Ред на Тейлър

Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на $\sin x$ и развития по Тейлър от степен 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

Ред на Тейлър или развитие по Тейлър е апроксимация на реална или комплексна функция чрез представянето ѝ като безкраен ред с общ член, изчислен от стойностите на производните на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на теоремата на Тейлър.

Ако функцията е безброй пъти диференцируема в отворения интервал (a − r, a + r), тогава нейното развитие по Тейлър е степенният ред

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n.$

(тук f⁽ⁿ⁾(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция).

Редът е кръстен на английския математик Брук Тейлър. В случая, когато a = 0, редът се нарича ред на Маклорен на името на шотландския математик Колин Маклорен (Colin Maclaurin).

Функции, които са точно равни на развитието си в ред на Тейлър в произволна точка a, се наричат аналитични функции. Пример за такива са тригонометричните функции синус и косинус. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките ѝ производни в дадена точка.

На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър за функцията y = sinx. Жълтата крива е от седма степен и е графика на

$\sin \left(x\right)\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}.$

Редът на Тейлър се използва широко в приложната математика и математическия анализ. Някои от приложенията му са:

• директно получаване на приблизителна стойност на функция;
• доказателство на теореми от математическия анализ.

История

Най-ранното използване на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, датира от XIV в. от индийския математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за синус, косинус, тангенс и аркустангенс, но не генерализира редовете.

В края на XVII в. Джеймс Грегъри също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но не вижда обобщението.

През 1715 г. Брук Тейлър доказва и генреализира теоремата си, пряко следствие на която е този обобщен ред.

Колин Маклорен изследва специалния случай във втората половина на XVII в.

Развитие на някои прости функции

• Експоненциална функция и натурален логаритъм:

${\mathrm{e}}^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!},\mathrm{\forall }x$

$\ln (1+x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{x}^{n+1},\left|x\right|<1$

• Геометрична прогресия:

$\frac{x^m}{1-x}=\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{x}^n,\left|x\right|<1$

• Нютонов бином:

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n,\mathrm{\forall }\left|x\right|<1,\mathrm{\forall }\alpha \in C$

• Тригонометрични функции:

$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1},\mathrm{\forall }x$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n},\mathrm{\forall }x$

$\mathrm{tg}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+..,\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

където B са числа на Бернули.

$\sec x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

където E са числа на Ойлер.

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1},\left|x\right|<1$

$\mathrm{arctg}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1},\left|x\right|\le 1$

• Хиперболични функции:

$\sinh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1)!}{x}^{2n+1},\mathrm{\forall }x$

$\cosh \left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n)!}{x}^{2n},\mathrm{\forall }x$

$\mathrm{tgh}\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1},\left|x\right|<1$

$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\mathrm{h}\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2n+1}{x}^{2n+1},\left|x\right|<1$

Изчисляване

Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за достатъчно голям брой функции. Редът може да се ползва така, както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи най-доброто решение е редът да се интегрира последователно няколко пъти.

Вижте също

• Теорема на Тейлър
• Нютонов бином
• Приближение на малки ъгли

Външни препратки

• Ред на тейлър в MathWorld
• История на Мадхава Сангамаграма Шаблон:Webarchive
• Значение на реда на Тейлър Шаблон:Webarchive
• Графична визуализация на редове на Тейлър Шаблон:Webarchive