Метод на Нютон

Шаблон:Без източници Методът на Нютон (или метод на Нютон-Рафсън) е алгоритъм, използван за намиране на приблизителни стойности на корените на реални функции. Той използва поредица от последователни все по-точни приближения, до достигане на търсената точност на решението. Започва се със стойност, относително близка до истинското решение. Функцията се замества с нейната тангента в тази точка и се изчислява стойността на аргумента, при която тангентата пресича нулевата линия. Тази точка се приема за нова изходна стойност и методът се повтаря итеративно.

Примери

Квадратен корен от число

Да разгледаме задачата за намиране на квадратен корен от число. Има много начини за изчисляването на корени и Нютоновият метод е един от тях.

Например, ако трябва да се намери квадратен корен от 612, това е еквиваленстно на намирането на решенията на

$x^2=612$

Тогава функцията, която ще използваме за метода на Нютон е

$f(x)=x^2-612$

с производна,

$f^{\prime }(x)=2x.$

С начална стойност 10, редицата получена по метода на Нютон е

$\begin{array}{ccccccc}{x}_1& =& x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}& =& 10-\frac{10^2-612}{2\cdot 10}& =& 35.6\\ x_2& =& x_1-\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)}& =& 35.6-\frac{35.6^2-612}{2\cdot 35.6}& =& \underset{\_}{2}6.3955056\\ x_3& =& ⋮& =& ⋮& =& \underset{\_}{24.7}906355\\ x_4& =& ⋮& =& ⋮& =& \underset{\_}{24.7386}883\\ x_5& =& ⋮& =& ⋮& =& \underset{\_}{24.7386338}\end{array}$

Подчертаните цифри са коректни числа. Само с няколко итерации може да се намери решение, с точност много цифри след запетаята.

Решение на неполиномни уравнения

Да разгледаме задачата за намиране на положителното число x, удовлетворяващо уравнението cos(x) = x³. Можем да запишем израза така, когато търсим корените му: f(x) = cos(x) − x³. Имаме f'(x) = −sin(x) − 3x². Тъй като cos(x) ≤ 1 за всяко x и x³ > 1 за x > 1. Знаем, че нашият корен се намира между 0 и 1. Ще опитаме с начална стойност x₀ = 0.5. (Забележете, че при начална стойност 0 ще се получи неопределен резултат, което показва важността от използването на начална точка, която е близо до нулата.)

$\begin{array}{ccccccc}{x}_1& =& x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}& =& 0.5-\frac{\cos (0.5)-(0.5{)}^3}{-\sin (0.5)-3(0.5{)}^2}& =& 1.112141637097\\ x_2& =& x_1-\frac{f(x_1)}{f^{\prime }(x_1)}& =& ⋮& =& \underset{\_}{0.}909672693736\\ x_3& =& ⋮& =& ⋮& =& \underset{\_}{0.86}7263818209\\ x_4& =& ⋮& =& ⋮& =& \underset{\_}{0.86547}7135298\\ x_5& =& ⋮& =& ⋮& =& \underset{\_}{0.8654740331}11\\ x_6& =& ⋮& =& ⋮& =& \underset{\_}{0.865474033102}\end{array}$

Верните числа са подчертани в примера по-горе. В частност x₆ е с точност до всички показани позиции след запетаята. Виждаме, че броя на правилните числа след десетичната точка нарастват от 2 (за x₃) до 5 и 10, показвайки квадратната сходимост.

Вижте също

• Нютонов фрактал
• Алгоритъм на Гаус-Нютон