Граница на редица

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Докато положителното цяло число $n$ расте, стойността на $n\cdot \sin \left(\frac{1}{n}\right)$ става все по-близка до $1$. Тоест, границата на редицата $n\cdot \sin \left(\frac{1}{n}\right)$ е $1$.

В математиката, граница на редица от елементи на метрично пространство или топологично пространство е елемент от същото пространство, който има свойството да „привлича“ елементи от дадена последователност. Ако такава граница съществува, редицата е сходяща. Ако редицата не е сходяща, то тя е разходяща. Граница на редица е фундаментално понятие, на което почива целия математически анализ.

Граница на числова редица

Граница на дадена числова редица $(a_n)$ е число $l$ точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число $ϵ>0$ може да се намери такова число N(ε), че всички членове а_n на редицата с номера n > N(ε) да попадат в интервала (l – ε, l + ε), т.е. да е изпълнено |а_n – l| < ε за всички n > N(ε).

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n)=l$

По-интуитивно определение е следното: Дадено число $l$ е граница на числовата редица $(a_n)$, ако всяка околност („всяка околност“ е интервалът $(l-ϵ,l+ϵ)$ за произволно $ϵ>0$) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща. Понякога сходяща числова редица с граница нула се нарича нулева или безкрайно малка редица.

Свойства на сходящите редици

• Ако редиците (a_n), (b_n) и (c_n) са сходящи и клонят съответно към a, b, c, то

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n+b_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n.$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n-b_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n.$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n.b_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n.\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n.$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n}.$

за b_n ≠ 0 и $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$ ≠ 0.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }c{a}_n=c\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ за c = const.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_1\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n+c_2\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$

при с₁ = const, c₂ = const.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_b{a}_n=lo{g}_{b}a$ при b > 0, a > 0, b ≠ 1.

$li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}{a_n}^p=a^p$ при а > 0 и произволно р.

По-общо определение за сходяща редица

• За редица от точки $\{x_n|n\in \mathbb{N}\}$ в метрично пространство M с функция-дължина d (например, редица от рационални числа, реални числа, комплексни числа, точки в нормирано пространство, и др.):

Ако $L\in M$ казваме, че L е граница на редицата и го означаваме с

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$

$⟺\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}:n>N\to d(x_n,L)<ϵ.$

т.е.: тогава и само тогава, когато за всяко реално число $ϵ>0$, съществува естествено число N такова, че за всяко $n>N$ е изпълнено $d(x_n,L)<ϵ.$

• Като обобщение на горното за редица от точки $\{x_n|n\in \mathbb{N}\}$ в топологично пространство T:

Ако $L\in T$ казваме, че L е граница на редицата и го означаваме с

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$

$⟺\mathrm{\forall }U(L)\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }n>N{x}_n\in U(L)$

т.е.: тогава и само тогава, когато за всяка околност S на L съществува естествено число N такова, че $x_n\in S$ за всяко $n>N.$

Ако една редица има граница, казваме, че е сходяща или че редицата клони към някаква граница. В противен случай редицата е разходяща.

Примери

• Редицата 1, -1, 1, -1, 1, ... е разходяща.
• Редицата 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... е сходяща и има граница 1. Това е пример за безкраен ред.
• Ако a е реално число с абсолютна стойност |a| < 1, то редицата aⁿ клони към 0. Ако 0 < a ≤ 1, то редицата a^1/n клони към 1.

Още:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^p}=0$ при p > 0.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^n=0$ при |a| < 1.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{\frac{1}{n}}=1$.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{\frac{1}{n}}=1$ при a > 0.