Натурален логаритъм

Натуралният логаритъм (Шаблон:Lang) или естествен логаритъм е логаритъм с основа математическата константа $e=2,718281828459...$. Числото „$e$“ е ирационално и се дефинира като границата на (1+1/n)ⁿ при n, клонящо към безкрайност:

Графика на натуралния логаритъм

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n$.

Натуралният логаритъм от $x$ е степента, на която $e$ трябва да се повдигне, за да бъде равно на $x$. Ако $x=e^y$, тогава $y=\ln x$. Естественият логаритъм от $e$ е равен на 1, тъй като $e$¹ = $e$, а eстественият логаритъм от 1 е 0, тъй като $e$⁰ = 1.

Натуралният логаритъм от $x$ обикновено се записва като Шаблон:Math или Шаблон:Math. По-рядко може да бъде записан и без означаване на основата, само като Шаблон:Math. Понякога се добавят скоби за яснота: Шаблон:Math, Шаблон:Math или Шаблон:Math.

Естественият логаритъм Шаблон:Math е дефиниран за всички реални положителни стойности на $x$, както и за всички ненулеви комплексни стойности. Въпреки че не е въведена от Джон Непер, тази функция понякога се нарича неперов логаритъм, а числото $e$ се нарича неперово число.

По теоремата на Линдеман-Вайерщрас натуралният логаритъм на всяко едно положително алгебрично число без 1 е трансцендентно число.

Определения

Натуралният логаритъм може да се дефинира по няколко еквивалентни начина.

Обратна функция на експонентата

Натуралният логаритъм може да се дефинира като обратна функция на експоненциалната функция с равенствата:

$e^{\ln (x)}=x\text{ако }x>0$

$\ln (e^x)=x.$

С други думи, той е биекция на множеството на реалните положителни числа върху множеството на всички реални числа, а още по-прецизно погледнато, той е изоморфизъм между групата на реалните положителни числа относно умножението и групата на реалните числа относно събирането:

$\ln :({ℝ}^{+},\times )\to (ℝ,+)$

ln(a) илюстриран като площта под кривата f(x) = 1/x от 1 до а. Ако стойността на а е по-малка от 1, площта от а до 1 е отрицателна.

Интегрална дефиниция

Формално Шаблон:Math може да се дефинира като областта под графиката на функцията $\frac{1}{x}$ от 1 до $a$, която се дава с интеграла

$\ln (a)=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx.$

Той дефинира логаритъма, тъй като удовлетворява основното свойство на логаритмите:

$\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$

Това може да се покаже чрез заместването $t=\frac{x}{a}$ по следния начин:

$\ln (ab)=\underset{1}{\overset{ab}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx+\underset{a}{\overset{ab}{\int }}\frac{1}{x}dx=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x}dx+\underset{1}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{t}dt=\ln (a)+\ln (b)$

История

Идеята за натуралния логаритъм е разбработена от Гегоар дьо Сан-Винсент и Алфонс Антонио де Сараса преди 1649 г. Тяхната работа включва квадратура на хиперболата xy = 1 чрез определяне площта на хиперболичните сектори. Тяхното решение генерира необходимата функция на хиперболичния логаритъм, притежаваща свойства, свързани с натуралния логаритъм.

Едно от най-ранните споменавания на натуралния логаритъм е от Николаус Меркатор в работата си Logarithmotechnia, публикувана през 1668 г., въпреки че през 1619 г. учителят по математика Джон Спейдъл вече е бил съставил таблица на натурални логаритми.

Конвенции за обозначения

Обозначенията Шаблон:Math и Шаблон:Math се отнасят недвусмислено до натуралния логаритъм от $x$, а Шаблон:Math без означена основа може също да се отнася до натуралния логаритъм. Тази употреба е често срещана в математиката, заедно с някои научни контексти, както и в много езици за програмиране. Обаче в някои други контексти, като например химия, Шаблон:Math може да се използва за обозначаване на десетичния логаритъм (с основа 10). Може също да се отнася до двоичния логаритъм (с основа 2) в контекста на компютърните науки, особено в контекста на времевата сложност. В калкулаторите Шаблон:Math може да означава една от двете функции десетичен или натурален логаритъм – другата съответно е означена с еднозначния си символ Шаблон:Math или Шаблон:Math.

Площта под хиперболата удовлетворява логаритмичния закон. Тук A(s,t) означава площта под хиперболата между s и t.

Свойства

• $\ln 1=0$
• $\ln e=1$
• $\ln (xy)=\ln x+\ln y\text{за }x>0\text{и }y>0$
• $\ln (x^y)=y\ln x\text{за }x>0$
• $\ln x<\ln y\text{за }0<x<y$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
• $\underset{\alpha \to 0}{\lim }\frac{x^{\alpha }-1}{\alpha }=\ln x\text{за }x>0$
• $\frac{x-1}{x}\le \ln x\le x-1\text{за}x>0$
• $\ln (1+x^{\alpha })\le \alpha x\text{за}x\ge 0\text{и }\alpha \ge 1$

Вижте също

• Логаритъм на матрица
• Интегрален логаритъм
• Полилогаритъм
• Функция на Манголд
• Неперово число
• Николас Меркатор