Интеграл

Графика на интеграла на реалната функция $f(x)$ – площта от $a$ до $b$.

Интегралът е един от основните оператори в съвременния математически анализ. Съществуват два основни вида интеграли, поради което понятието интеграл се разглежда по двата начина:

1. Определен интеграл: Интеграл на функцията $f(x)$ с дефиниционна област интервала $[a,b]$ и множество от стойности $ℝ$ (реалните числа) е площта на функцията между $a$ и $b$, абсцисната ос, като площта под интегрируемата координатна ос приемаме за отрицателна и изваждаме. Чрез определен интеграл се дефинира площта под функцията $f(x)$ между $a$ и $b$.
2. Неопределен интеграл: Примитивната на функцията $f(x)$, отбелязвана често с $F(x)$. С неопределен интеграл се намира функция, чиято производна е интегрираната функция ($F^{\prime }(x)=f(x)\mathrm{\forall }x$) в дефиниционния интервал.

В математическия анализ съществуват множество техники за дефиниране на интеграл, чрез които става възможно съществуването на различни класове интегруеми функции. Такива техники включват интеграли на реални, компексни и хиперкомпрексни функции; на функции с повече от една променлива; праволинеен, криволинеен, интеграл по затворени контур, площ или обем; специални инеграли като Риманов интеграл и неговото абстрактно обобщение – Лебегов интеграл и интегрални преобразувания.

История

Опити за интегриране са били правени още в древността, но в края на XVII век Нютон и Лайбниц създават основните правила на интегрирането. През XIX век Коши, Вайерщрас и др. допринасят за изграждането на математическия анализ, част от който е интегрирането, на строга логическа основа.

Същност

Нека $J$ е произволен интервал и $f:J\to ℝ=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ е зададена функция. Тъй като $f$ е диференцируема и следователно непрекъсната в $J$, примитивната на функцията, $F$, следва също да е непрекъсната в $J$.

Ако функцията $F:J\to ℝ$ е непрекъсната в интервала $J$ и равенството $F^{\prime }(x)=f(x)$ е изпълнено навсякъде в $J$ с изключение на краен брой стойности на x, където $F$ евентуално не е диференцируема, то $F$ се нарича обобщена примитивна на $f$ в $J$. От съображения за пълнота се приема, че ако $f$ има примитивна $F$, то тя има и обобщена примитивна, съвпадаща с $F$.

Понякога в определението за обобщена примитивна се допуска условието $F^{\prime }(x)=f(x)$ да бъде нарушено и за безкрайна редица от стойности $x_i$ на аргумента $x$. Възможно е обобщената примитивна да се дефинира без изискването за непрекъснатост. При това се допуска стойностите $x_i$, за които равенството $F^{\prime }(x)=f(x)$ е нарушено, да са точки на прекъсване на $F$. За приложенията обаче са важни само непрекъснатите примитивни.

Не всяка функция $f$ има примитивна, т.е. не всяка функция може да бъде производна на някаква друга функция. Така например, според теоремата на Дарбу, ако функцията $F:[a,b]\to ℝ$ приема всички стойности между числата $f\left(a\right)$ и $f\left(b\right)$. Следователно функцията $f$ няма примитивна, ако тя има точки на прекъсване от 1-ви род. Функцията $f$ може да няма примитивна и в други случаи, например ако тя има някои прекъсвания от 2ри род. Възможно е функцията $f:J\to ℝ$ да няма примитивна (и съответно обобщена примитивна) поради наличие на точки на прекъсване, но свиването на $f$ в някой подинтервал $K\subset J$, който не съдържа въпросните точки, има примитивна (обобщена примитивна). В този случай за краткост казваме, че самата $f$ има съответна примитивна в $K$. Ако $F$ и $\mathrm{\Phi }$ са две примитивни на $f$, то те могат да се различават само с адитивна константа ($+C$). Така, ако $F$ е примитивна на $f$, всяка друга примитивна $\mathrm{\Phi }$ на $f$ се определя от $\mathrm{\Phi }\left(x\right)=F\left(x\right)+C$, където C е константа.

Неопределен интеграл

Множеството на всички примитивни на дадена функция $f$ се нарича неопределен интеграл на дадената функция, $f$, и се бележи с $int\left(f\right)$. Според тази дефиниция всяка функция има определен интеграл. Действително, ако $f$ има примитивна $F$, то $int\left(f\right)$ се състои от всички функции, които се отличават от $F$ с адитивна константа и следователно множеството $int\left(f\right)$ има същия брой елементи като реалните числа ($ℝ$). Ако $f$ няма примитивна, то множеството $Int\left(f\right)$ е празно, което се записва като $Int\left(f\right)=\mathrm{\varnothing }$.

За примитивната $F$ на функцията $f$ е прието означението $$F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx$$. Тук $f$ се нарича подинтегрална функция, $f\left(x\right)dx$ се нарича подинтегрален израз, а $\int$ е символът за интеграл.

Намирането на примитивна на дадена функция се нарича неопределено интегриране и се извършва чрез таблични интеграли. Интегрирането и диференцирането са взаимнообратни операции, т.е.:

$$d\int f\left(x\right)dx=f\left(x\right)dx$$ $$\int dF\left(x\right)=F\left(x\right)$$

Тъй като интегрирането е линеен оператор и функциите $f,g:J\to ℝ$ имат примитивни и $\alpha$, $\beta$ са константи, то:

$$\int (\alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right))dx=\alpha \int f\left(x\right)dx+\beta \int g\left(x\right)dx$$

Определен интеграл

Определен интеграл в интервала [a,b]

Нека $F$ е примитивна на $f$ в $J$ и $a\in J$ е фиксирана точка от интервала $J$. Тогава функцията $\mathrm{\Phi }$ определена от $\mathrm{\Phi }\left(x\right)=F\left(x\right)-F\left(a\right)$, е също примитивна на $f$ в $J$, която удовлетворява условието $\mathrm{\Phi }\left(x_0\right)=0$. За тази примитивна е запазено специално означение, а именно:

$$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

Не съществуват определени интеграли за всяка функция. Това е довело до въвеждането на различни понятия за определен интеграл. Изобщо, на дадена функция $f:J\to ℝ$ и на даден подинтервал $[a,b]\subset J$ можем да съпоставим величината:

$$I=I(f,[a,b])$$

Тази величина се нариче определен интеграл на функцията $f$ в интервала $[a,b]$, ако са изпълнени:

1. Линейност: Ако $f,g:J\to ℝ$ и $\alpha ,\beta$ са числа, то $$I(\alpha f+\beta g,[a,b])=\alpha I(f,[a,b])+\beta I(g,[a,b])$$ където функцията $\alpha f+\beta g$ е определена от $x\to \alpha f(x)+\beta g(x)$.
   
2. Адитивност: Ако $c\in [a,b]$, то $$I(f,[a,c])+I(f,[c,b])=I(f,[a,b])$$ В частност, ако $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ е разбивка на интервала $[a,b]$, то $$I(f,[a,b])=\sum _{k=0}^{n-1}I(f,[x_k,x_{k+1}])$$
3. Нетривиалност: Ако означим с 1 постоянната функция $x\to 1$, то $$I(1,[a,b])=b-a$$

Методи за решаване

В математическия анализ са известни множество методи за интегриране на функция. Най-простият начин е чрез директно решаване на интеграла, като за целта може да се прибегне до табличните интеграли. Други методи са заместване, интегриране по части и т.н.

Вижте също

• Производна
• Математически анализ
• Таблични интеграли

Външни препратки

• Online инструмент за изчисляване на интеграли