб клони към 1 когато Шаблон:Mvar клони към безкрайност.Шаблон:Hrf Като следствие вероятността произволно избрано число между 1 и Шаблон:Mvar да е просто е обратно пропорционална на броя на десетичните цифри в Шаблон:Mvar. Още по-добро приближение на Шаблон:Math се получава чрез интегралната функция Шаблон:Math, дефинирана като

$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\ln (t)}dt.$

Хипотезата на Риман, едно от най-старите все още отворени предположения в математика, може да се изрази чрез сравнение на Шаблон:Math и Шаблон:Math.Шаблон:Hrf Теоремата на Ердьош-Кац, описваща броя на различните прости коефициенти, също използва естествени логаритми.

Свойството на логаритъма на n факториел, Шаблон:Math

$\ln (n!)=\ln (1)+\ln (2)+\cdots +\ln (n).$

може да се използва за извеждане на формулата на Стърлинг, даваща приблизителни стойности на Шаблон:Math за голямо Шаблон:Mvar.Шаблон:Hrf

Обобщения

Комплексен логаритъм

В полярния запис на Шаблон:Math стойността Шаблон:Mvar може да се получи както от Шаблон:Mvar, така и от Шаблон:Mvar

Всички комплексни числа Шаблон:Mvar, които са корени на уравнението

$$e^a=z$$

се наричат комплексни логаритми на Шаблон:Mvar за всяко комплексно число Шаблон:Mvar. Комплексните числа обикновено се представят във вида Шаблон:Math, където Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar са реални числа, а Шаблон:Mvar е имагинерна единица, квадратът на която е равен на −1. Такова число може да се визуализира като точка в комплексната равнина. Ненулевите комплексни числа могат да се представят и в полярна форма – чрез тяхната абсолютна стойност – положителното, реално разстояние от точката до началото на координатната система – и ъгъла между реалната ос Шаблон:Mvar и правата, преминаваща през началото на координатната система и точката Шаблон:Mvar. Този ъгъл понякога се нарича аргумент на комплексното число.

Абсолютната стойност Шаблон:Mvar на Шаблон:Mvar се получава от

$$r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Като се използва геометричната интерпретация на синус и косинус и тяхната периодичност на Шаблон:Math всяко комплексно число Шаблон:Mvar може да се опише и като

$$z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )=r(\cos (\phi +2k\pi )+i\sin (\phi +2k\pi )),$$

за всяко цяло число Шаблон:Mvar. От това се вижда, че аргументът на Шаблон:Mvar не е еднозначно определен – ако Шаблон:Mvar е валидна стойност, валидни са и стойностите Шаблон:Math за всяко цяло число Шаблон:Mvar. По конвенция една от валидните стойности на аргумента – обикновено такава, която попада в един от интервалите Шаблон:MathШаблон:Hrf или Шаблон:Math,Шаблон:Hrf наричани клонове на аргументната функция – се избира за основен аргумент, обозначаван с Шаблон:Math.

Основният клон (-Шаблон:Pi, Шаблон:Pi) на комплексния логаритъм Шаблон:Math: черната точка в Шаблон:Math съответства на абсолютна стойност нула, по-ярките цветове обозначават по-големи абсолютни стойности, а тонът на цвета съответства на аргумента на Шаблон:Math.

Формулата на Ойлер свързва тригонометричните функции синус и косинус с комплексната експонента:

$$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi .$$

Прилагайки тази формула и отчитайки периодичността на тригонометричните функции, могат да бъдат изведени следните равенства:Шаблон:Hrf

$$\begin{array}{ccc}z& =& r(\cos \phi +i\sin \phi )\\ & =& r(\cos (\phi +2k\pi )+i\sin (\phi +2k\pi ))\\ & =& r{e}^{i(\phi +2k\pi )}\\ & =& e^{\ln (r)}{e}^{i(\phi +2k\pi )}\\ & =& e^{\ln (r)+i(\phi +2k\pi )}=e^{a_k},\end{array}$$

където Шаблон:Math е единственият реален естествен логаритъм, Шаблон:Math обозначава комплексните логаритми на Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar е произволно цяло число. Следователно комплексните логаритми на Шаблон:Mvar, които са всички комплексни стойности Шаблон:Math, за които Шаблон:Math степен на Шаблон:Mvar е равна на Шаблон:Mvar, са безкрайния брой стойности

$a_k=\ln (r)+i(\phi +2k\pi ),$ за произволна цяла стойност Шаблон:Mvar.

Приемайки Шаблон:Mvar, така че Шаблон:Math да бъде в дефинирания интервал на основните аргументи, получената стойност Шаблон:Math се нарича основна стойност на логаритъма, обозначавана с Шаблон:Math (с главно  Шаблон:Math). Основният аргумент на всяко положително реално число Шаблон:Mvar е 0; така Шаблон:Math е реално число, което е равно на реалния (естествен) логаритъм. Въпреки това формулите за логаритмите на произведения и степени, валидни за реалните логаритми, не са приложими за основните стойности на комплексните логаритми.Шаблон:Hrf

Обратни функции на други експоненциални функции

Степенуването се използва в много области на математиката, а обратните му функции често са наричани логаритми. Например, матричният логаритъм е обратната функция на матричната експонента.Шаблон:Hrf Друг пример е p-адичният логаритъм, обратна функция на p-адичната експонента – тези две функции се дефинират чрез редове на Тейлър по аналогия с реалните им съответствия.Шаблон:Hrf В контекста на диференциалната геометрия експоненциалното изображение преобразува допирателното пространство в дадена точка на дадено диференцируемо многообразие, изобразявайки я в околност на тази точка. Неговото обратно изображение също се нарича логаритмично.Шаблон:Hrf

В контекста на крайните групи степенуването се дефинира като последователното умножаване на даден елемент на групата Шаблон:Mvar със самия него. Дискретният логаритъм е цяло число Шаблон:Mvar, което е решение на уравнението $$b^n=x,$$ където Шаблон:Mvar е елемент на групата. Докато степенуването може да се извърши ефективно, дискретният логаритъм е смятан за много труден за изчисляване при някои групи. Тази несиметричност има важни приложения в асиметричните шифри, като например в алгоритъма „Дифи-Хелман“, процес, позволяващ сигурен обмен на криптографски ключове по несигурен информационен канал.Шаблон:Hrf

Други сходни с логаритъма обратни функции са двойният логаритъм Шаблон:Math, суперлогаритъмът (вариант на който е наричан в информатиката итериран логаритъм), W-функцията на Ламберт и функцията логит. Те са обратните функции съответно на двойната експоненциална функция, тетрацията, Шаблон:MathШаблон:Hrf и логистичната функция.Шаблон:Hrf

Свързани концепции

От гледна точка на теорията на групите равенството Шаблон:Math изразява изоморфизъм на групи между положителните реални числа, подложени на умножение, и реалните числа, подложени на събиране. Логаритмичните функции са единствените непрекъснати изоморфизми между тези групи.Шаблон:Hrf Чрез този изоморфизъм мярката на Хаар (мярка на Льобег) Шаблон:Math върху реалните числа съответства на мярката на Хаар Шаблон:Math върху положителните реални числа.Шаблон:Hrf Неотрицателните реални числа имат не само умножение, но и събиране, и образуват полупръстен, наричан вероятностен полупръстен, който е и полуполе. Така логаритъмът отнася умножението към събирането и събирането към умножението, създавайки изоморфизъм на полупръстени между вероятностния полупръстен и логаритмичния полупръстен.

Логаритмичната форма Шаблон:Math, използвана в комплексния анализ и алгебричната геометрия, е диференциална форма с логаритмични полюси.Шаблон:Hrf

Полилогаритъмът е функция, дефинирана като $${\mathrm{Li}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}.$$ Тя е свързана с естествения логаритъм чрез зависимостта Шаблон:Math. В допълнение Шаблон:Math е равен на дзета-функцията на Риман Шаблон:Math.Шаблон:Hrf

Вижте също

• Степенуване
• Десетичен логаритъм
• Натурален логаритъм
• Дискретен логаритъм

Бележки

Цитирани източници