Формула на Ойлер

Графика, показваща взаимовръзката между $\sin \phi$, $\cos \phi$ и комплексната експоненциална функция.

Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.

Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число $\phi$:

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$ ,

където важи:

е — основа на натуралния логаритъм,

i — имагинерна единица,

$\sin$ и $\cos$ са тригонометрични функции.

Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер „скъпоценен камък“ и „най-важната формула в цялата математика“ (Feynman, p. 22-10).

Ако искаме да обясним формулата на Ойлер с най-прости думи, тя описва ротация на единичен вектор на ъгъл $\phi$.

Извод

Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини като сред най-елегантните е чрез комплексен интеграл:

Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид.

$z\equiv \cos \phi +i\sin \phi$.

След диференциране и преобразуване, получаваме:

$dz=d(\cos \phi +i\sin \phi )$

$dz=(-\sin \phi +i\cos \phi )d\phi$

$dz=i(i\sin \phi +\cos \phi )d\phi$

$dz=i(\cos \phi +i\sin \phi )d\phi$

$dz=izd\phi$

$\frac{dz}{z}=id\phi$

$\int \frac{dz}{z}=\int id\phi$

$\ln z=i\phi +C$

$z=A{e}^{i\phi }$

където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:

$z(0)=A=\cos (0)+i\sin (0)=1$

и оттук

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$.

Тъждество на Ойлер

В частния случай, когато $\phi =\pi$ получаваме:

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .$

Ако $\cos \pi =-1$ и $\sin \pi =0$, следва, че:

$e^{i\pi }=-1$

а оттук следва, че:

$e^{i\pi }+1=0$