Формула на Стърлинг

Диаграма на факториел, сравнена с приближенията по формулата на Стърлинг

Формулата на Стърлинг е математическа формула за приблизително изчисляване на стойностите на функцията факториел ($n!$). Точността на приближението нараства с нарастването на $n$, но дори и при малки стойности формулата дава сравнително точни резултати.

Формулата на Стърлинг може да бъде представена чрез логаритъм от факториела:

$\ln (n!)=n\ln n-n+O(\ln n)$,

където $O$ означава, че за всяка достатъчно голяма стойност на $n$ разликата между $\ln (n!)$ и $n\ln n-n$ ще бъде най-много съотносима с логаритъма. Грешката може да бъде изразена по-точно с:

$\frac{1}{2}\log (2\pi n)+O(\frac{1}{n})$,

което води до формулата за приближение на самия факториел:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$.

Формулата е наречена на шотландския математик Джеймс Стърлинг (1692 – 1770).