Константа на Ойлер – Маскерони

Площта на синия район конвергира към константата на Ойлер – Маскерони.

Константата на Ойлер – Маскерони (наричана още константа на Ойлер) е математическа константа, появяваща се в математическия анализ и теорията на числата, обикновено обозначавана с гръцката буква гама (Шаблон:Mvar).

Определя се като сходящата разлика между хармоничен ред и естествен логаритъм:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\ln n+\sum _{k=1}^n\frac{1}{k})\\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx.\end{array}$

Тук Шаблон:Math представлява функция скобка.

Числената стойност на константата на Ойлер – Маскерони до 50-ия знак след десетичната запетая е:

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …

История

Константата се появява за пръв път през 1734 г. в труд на швейцарския математик Леонард Ойлер, озаглавен De Progressionibus harmonicis observationes. Ойлер използва означенията Шаблон:Math и Шаблон:Math за константата. През 1790 г. италианският математик Лоренцо Маскерони използва нотациите Шаблон:Math и Шаблон:Math за константата. Обозначението Шаблон:Mvar не присъства никъде в писанията на Ойлер или Маскерони и е избрано по-късно, вероятно заради връзката на константата с гама-функцията. Например, немският математик Карл Антон Бретшнайдер използва означението Шаблон:Mvar през 1835 г., а Огъстъс Де Морган го използва в учебник, публикуван на части от 1836 до 1842 г.

Проявления

Константата на Ойлер – Маскерони се проявява в следните места ('*' означава, че този запис съдържа подробно уравнение):

• Изрази, включващи интегрална показателна функция*
• Трансформацията на Лаплас за естествен логаритъм
• Първото условие на разширението на реда на Лоран за дзета-функцията на Риман*
• Изчисления на дигама-функция
• Формула за прозиведение на гама-функция
• Неравенство за функцията на Ойлер
• Нарастването на сигма-функцията
• В регулация на измеренията в диаграмата на Файнман
• Третата от теоремите на Мертенс*
• Решение от втори вид на уравнението на Бесел
• В регулацията на хармоничните редове като крайна стойност
• Осредняването на разпределението на Гумбел
• В ентропията на Шанън при разпределенията на Уейбъл и Леви и, имплицитно, на разпределението хи-квадрат за една или две степени на свобода
• В някои формулировки на закона на Ципф
• В определението на косинусовия интеграл*
• В долните граници на интервалите между простите числа

Свойства

Числото Шаблон:Mvar все още не е доказано, че е алгебрично или трансцендентно. Всъщност, не се знае дали Шаблон:Mvar е ирационално. Анализ на верижната дроб показва, че ако Шаблон:Mvar е рационално, то знаменателят му трябва да е по-голям от 10²⁴²⁰⁸⁰. Вездесъщността на Шаблон:Mvar, доказана от големия брой уравнения по-долу, прави ирационалността на Шаблон:Mvar голям отворен въпрос в математиката.

Връзка с гама-функцията

Шаблон:Mvar е свързана с дигама-функцията Шаблон:Math и следователно производната на гама функцията Шаблон:Math, когато и двете функции се изчисляват с 1. Оттук:

$-\gamma ={\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1)=\mathrm{\Psi }(1).$

Това е равно на границите:

$\begin{array}{cc}-\gamma & =\underset{z\to 0}{lim}(\mathrm{\Gamma }(z)-\frac{1}{z})\\ & =\underset{z\to 0}{lim}(\mathrm{\Psi }(z)+\frac{1}{z}).\end{array}$

По-нататъшните резултати за границите са:

$\begin{array}{cc}\underset{z\to 0}{lim}\frac{1}{z}(\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+z)}-\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-z)})& =2\gamma \\ \underset{z\to 0}{lim}\frac{1}{z}(\frac{1}{\mathrm{\Psi }(1-z)}-\frac{1}{\mathrm{\Psi }(1+z)})& =\frac{{\pi }^2}{3{\gamma }^2}.\end{array}$

Граница, свързана с бета-функцията (изразена спрямо гама-функции) е

$\begin{array}{cc}\gamma & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{n}\right)\mathrm{\Gamma }(n+1)n^{1+\frac{1}{n}}}{\mathrm{\Gamma }(2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^2}{n+1})\\ & =\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{(-1{)}^k}{k}\ln (\mathrm{\Gamma }(k+1)).\end{array}$

Връзка с дзета-функцията

Шаблон:Mvar може също да бъде изразена като безкрайна сума, чиито условия включват дзета-функция на Риман, изчислена с положителни цели числа:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{\zeta (m)}{m}\\ & =\ln \frac{4}{\pi }+\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{\zeta (m)}{2^{m-1}m}.\end{array}$

Други редове, свързани с дзета-функцията включват:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\frac{3}{2}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{m-1}{m}(\zeta (m)-1)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2n-1}{2n}-\ln n+\sum _{k=2}^n(\frac{1}{k}-\frac{\zeta (1-k)}{n^k}))\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{2^n}{e^{2^n}}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{mn}}{(m+1)!}\sum _{t=0}^m\frac{1}{t+1}-n\ln 2+O\left(\frac{1}{2^n{e}^{2^n}}\right)).\end{array}$

Условието на грешката в последното уравнение е бързо намаляваща функция на Шаблон:Math. В резултат на това, формулата е подходяща за ефективно изчисление на константата с висока точност.

Други интересни граници, равняващи се на константата на Ойлер – Маскерони са асиметричната граница:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\underset{s\to 1^{+}}{lim}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n})\\ & =\underset{s\to 1}{lim}(\zeta (s)-\frac{1}{s-1})\\ & =\underset{s\to 0}{lim}\frac{\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}\end{array}$

и формулата на Вале-Пусен:

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(\lceil \frac{n}{k}\rceil -\frac{n}{k})$

където $\lceil \rceil$ са скобите на функцията скобка.

Тясно свързано с това е изразът на рационалните дзета редове. Взимайки отделно първите няколко условия на горните редове, може да се направи оценка за границата на класическия ред:

$\gamma =\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n-\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (m,n+1)}{m},$

къдетоШаблон:Math е дзета-функцията на Хурвиц. Сборът в това уравнение включва хармонични числа, Шаблон:Math. Разширявайки условията в дзета-функцията на Хурвиц, се получава:

$H_n=\ln (n)+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\epsilon ,$

където Шаблон:Math

Интеграли

Шаблон:Mvar е равна на стойността на число от определени интеграли:

$\begin{array}{cc}\gamma & =-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\ln xdx\\ & =-{\int }_0^1\ln (\ln \frac{1}{x})dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x\cdot e^x})dx\\ & ={\int }_0^1(\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x})dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{1+x^k}-e^{-x})\frac{dx}{x},k>0\\ & ={\int }_0^1{H}_{x}dx,\end{array}$

където Шаблон:Math е дробното хармонично число.

Определени интеграли, в които се появява Шаблон:Mvar, са:

$\begin{array}{cc}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\ln xdx& =-\frac{(\gamma +2\ln 2)\sqrt{\pi }}{4}\\ {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}{\ln }^{2}xdx& ={\gamma }^2+\frac{{\pi }^2}{6}.\end{array}$

Шаблон:Mvar може да се изрази и така:

$\begin{array}{cc}\gamma & ={\int }_0^1{\int }_0^1\frac{x-1}{(1-xy)\ln xy}dxdy\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\ln \frac{n+1}{n}).\end{array}$

Интересно сравнение с двойния интеграл и променливият ред е:

$\begin{array}{cc}\ln \frac{4}{\pi }& ={\int }_0^1{\int }_0^1\frac{x-1}{(1+xy)\ln xy}dxdy\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}((-1{)}^{n-1}(\frac{1}{n}-\ln \frac{n+1}{n})).\end{array}$

То показва, че Шаблон:Math може да бъде считано като „променлива Ойлерова константа“.

Двете константи също често се свързва от чифта редове

$\begin{array}{cc}\gamma & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_1(n)+N_0(n)}{2n(2n+1)}\\ \ln \frac{4}{\pi }& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_1(n)-N_0(n)}{2n(2n+1)},\end{array}$

където Шаблон:Math и Шаблон:Math са броя единици и нули, съответно, в двоично разширение на Шаблон:Math.

Разширение на редове

Ойлер показва, че следният безкраен ред приближава Шаблон:Mvar:

$\gamma =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{k}-\ln (1+\frac{1}{k})).$

Редът за Шаблон:Mvar е еквивалентен на реда на Нилсен, открит през 1897 г.:

$\gamma =1-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\lfloor {\log }_{2}k\rfloor }{k+1}.$

През 1910 г. Джовани Вака открива тясно свързаните редове:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\lfloor {\log }_{2}k\rfloor }{k}\\ & =\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+2(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7})+3(\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}+\cdots -\frac{1}{15})+\cdots ,\end{array}$

където Шаблон:Math е двоичен логаритъм, а Шаблон:Math функция скобка.

През 1926 г. той намира втори ред:

$\begin{array}{cc}\gamma +\zeta (2)& =\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{{\lfloor \sqrt{k}\rfloor }^2}-\frac{1}{k})\\ & =\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{k-{\lfloor \sqrt{k}\rfloor }^2}{k{\lfloor \sqrt{k}\rfloor }^2}\\ & =\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2^2}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}\frac{k}{k+2^2}+\frac{1}{3^2}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}\frac{k}{k+3^2}+\cdots \end{array}$

От разширението на логаритъма на гама-функцията на Малмстен-Кумер се получава:

$\gamma =\ln \pi -4\ln (\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4}))+\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\frac{\ln (2k+1)}{2k+1}.$

Важно разширение за константата на Ойлер се дължи на Грегорио Фонтана и Лоренцо Маскерони:

$\gamma =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|G_n|}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{24}+\frac{1}{72}+\frac{19}{2880}+\frac{3}{800}+\cdots ,$

където Шаблон:Math са коефициенти на Грегъри.

Друго важно разширение с коефициенти на Грегъри, включващо константата на Ойлер е:

$\begin{array}{cccc}{H}_n& =\gamma +\ln n+\frac{1}{2n}-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(k-1)!|G_k|}{n(n+1)\cdots (n+k-1)},& & n=1,2,\dots ,\\ & =\gamma +\ln n+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n(n+1)}-\frac{1}{12n(n+1)(n+2)}-\frac{19}{120n(n+1)(n+2)(n+3)}-\cdots & & \end{array}$

и конвергира за всички Шаблон:Math.

Редове от прости числа:

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\ln n-\sum _{p\le n}\frac{\ln p}{p-1}).$

Редове, свързани с квадратни корени:

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln \sqrt{\sum _{k=1}^{n}k})-\frac{\ln 2}{2}.$

Асимптотични разширения

Шаблон:Mvar се равнява на следните асимптотични формули (kydeto Шаблон:Math е Шаблон:Math-тото хармонично число):

$\gamma \sim H_n-\ln n-\frac{1}{2n}+\frac{1}{12n^2}-\frac{1}{120n^4}+\cdots$

$\gamma \sim H_n-\ln \left(n+\frac{1}{2}+\frac{1}{24n}-\frac{1}{48n^3}+\cdots \right)$

$\gamma \sim H_n-\frac{\ln n+\ln (n+1)}{2}-\frac{1}{6n(n+1)}+\frac{1}{30n^2(n+1{)}^2}-\cdots$

Третата формула се нарича също разширение на Рамануджан.

Експонента

Константата Шаблон:Math е важна в теорията на числата. Някои автори обозначават тази величина просто като Шаблон:Math. Шаблон:Math е равно на следната граница, където Шаблон:Math е Шаблон:Math-тото просто число:

$e^{\gamma }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\ln p_n}\prod _{i=1}^n\frac{p_i}{p_i-1}.$

Това потвърждава третата от теоремите на Мартенс. Числената стойност на Шаблон:Math е:

1,78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 …

Други безкрайни произведения, свързани с Шаблон:Math, включват:

$\begin{array}{cc}\frac{e^{1+\frac{\gamma }{2}}}{\sqrt{2\pi }}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-1+\frac{1}{2n}}{(1+\frac{1}{n})}^n\\ \frac{e^{3+2\gamma }}{2\pi }& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2+\frac{2}{n}}{(1+\frac{2}{n})}^n.\end{array}$

Също така, имаме:

$e^{\gamma }=\sqrt{\frac{2}{1}}\cdot \sqrt[3]{\frac{2^2}{1\cdot 3}}\cdot \sqrt[4]{\frac{2^3\cdot 4}{1\cdot 3^3}}\cdot \sqrt[5]{\frac{2^4\cdot 4^4}{1\cdot 3^6\cdot 5}}\cdots$

където Шаблон:Math-тата степен е Шаблон:Math-тият корен на

$\prod _{k=0}^n(k+1{)}^{(-1{)}^{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}.$