Тригонометрични тъждества

Тригонометричните тъждества са група равенства в тригонометрията, които свързват тригонометричните функции и които са в сила за всяка стойност на променливите, за която всички части на равенството са дефинирани.

Основното тригонометрично тъждество, пряко следствие на питагоровата теорема, свързва функциите синус и косинус:

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1,$

Това уравнение може да бъде решено както за синуса, така и за косинуса:

$\begin{array}{cc}\sin \theta & =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\theta },\\ \cos \theta & =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\theta }.\end{array}$

като променливият знак зависи от квадранта на ъгъла $\theta .$

С разделянето на основното тъждество на ${\sin }^2\theta$, ${\cos }^2\theta$ или и на двете се получават следните тъждества:

$\begin{array}{cc}& 1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta \\ & 1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta \\ & {\sec }^2\theta +{\csc }^2\theta ={\sec }^2\theta {\csc }^2\theta \end{array}$

Въз основа на тригонометричните тъждества всяка от тригонометричните функции може да се изрази чрез някоя друга тригонометрична функция:

изразена чрез	$\sin \theta$	$\csc \theta$	$\cos \theta$	$\sec \theta$	$\tan \theta$	$\cot \theta$
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	$\frac{1}{\csc \theta }$	$\pm \sqrt{1-{\cos }^2\theta }$	$\pm \frac{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}{\sec \theta }$	$\pm \frac{\tan \theta }{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}$
$\csc \theta =$	$\frac{1}{\sin \theta }$	$\csc \theta$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}$	$\pm \frac{\sec \theta }{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}$	$\pm \frac{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}{\tan \theta }$	$\pm \sqrt{1+{\cot }^2\theta }$
$\cos \theta =$	$\pm \sqrt{1-{\sin }^2\theta }$	$\pm \frac{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}{\csc \theta }$	$\cos \theta$	$\frac{1}{\sec \theta }$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}$	$\pm \frac{\cot \theta }{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}$
$\sec \theta =$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}$	$\pm \frac{\csc \theta }{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}$	$\frac{1}{\cos \theta }$	$\sec \theta$	$\pm \sqrt{1+{\tan }^2\theta }$	$\pm \frac{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}{\cot \theta }$
$\tan \theta =$	$\pm \frac{\sin \theta }{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}$	$\pm \frac{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}{\cos \theta }$	$\pm \sqrt{{\sec }^2\theta -1}$	$\tan \theta$	$\frac{1}{\cot \theta }$
$\cot \theta =$	$\pm \frac{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}{\sin \theta }$	$\pm \sqrt{{\csc }^2\theta -1}$	$\pm \frac{\cos \theta }{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}$	$\frac{1}{\tan \theta }$	$\cot \theta$