Абсолютна стойност

Абсолютна стойност или още модул на число се бележи с $|x|$ и е разстоянието от числото до нулата. Затова, ако имаме числото −23, $|-23|$ това е разстоянието от −23 до 0, т.е. $|23|$.

История

Терминът „абсолютна стойност“ е предложен от Коутс – ученик на Нютон. Знакът за модул е въведен през 19 век от Вайерщрас. За комплексни числа това понятие е въведено от Коши и Арган през 19 век.

Алгебрични свойства

Графика на функцията

Модулът на числото 31 е еднакъв с модула на числото -31, защото те са на еднакво разстояние от нулата.

Дефиниция

$|x|=x$ при x > 0 и $|x|=-x$ при x < 0.

Затова

$|a-b|=|b-a|$

и

$|a+b|=|-a-b|$.

Стойностите на модула са винаги неотрицателни числа. Затова, ако искаме да извадим число извън модула пред скоби, това число може да е само положително.

По същия начин

$|ab|=a|b|$ при a > 0

и

$|ab|=-a|b|$ при a < 0.

За комплексно число $z=a+\mathrm{i}b$ абсолютната стойност е

$|z|=\sqrt{z\cdot \overline{z}}=\sqrt{(a+\mathrm{i}b)\cdot (a-\mathrm{i}b)}=\sqrt{a^2+b^2}$.

Примери

Решаване на уравнение, съдържащо модул:

Да се реши уравнението |x + 3| = 5. Разглеждаме отделно двата случая: x + 3 = 5 и x + 3 = −5. Получаваме двете решения x = 2 и x = −8.