Граница (математика)

Граница в математиката е стойността, до която дадена функция или числова редица се доближава, когато аргументът се доближава до някаква стойност. Границите са важна част от математическия анализ и се използват за определяне на непрекъснатост, производни и интеграли.

Формулата за граница на функция обикновено се записва по следния начин:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$,

и се чете: границата на Шаблон:Math от Шаблон:Math, когато Шаблон:Math се доближава до Шаблон:Math, е равна на Шаблон:Math. Фактът, че функцията Шаблон:Math се доближава до лимита Шаблон:Math, когато Шаблон:Math се доближава до Шаблон:Math, понякога се записва със стрелка, например:

$f(x)\to L\text{ as }x\to c.$

Граница на функция

Нека $f$ да е реална функция, а $c$ – реално число. Интуитивно, записът

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

означава, че $f(x)$ може да бъде много близо до $L$, като доближим $x$ достатъчно близо до $c$. В този случай, по-горното уравнение се чете по следния начин: „границата на $f$от $x$, когато $x$ клони към $c$, е $L$“.

През 1821 г. Огюстен Луи Коши, следван от Карл Вайерщрас, формализира дефиницията на границата на функция, която става известна като (ε, δ)-дефиниция на граница. Дефиницията използва ε (малка буква епсилон в гръцката азбука), за да обозначи кое да е малко положително число, така че „$f(x)$да се доближи до $L$“ да означава, че $f(x)$лежи в интервала $(L-ϵ,L+ϵ)$, което може да се запише и със знака за абсолютна стойност – $|f(x)-L|<ϵ$. Тогава изказът „когато $x$ клони към $c$“ индикира, че се отнасяме към стойностите на $x$, чието разстояние от $c$ е по-малко от някое положително число δ (малка буква делта от гръцката азбука), т.е. стойностите на $x$ при $(c-\delta ,c)$ или $(c,c+\delta )$, може да се изрази с $0<|x-c|<\delta$. Първото неравенство означава, че разстоянието между $x$ и $c$ е по-голямо от $0$ и, че $x\ne c$, а следващото неравенство показва, че $x$ е на разстояние $\delta$ от $c$.

Горната дефиниция на лимита е вярна, дори ако $f(c)\ne L$. Функцията $f$ не е необходимо да бъде дефинирана при $c$.

Например, ако

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

то тогава $f(1)$ не е дефинирана (виж делене на нула), но когато $x$ се доближава до 1, $f(x)$ се доближава до 2:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	⇒ недефинирана ⇐	2.001	2.010	2.100

Функцията sinx/x

Граница се въвежда и ако директното пресмятане на стойността на функция в разглеждана точка води до неопределеност от типа 0/0. Например директното пресмятяне на стойността на функцията

$\frac{\sin x}{x}$

за $x=0$ води до резултат 0/0, който не е еднозначно дефиниран. Но ако изчислим стойността на същата функция за стойности на $x$, близки до 0, например 0,0001, ще получим 1, т.е.

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }f(x)=1$.

Функцията tg x

Лява и дясна граница на функция

В много случаи независимата променлива х клони към х₀ чрез растящи редици от стойности, т.е. отляво, или чрез намаляващи редици от стойности, т.е. отдясно. Получените граници в тези случаи се наричат лява и дясна граница на функцията в зависимост от това дали аргументът остава съответно по-малък, или по-голям от стойността, към която клони. Бележат се със:

$\underset{x\to x_0-}{\lim }f(x)$ за лява граница и

$\underset{x\to x_0+}{\lim }f(x)$ за дясна граница.

Лява и дясна граница се определят в случаите, когато тези две стойности са различни – тогава функцията е прекъсната в дадената точка. Например лявата и дясната граница на функцията $tgx$ при $x$, клонящо към $90^{\circ }$, са съответно $+\mathrm{\infty };-\mathrm{\infty }$.

Неистинска граница на функция

Казва се, че функцията $f(x)$ има неистинска граница $+\mathrm{\infty }$ или $-\mathrm{\infty }$, ако за всяко произволно голямо число $C>0$ съществува такова число $\delta {(}^{″}{C}^{″})>0$, че за всички $x$, за които $0<|x-a|<\delta$, е изпълнено неравенството $f(x)>C$, съответно f(x) < -C$f(x)<-C$. Означава се:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty };$, $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=-\mathrm{\infty }$.

Поведение на функциите в безкрайността

Поведението на дадена функция $f(x)$за много големи положителни и много малки отрицателни стойности на аргумента $x$ се определя със следните дефиниции:

Казва се, че

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=A,$ и съответно $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=A,$

ако за произволно отнапред дадено $ϵ>0$съществува такова достатъчно голямо $x_0>0$, че $|f(x)-A|<ϵ$ за всички $x>x_0$ или съответно за всички $x<-x_0$.

Основни теореми

Границите на съставни функции могат да се изчисляват въз основа на няколко теореми, свързващи границите на съставната функция с границите на съставляващите я функции. Така ако функциите $f(x)$ и $g(x)$ имат граница при $x\to a$, то:

Теорема 1: $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\pm \underset{x\to a}{\lim }g(x)$

Теорема 2: $\underset{x\to a}{\lim }[f(x).g(x)]=\underset{x\to a}{\lim }f(x).\underset{x\to a}{\lim }g(x)$

Теорема 3: $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to a}{\lim }f(x)}{\underset{x\to a}{\lim }g(x)}$ където $g(x)\ne 0$.

Следствие 1: $\underset{x\to a}{\lim }[k.f(x)]=k.\underset{x\to a}{\lim }f(x)$, където $k$ е константа.

Следствие 2: $\underset{x\to a}{\lim }{[f(x)]}^n={[\underset{x\to a}{\lim }f(x)]}^n$, където $n$ е цяло положително число

При тези изчисления границите на съставната функция могат да бъдат неопределени, при което са възможни няколко вида неопределеност (недефинирано аритметично действие):

• Неопределеност от вида $\frac{0}{0}$: Тя се получава от Теорема 3, ако $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$ и $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0$.
• Неопределеност от вида $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$: Тя се получава от Теорема 3, ако $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$ и $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$.
• Неопределеност от вида $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$: Тя се получава от Теорема 1, ако $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$ и $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=+\mathrm{\infty }$, то: $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)+g(x)]=+\mathrm{\infty }$, но $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)-g(x)]$ може както да съществува, така и да не съществува.
• Неопределеност от вида $0.\mathrm{\infty }$: Тя се получава от Теорема 2, ако $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=0$ и $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$

Граница на числова редица

Граница на дадена числова редица $(a_n)$ е число $l$ точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число $ϵ>0$ може да се намери такова число N(ε), че всички членове а_n на редицата с номера n > N(ε) да попадат в интервала (l – ε, l + ε), т.е. да е изпълнено |a_n – l| < ε за всички n > N(ε).

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=l.$

С формализма на математическата логика това се записва по следния начин:

$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }n>N(ϵ),\Vert a_n-l\Vert <ϵ.$

Еквивалентно, но по-интуитивно определение е следното: Дадено число $l$ е граница на числовата редица $(a_n)$, ако всяка околност („всяка околност“ е интервалът $(l-ϵ,l+ϵ)$ за произволно $ϵ>0$) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща. Понякога сходяща числова редица с граница нула се нарича нулева или безкрайно малка редица.

Например границата на редицата

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},...$

при n, клонящо към безкрайност (бележи се n → ∞), е 0, тъй като колкото повече n расте, толкова повече $\frac{1}{n}$ намалява (и все повече се доближава до 0).

Редицата $1,-1,1,...,(-1{)}^{n-1},...$ няма граница, понеже има две точки на сгъстяване: -1 и +1. За нито една от тези точки не е изпълнено условието „Всяка околност съдържа всички членове на редицата освен някакъв краен брой“, понеже съществуват две точки, всяка околност на които съдържа безкраен брой членове на редицата: -1 и 1. Редицата е ограничена и отгоре, и отдолу, т.е. съгласно теоремата на Болцано – Вайерщрас съществуват две числови редици: а_{2n} (всички четни членове на редицата) и а_{2n+1} (всички нечетни членове на редицата), които са сходящи: границите им са съответно +1 и -1.

Свойства на границите на редици

• Ако редиците (a_n), (b_n) и (c_n) са сходящи и клонят съответно към a, b, c, то

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n+b_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n.$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n-b_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n.$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n.b_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n.\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n.$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n}.$

за b_n ≠ 0 и $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$ ≠ 0.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }c{a}_n=c\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ за c = const.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_1\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n+c_2\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$

при с₁ = const, c₂ = const.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_b{a}_n=lo{g}_{b}a$ при b > 0, a > 0, b ≠ 1.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a_n}^p=a^p$ при а > 0 и произволно р.

Основни теореми за граници на редици

• Всяка сходяща числова редица е ограничена, но не всяка ограничена числова редица е сходяща.
• Границата на всяка сходяща числова редица е еднозначно определена. Тя не може да има две различни граници.
• Ако за всички членове на сходящата редица (а_n) при $n\ge n_0$ са изпълнени неравенствата $A\le a_n\le B,$ то тези неравенства са изпълнени и за границата а на редицата: $A\le a\le B.$
• Ако $a_n,b_n,c_n$ са три сходящи редици, такива че $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=d$ и $a_h\le b_h\le c_h$$\mathrm{\forall }h$, то $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=d$.

Вижте също

• Функция
• Математически анализ
• Сходимост
• Редица на Коши
• Граница на функция