Комплексно число

Комплексното число може да се представи визуално като двойка числа Шаблон:Math, образуваща вектор в комплексната равнина. На диаграмата „Re“ е реалната ос, „Im“ е имагинерната ос, а Шаблон:Math е имагинерната единица, за която Шаблон:Math.

Комплексното число е число, което може да бъде представено под формата Шаблон:Math, където Шаблон:Math и Шаблон:Math са реални числа, а Шаблон:Math е имагинерната единица, която е решение на уравнението Шаблон:Math.Шаблон:Hrf В този израз Шаблон:Math е реалната част, а Шаблон:Math е имагинерната част на комплексното число.

Комплексните числа разширяват концепцията за едноизмерна числова линия до двуизмерна комплексна равнина, като двете координатни оси се използват като числови линии съответно за реалната и имагинерната част. Комплексното число Шаблон:Math може да се идентифицира с точката Шаблон:Math в комплексната равнина. Комплексно число, чиято реална част е нула, се нарича чисто имагинерно число, а комплексно число с нулева имагинерна част е реално число. По този начин комплексните числа включват всички реални числа, но разширяват тяхното множество, за да бъдат решавани задачи, които не могат да се решат само с реални числа.

Извън използването им в математиката, комплексните числа имат практически приложения в области като физиката, химията, биологията, икономиката, електротехниката и статистиката. Те са използвани за пръв път от италианския математик Джироламо Кардано през XVI век в опитите му да търси решения на кубични уравнения.Шаблон:Hrf

Общи сведения

Комплексните числа могат да се събират, изваждат, умножават и делят също като реалните. Освен това обаче те имат няколко допълнителни свойства, които често правят работата с комплексни числа по-удобна.

Съгласно фундаменталната теорема на алгебрата, всяко алгебрично уравнение с реални или комплексни коефициенти и една променлива има решение в множеството на комплексните числа.

Дефиниция

Полето на комплексните числа, $ℂ$, може да бъде дефинирано в ${ℝ}^2=ℝ\times ℝ$ от наредени двойки реални числа $(a,b)$ чрез няколко аксиоми:

• събиране: $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ – този закон е комутативен, асоциативен и притежава неутрален елемент (0,0) и всеки елемент има симетричен елемент, което дефинира абелевата група $ℂ$
• умножение: $(a,b).(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ – операцията е комутативна и асоциативна. Съществува едниствен единичен елемент $e=(1,0)$, а елементът $i=(0,1)$ има свойството $i^2=(-1,0)$, поради което числата $e$ и $i$ се наричат реална и имагинерна единица
• умножение с реално число: $\lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ$ – външен дистрибутивен и асоциативен мултипликативен закон.

Комплексно число е число от вида Шаблон:Math, където Шаблон:Math и Шаблон:Math са реални числа и Шаблон:Math е имагинерната единица, за която Шаблон:Math. Например, Шаблон:Math е комплексно число.

Реалното число Шаблон:Math се нарича реална част на комплексното число Шаблон:Math, а реалното число Шаблон:Math е негова имагинерна част.Шаблон:HrfШаблон:Hrf Реалната част на дадено комплексно число Шаблон:Math се означава с Шаблон:Math или Шаблон:Math, а имагинерната – с Шаблон:Math или Шаблон:Math. Например,

$\begin{array}{cc}\mathrm{Re}(-3.5+2i)& =-3.5\\ \mathrm{Im}(-3.5+2i)& =2.\end{array}$

Така, изразено чрез своите реална и имагинерна част, комплексното число Шаблон:Math е равно на $\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Im}(z)\cdot i$.

Всяко реално число Шаблон:Math може да се разглежда като комплексно число Шаблон:Math, чиято имагинерна част е 0, а чисто имагинерните числа Шаблон:Math са комплексни числа Шаблон:Math с нулева реална част. Числата с отрицателна имагинерна част обикновено се записват като Шаблон:Math с Шаблон:Math, вместо като Шаблон:Math – например Шаблон:Math вместо Шаблон:Math.

Множеството на комплексните числа се означава с Шаблон:Math, $𝐂$ или $ℂ.$ Формално то се дефинира като множеството на всички наредени двойки реални числа, за които са въведени операции събиране и умножение по следните правила:

• $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
• $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)$

С тези две операции множеството на комплексните числа образува поле. Множеството на числата от вида (а,0) заедно с така зададените операции е изоморфно на множеството на реалните числа, поради което вместо (a,0) се записва просто a. Имагинерната единица i отговаря на двойката (0,1). Непосредствено се проверява, че

$i^2=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1$.

По-често използваният алгебричен вид Шаблон:Math е еквивалентен на формалната дефиниция, както се вижда от равенството:

$(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(0,1)\cdot (b,0)=a+ib$

Геометрична интерпретация в правоъгълни координати

Представяне на комплексните числа като вектори

Комплексните числа могат да се представят като точки или вектори в равнина, снабдена с декартова координатна система, която още се нарича комплексна равнина.Шаблон:HrfШаблон:Hrf В нея векторът z = a + ib има за координати реалната си част a и имагинерната си част b. Множеството от точки, отговарящи на реалните числа, се нарича реална ос, а множеството, отговарящо на чисто имагинерните числа, – имагнерна ос. Дължината на вектора се нарича модул или абсолютна стойност на комплексното число и се отбелязва с |z|, а ориентираният ъгъл между реалната ос и вектора – аргумент на числото и се отбелязва с Arg Шаблон:Math. Ако числото z = a + ib има модул r и аргумент φ, то следващите формули дават връзка между координатите, модула и аргумента:

$a=r\cos \phi$

$b=r\sin \phi$

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

$\cos \phi =\frac{a}{r}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

$\sin \phi =\frac{b}{r}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Използвайки формулата на Ойлер, можем да представим комплексното число Шаблон:Math от така наречения тригонометричен вид (тригонометрична форма на запис) в експоненциална форма:

$z=a+ib=r\cos \phi +ir\sin \phi =r(\cos \phi +i\sin \phi )=r{e}^{i\phi }$

Когато числата са записани в експоненциална форма, формулите за умножение и деление са изключително прости:

$r_1{e}^{i{\phi }_1}\cdot r_2{e}^{i{\phi }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\phi }_1+{\phi }_2)}$,

и

$\frac{r_1{e}^{i{\phi }_1}}{r_2{e}^{i{\phi }_2}}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\phi }_1-{\phi }_2)}.$

Операциите с комплексните числа имат геометрична интерпретация в комплексната равнина. Събирането и изваждането на комплексни числа е еквивалентно на събирането и изваждането на вектори, а умножението е комбинация от въртене и хомотетия. Умножаването на числото Шаблон:Math с числото w = re^iφ е еквивалентно на въртене на вектора Шаблон:Math на ъгъл φ и умножаване на дължината му с r. Така например умножаването с i е еквивалентно на въртене на 90 градуса (π/2 радиана). Тогава геометричната интерпретация на i²= −1 е, че две последователни въртения на 90 градуса са еквивалентни на едно въртене на 180 градуса (π радиана).

Геометрична интерпретация в полярни координати

Аргументът Шаблон:Math и модулът Шаблон:Math дефинират точка в комплексната равнина – $r(\cos \phi +i\sin \phi )$ или $r{e}^{i\phi }$ са полярни представяния на точката

Освен в правоъгълни координати, всяка точка P в комплексната равнина може да се дефинира и чрез полярни координати – чрез разстоянието до нея от началото на координатната система O (точката с координати Шаблон:Math) и ъгъла между положителната реална ос и отсечката OP в посока, обратна на движението на часовниковата стрелка.

Абсолютната стойност (наричана също модул) на комплексното число Шаблон:Math е:

$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

Ако Шаблон:Math е реално число (т.е. Шаблон:Math), тогава Шаблон:Math. В общия случай от Питагоровата теорема следва, че Шаблон:Math е разстоянието от точката P, представляваща комплексното число Шаблон:Math, до началото на координатната система. Квадратът на абсолютната стойност е:

$|z{|}^2=z\overline{z}=x^2+y^2$

където $\overline{z}$ е комплексно спрегнатото на $z$.

Аргументът на Шаблон:Math (наричан в много приложения на комплексните числа „фаза“) е ъгълът между радиус-вектора OP и положителната реална ос, който се обозначава с $\arg (z)$. Както и абсолютната стойност, аргументът може да се получи от правоъгълната форма $x+yi$:Шаблон:Hrf

$\phi =\arg (z)=\{\begin{array}{cc}\arctan (\frac{y}{x})& \text{if }x>0\\ \arctan (\frac{y}{x})+\pi & \text{if }x<0\text{ and }y\ge 0\\ \arctan (\frac{y}{x})-\pi & \text{if }x<0\text{ and }y<0\\ \frac{\pi }{2}& \text{if }x=0\text{ and }y>0\\ -\frac{\pi }{2}& \text{if }x=0\text{ and }y<0\\ \text{indeterminate }& \text{if }x=0\text{ and }y=0.\end{array}$

Стойността на Шаблон:Math тук е в радиани. Тя може да се увеличава с всяко целочислено кратно на Шаблон:Math без да променя стойността на комплексното число. По тази причина аргументът понякога е разглеждан като многозначна функция. По-често, както в описаната дефиниция, се използват само стойностите в интервала (−π,π]. Полярният ъгъл на комплексното число 0 е неопределен, но често се използва произволно избраната стойност 0.

Стойността на Шаблон:Math е равна на резултата от използваната в много езици за програмиране функция atan2: $\phi =\text{atan2}(\text{imaginary},\text{real})$.

Двете променливи Шаблон:Math и Шаблон:Math дават възможност за представяне на комплексните числа в полярна форма, като модулът и аргументът напълно определят тяхното положение в равнината. Получаването на формата в правоъгълни координати от полярната форма може да стане чрез формулата, наричана тригонометрична форма:

$z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$

С използване на Формулата на Ойлер тя може да бъде записана и като:

$z=r{e}^{i\phi }$

записвана понякога и чрез функцията cis:

$z=r\mathrm{cis}\phi$

В ъгловата нотация, често използвана в електрониката за представяне на комплексен вектор с амплитуда Шаблон:Math и фаза Шаблон:Math, формулата се записва като:Шаблон:Hrf

$z=r\mathrm{\angle }\phi$

Релации

Две комплексни числа са равни тогава и само тогава, когато техните реални и имагинерни части са равни:

$z_1=z_2\leftrightarrow (\mathrm{Re}(z_1)=\mathrm{Re}(z_2)\wedge \mathrm{Im}(z_1)=\mathrm{Im}(z_2)).$

За разлика от реалните числа, комплексните не могат да бъдат подредени по големина и при тях не могат да се използват неравенства. Тъй като са разположени в двуизмерна равнина, в множеството на комплексните числа няма естествено линейно подреждане.Шаблон:Hrf Формално, комплексните числа не могат да имат структурата на подредено поле, тъй като в подредените полета всеки квадрат е не по-малък от Шаблон:Math, а Шаблон:Math.

Елементарни действия

Абсолютна стойност

Както бе дефинирана по-горе, абсолютната стойност, също наричана модул или норма, на числото Шаблон:Math се отбелязва с Шаблон:Math и представлява дължината на вектора, съответстващ на Шаблон:Math в комплексната равнина. Ако числото е написано в тригонометричен вид $z=r{e}^{i\phi }$, абсолютната стойност на Шаблон:Math е равна на r, докато ако Шаблон:Math е написано в алгебричен вид z = a + ib, тя се изразява чрез формулата:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Абсолютната стойност има следните свойства:

$|z|\ge 0$

$|z|=0$ тогава и само тогава, когато $z=0$

$|z+w|\le |z|+|w|$

$|zw|=|z||w|$

От тях например следва, че |z/w| = |Шаблон:Math|/|w|. С помощта на абсолютната стойност може да се дефинира функцията разстояние между комплексни числа d(Шаблон:Math,w) = |Шаблон:Math-w|. Геометрично това представлява дължината на отсечката, свързваща точките Шаблон:Math и w в комплексната равнина. С тази функция множеството на комплексните числа се превръща в метрично пространство, което позволява да се дефинират понятия като граница на функция и непрекъсната функция. В това метрично пространство операциите събиране, изваждане, умножение и деление на комплекни числа са непрекъснати.

Комплексно спрегнато

Геометрично представяне на комплексното число Шаблон:Math и неговото спрегнато $\overline{z}$ в комплексната равнина

Тъй като в полето на комплексните числа съществува симетричен елемент $(x,y{)}^{-1}⟺x^2+y^2\ne 0$, комплексно спрегнато, или конюговано, на комплексното число $z=x+yi$ по определение е числото Шаблон:Math, което се означава с $\overline{z}$ или Шаблон:Math. Формално, за всяко комплексно число Шаблон:Math:

$\overline{z}=\mathrm{Re}(z)-\mathrm{Im}(z)\cdot i$

Както се вижда от илюстрацията, $\overline{z}$ е симетрично на Шаблон:Math спрямо реалната ос. Комплексно спрегнатото число има следните свойства:

$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$

$\overline{zw}=\overline{z}\overline{w}$

$\overline{(z/w)}=\overline{z}/\overline{w}$

$\overline{\overline{z}}=z$

$\overline{z}=z$ тогава и само тогава, когато Шаблон:Math е реално

$\overline{r{e}^{i\phi }}=r{e}^{-i\phi }$

$|z|=|\overline{z}|$

$|z{|}^2=z\overline{z}$

$z^{-1}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$ ако Шаблон:Math не е нула.

Последната формула е дава начин за пресмятане на реципрочното на комплексно число, записано в алгебричен вид.

Реалната и имагинерната част на комплексното число могат да бъдат извлечени чрез използването на комплексното спрегнато:

$\mathrm{Re}(z)=\frac{1}{2}(z+\overline{z}),$

$\mathrm{Im}(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z}).$

Събиране и изваждане

Събирането на две комплексни числа може да се извърши и геометрично чрез построяването на успоредник

Комплексните числа се събират чрез събиране на техните реални и имагинерни части:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$

По подобен начин изваждането се дефинира като:

$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$

Като се използва визуализацията на комплексните числа в комплексната равнина, събирането има следната геометрична интерпретация: сборът на две комплексни числа A и B, разглеждани като точки в комплексната равнина, е точката X получена чрез построяването на успоредник, три от ъглите на който са O, A и B. По същия начин X е точката, за която триъгълниците с върхове O, A, B и X, B, A са еднакви.

Умножение и деление

Умножението на две комплексни числа се дефинира чрез следната формула:

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

То се извършва аналогично на умножението на реалните числа, отчитайки особеностите при повдигане на квадрат на имагинерната единица:

$i^2=i\times i=-1.$

Дефиницията на умножение на комплексни числа следва естествено от това фундаментално качество на имагинерната единица. Ако Шаблон:Math се разглежда като число, като Шаблон:Math означава Шаблон:Math пъти Шаблон:Math, правилото за умножение е идентично на обичайните правила за умножение на два сбора на две събираеми:

$(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bidi$

$=ac+bidi+bci+adi$

$=ac+bd{i}^2+(bc+ad)i$

$=(ac-bd)+(bc+ad)i$

Делението на две комплексни числа се дефинира чрез умножението, дефинирано по-горе, и чрез делението на реални числа. Когато поне едно от Шаблон:Math и Шаблон:Math е ненулево, имаме:

$\frac{a+bi}{c+di}=\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.$

Делението може да се дефинира по този начин, заради следното наблюдение:

$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)\cdot (c-di)}{(c+di)\cdot (c-di)}=\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i.$

Както е показано по-горе, Шаблон:Math е комплексно спрегнатото на знаменателя Шаблон:Math. Поне едно от реалната част Шаблон:Math и имагинерната част Шаблон:Math на знаменателя трябва да бъде ненулево, за да бъде делението определено.

Реципрочната стойност на ненулевото комплексно число Шаблон:Math се получава от:

$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i.$

В полярна форма формулите за умножение и деление на комплексни числа са по-прости. При дадени две комплексни числа Шаблон:Math и Шаблон:Math от известните тригонометрични равенства

$\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)=\cos (a+b)$

$\cos (a)\sin (b)+\sin (a)\cos (b)=\sin (a+b)$

следва, че

$z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2))$

Умножение на Шаблон:Math (синия триъгълник) и Шаблон:Math (червения триъгълник): червеният триъгълник се ротира около началото на координатната система, така че върхът на синия триъгълник да попадне на страната му, след което се разтяга с Шаблон:Sqrt, дължината на хипотенузата на синия триъгълник

С други думи, абсолютните стойности се умножават, а аргументите се събират, за да се получи полярната форма на произведението. Например, умножението с Шаблон:Math съответства на четвърт завъртане срещу посоката на движение на часовниковата стрелка, от което следва и Шаблон:Math. Илюстрацията вдясно показва умножението

$(2+i)(3+i)=5+5i$

Тъй като реалната и имагинерната част на Шаблон:Math са равни, аргументът на това число е 45 градуса или π/4 (в радиани). От друга страна това е и сборът от ъглите в началото на координатната система на червения и синия триъгълник – съответно arctan(1/3) и arctan(1/2). Така се получава формулата

$\frac{\pi }{4}=\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3}$

Тъй като функцията аркустангенс може да се изчислява много ефективно, подобни формули се използват за апроксимации с голяма точност на числото π.

Аналогично делението се получава от

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2))$

Степенуване и коренуване

Формулата на Моавър позволява да се степенува комплексно число, представено в тригонометричен вид:

$z^n=[r(\cos \phi +i\sin \phi ){]}^n=r^n(\cos n\phi +i\sin n\phi ),$

където r е модулът, а φ – аргументът на комплексното число. В съвременната символика тя е публикувана от Ойлер през 1722 г.

Квадратните корени на Шаблон:Math (при Шаблон:Math) са $\pm (\gamma +\delta i)$, където

$\gamma =\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$

и

$\delta =\mathrm{sgn}(b)\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}},$

където sgn е функцията сигнум. Това може да бъде проверено чрез повдигане на квадрат на $\pm (\gamma +\delta i)$ за да се получи Шаблон:Math.Шаблон:HrfШаблон:Hrf Тук $\sqrt{a^2+b^2}$ е абсолютната стойност на Шаблон:Math, а символът за квадратен корен обозначава квадратният корен с неотрицателна реална част, наричан основен квадратен корен. Също така $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline{z}}$, където $z=a+bi$.Шаблон:Hrf

История на изследванията

В алгебрата отдавна е известно, че общото експлицитно (без използване на тригонометрични функции) решение на произволно кубично уравнение изисква използването на квадратни корени на отрицателни числа. Това затруднение довежда през 1545 година италианския математик Джироламо Кардано до идеята да използва комплексни числа, макар че разбирането му за тях е ограничено. Те се появяват най-напред като „мними (въображаеми) величини“ в неговия труд „Великото изкуство, или за алгебричните правила“, като самият автор ги смята за негодни за употреба.

Изследванията на въпроса за общите полиномни уравнения в крайна сметка довежда до фундаменталната теорема на алгебрата, според която при използване на комплексни числа може да бъде решено произволно полиномно уравнение от първа и по-висока степен. Така комплексните числа образуват алгебрически затворено поле, в което всяко полиномно уравнение има корен.

Ползата от мнимите величини първи оценява италианецът Рафаел Бомбели (1572) – при решаването на кубични уравнения в т. нар. неприводим случай, когато реалните корени се изразяват чрез кубични корени от мними величини. Той създава правилата за най-прости действия с комплексни числа – събиране, изваждане, умножение и деление.Шаблон:Hrf

През XVI – XVII в. математиците започват да наричат „мними“ изрази от вида $a+b\sqrt{-1}$, появяващи се при решаване на квадратни и кубични уравнения. За много крупни учени от XVII в. обаче алгебричната и геометричната им същност остава неясна. Нютон например не включва мнимите величини в понятието число.

Задачата за изразяване на n-ти корен от дадено число е решена в работите на Моавър (A. de Moivre, 1707, 1724) и Р. Котес (R. Cotes, 1722).

Символът $i=\sqrt{-1}$ е предложен от Ойлер (1794), който използва първата буква от „imaginarius“. През 1751 г. той изказва мисълта за алгебрична затвореност на полето на комплексните числа. До същия извод стига и д'Аламбер (1747), но първото строго доказателство на този факт е дадено от Гаус (1799). Той въвежда в употреба термина „комплексно число“ през 1831 г.

Първото геометрично тълкуване на комплексните числа и действията над тях е изложено в работа на Весел (С. Wessel, 1799).

Геометричното представяне на комплексните числа влиза в употреба след публикуването на работата на Арган (J. R. Argand) – 1806 г.Шаблон:Hrf Аритметичната теория на комплексните числа като двойка реални числа е изградена от ирландеца Уилям Роуън Хамилтън (1837), който формулира и обобщението на комплексните числа – кватернионите.

Бележки

Цитирани източници

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite web