Смяна на променливата

Смяната на променливата, наричана също полагане, е основна математическа техника, използвана за опростяването на задачи чрез замяната на първоначална променлива с функция на друга променлива. Целта е по този начин задачата за стане по-проста или аналогична на друга по-разбираема задача.

Пример

Много прост пример за използване на смяна на променливата е задачата за намиране на корените на следния полином от шеста степен:

$x^6-9x^3+8=0.$

Полиномните уравнения от шеста степен нямат общо решение, но този частен случай може да се запише и като:

$(x^3{)}^2-9(x^3)+8=0$

Така уравнението може да се опрости чрез дефинирането на нова променлива $u=x^3$. Смяната на x с $\sqrt[3]{u}$ в полинома дава:

$u^2-9u+8=0,$

което е просто квадратно уравнение с две решения:

$u=1\text{и}u=8.$

Решенията, изразени чрез първоначалната променлива, се получават с обратната замяна на u с x³, която дава:

$x^3=1\text{и}{x}^3=8.$

Така реалните корени на първоначалното уравнение са:

$x=(1{)}^{1/3}=1\text{и}x=(8{)}^{1/3}=2.$