Степенуване (математика)

Шаблон:Повече източници Степенуване или повдигане на степен е математическа операция, която изразява умножение на равни множители. Обозначението на степенуването е съкратен запис на произведението на равни множители.

Графики на четири функции от вида $y=a^x$, $a$ е указано до всяка графика

Математическо определение

Умножението на n на брой равни множителя a, където n е естествено число, се нарича повдигане на основа a на степен n или стeпенуване. Произведението се записва като aⁿ:

$a^n=\underset{n}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}},$

Изразът $5^3$ се чете пет на трета (степен) или пет на степен три. Първите две степени, на втора и на трета, се наричат съответно още на квадрат и на куб. Така$5^2$ може да се прочете като пет на квадрат. Числата, получени при повдигането на квадрат на цяло число, се наричат точни квадрати.

Когато се работи с числа, обикновено се опростява: например 27 вместо$3^3$, но когато се работи с променливи, се използва $x^6$ вместо $xxxxxx$.

Обратни действия на степенуването са коренуване и логаритмуване. При коренуването по известни резултат от степенуването и степенен показател (степен) се определя основата. При логаритмуването по известни резултат от степенуването и основа се определя степенният показател (степента).
Степенуване: $a^n=b,$
Коренуване: $\sqrt[n]{b}=a$
Логаритмуване: ${\log }_a(b)=n$

Следствия

• Число, повдигнато на степен 1, си остава същото: $a^1=a$.
• Число, повдигнато на степен 0 е равно на 1: $a^0=1$ при $a\ne 0$
  (при $a=0$ изразът $0^0$ е неопределеност ).
• Число, повдигнато на степен -1 е равно на реципрочното му: $a^{-1}=\frac{1}{a}$ при $a\ne 0$.
• Число, повдигнато на степен 1/n е равно на неговия n-ти корен: $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$.
  • Число, повдигнато на степен 1/2 е равно на неговия квадратен корен: $a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$.
  • Число, повдигнато на степен 1/3 е равно на неговия кубичен корен: $a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}$.
• При повдигане на число, различно от 0, на произволна степен резултатът винаги е различен от 0.
• При повдигане на число на четна степен, резултатът винаги е положително число.

Друго

• Сборът на всички степени на числото 2 плюс 1 е равен на следващата степен на 2: 1 + 2⁰ + 2¹...+2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ (за всяко цяло число n≥0).

Правила при степенуването

При степенуването може да се използват следните правила, за да се опростят математически изрази включващи степенуване.

За да се опрости израза, трябва да се замени с това, което той означава. На трета степен означава да се умножат три еднакви множителя, на четвърта – да се умножат четири еднакви множителя. Използвайки това, може да се разшири изразът и след това да се опрости:

$(x^3)(x^4)=(xxx)(xxxx)=xxxxxxx=x^7$

Следователно $x^7$ е равно на $x^{(3+4)}$.

Първо правило

Умножение на степенни изрази с равни основи може да се представи като основа със степенен показател равен на сумата от степенните показатели, както в израза:

$(x^m)(x^n)=x^{(m+n)}$

Нe може да се прилага това правило при изрази с различни основи. Например изразът $(x^4)(y^3)$ не може да се опрости, защото $(x^4)(y^3)=xxxxyyy=(x^4)(y^3)$ – и не е възможно комбинирането.

Второ правило

Използвайки същата логика, може да се замести изразът ${(x^2)}^4$ с неговото значение – „на четвърта“ означава да се умножат четири равни множителя $x^2$.

${(x^2)}^4=(x^2)(x^2)(x^2)(x^2)=(xx)(xx)(xx)(xx)=xxxxxxxx=x^8$.

Отново резултатът $x^8$ е равен на $x^{(2\times 4)}$

В това се заключава правилото, че степенен израз повдигнат на степен може да се замени с израз, при който основата е повдигната на степен, равна на произведението от стeпeнните показатели, както в израза

${(x^m)}^n=x^{(m\times n)}$.

Трето правило

При степенуване на произведение в скоби (хy)³, то степента се прилага върху всеки множител от скобите:

${(x{y}^2)}^3=(x{y}^2)(x{y}^2)(x{y}^2)=(xxx)(y^2{y}^2{y}^2)=x^3{y}^6=(x{)}^3{(y^2)}^3$.

И още един пример:

${\left(\frac{x}{y}\right)}^2=\frac{x^2}{y^2}$.

Погрешно ще бъде прилагането на това правило, ако в скобите е записана сума или разлика, например:

$(3+4{)}^2$ не може да стане$3^2+4^2=9+16=25$, защото резултатът е грешен. Правилното изчисление е $(3+4{)}^2=(7{)}^2=49$.

По-добре е да се запише според това, че „на квадрат“ означава сумата или разликата да се умножи веднъж сама по себе си, така че ${(x-2)}^2=(x-2)(x-2)=xx-2x-2x+4=x^2-4x+4$. Това е част от т.нар. формули за съкратено умножение.

Отрицателни степенни показатели

Отрицателният степенен показател показва, че основата е сложена от другата страна на дробната черта и за да стане с положителна стойност, изразът трябва да се премести от другата страна. Например в израза $x^{-2}$ (хикс на минус втора) x е поставен в числителя $\frac{x^{-2}}{1}$ вместо в знаменателя, което е равно на $\frac{1}{(x{)}^2}$.

Още няколко примера, превръщащи отрицателната степен в положително число:

$x^{-4}=\frac{1x^{-4}}{1}=\frac{1}{x^4}$

$\frac{x^2}{x^{-3}}=\frac{1x^2}{1x^{-3}}=\frac{1x^2{x}^3}{1}=x^5$

$2x^{-1}=\frac{2x^{-1}}{1}=\frac{2}{x^1}=\frac{2}{x}$

Забележително е, че множителят 2 не се мести заедно с променливата x, защото само тя е на степен –1.

$(3x{)}^{-2}=\frac{(3x{)}^{-2}}{1}=\frac{1}{(3x{)}^2}=\frac{1}{9x^2}$

За разлика от предния пример, тук скобите показват, че отрицателната степен трябва да се приложи и върху числото 3 в скобите, както и върху променливата.

${\left(\frac{x^{-2}}{y^{-3}}\right)}^{-2}=\frac{(x^{-2}{)}^{-2}}{(y^{-3}{)}^{-2}}=\frac{(y^{-3}{)}^2}{(x^{-2}{)}^2}=\frac{y^{-6}}{x^{-4}}=\frac{x^4}{y^6}$

Същото може да се реши и така:

${\left(\frac{x^{-2}}{y^{-3}}\right)}^{-2}=\frac{(x^{-2}{)}^{-2}}{(y^{-3}{)}^{-2}}=\frac{x^4}{y^6}$

Тъй като степените означават умножение, а при умножение редът на множителите е без значение, често има повече от един начин за валидно опростяване на даден израз. Начинът е без значение стига стъпките да са правилни и да водят до един и същи отговор.

Дробни (рационални) степени

Дробно число, използвано за степенен показател се ползва и при обратното действие на степенуване – коренуване, като числителят е степенният показател, а знаменателят е коренът, например:

$7^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{7^2}=(\sqrt[3]{7}{)}^2$

Еднаквите стойности на корен и степенен показател се анулират взаимно и резултатът не се променя. Например:

$\sqrt[3]{2^3}=2$

$\sqrt[4]{3^4}=3$

Освен тази има и още една зависимост (която между другото прави изчисления подобни на горното много по-лесни): корен квадратен или корен втори от дадено число може да се представи като степенуване с реципрочна стойност.

$\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$

или

$\sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}=2$

Съответно корен 3 и 4 и т.н. стават:

$\sqrt[3]{8}=8^{\frac{1}{3}}=2$

$\sqrt[4]{81}=81^{\frac{1}{4}}=3$

Така горните примери може да се запишат по следния начин:

$\sqrt[3]{2^3}={(2^3)}^{\frac{1}{3}}=(2^{\frac{3}{1}}{)}^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{3}{1}\times \frac{1}{3}}=2^1=2$

$\sqrt[4]{(3{)}^4}=(3^4{)}^{\frac{1}{4}}=(3^{\frac{4}{1}}{)}^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{4}{1}\times \frac{1}{4}}=3^1=3$

Ако се използва калкулатор, дробният степенен показател трябва да се сложи в скоби, напр. $15^{\frac{4}{5}}$ трябва да стане $15^{(4/5)}$, защото иначе калкулаторът ще приеме, че е въведено $(15^4)÷5$.

Дробните степени позволяват по-голяма гъвкавост (което може да се види при много изчисления) и е по-лесно да се запише отколкото еквивалентния формат, като позволява изчисления, които иначе са невъзможни. Например:

$(\sqrt[10]{25}{)}^5=(25^{\frac{1}{10}}{)}^5=25^{\frac{1}{10}\times \frac{5}{1}}=25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5$

Някои степени под формата на десетична дроб, могат да се пренапишат така, че да станат обикновена дроб:

$3^{5,5}=3^{\frac{11}{2}}$

Като цяло обаче при десетичната степенна дроб (нещо различно от обикновена дроб или цяло число), трябва да го оставим така както е или ако е необходимо да се изчисли с калкулатор. Например 3^π, където π е приблизително равно на 3,14159, не може да бъде опростено.

Вижте също

• Коренуване
• Логаритмуване

Външни препратки

• Оригиналната статия Exponents: Basic Rules е на The Purplemath