Експоненциална функция

Експоненциалната функция $y=e^x$

В математиката експоненциалната функция е тази функция, която е равна на собствената си производна. Бележи се с e^x, където е е Ойлеровото число (равно приблизително на 2,718). Използва се за изразяване на функционална връзка, при която фиксирана промяна в абсолютната стойност на независимата променлива води до фиксирана пропорционална промяна (т.е. процентно увеличение или намаляване) в стойността на функцията. Експоненциалната функцията често се бележи с exp(x), особено когато е неудобно изписването на зависимата променлива като степенен показател. Експоненциалната функция има широка употреба във физиката, химията и математиката.

Графиката на функцията y = e^x е растяща и се увеличава по-бързо с нарастването на x. Функцията е положителна за всички стойности на x, но може да приема стойности произволно близки до нулата (при отрицателни стойности на x), което значи, че абсцисата е хоризонтална асимптота на експоненциалната функция. Производната на експоненциалната функция във всяка точка е равна на самата функция. Обратната функция на експоненциалната функция е естественият логаритъм ln(x).

Дефиниция

Експоненциалната функция (в синьо), и сбора на първите n + 1 члена на степенния ред вляво (в червено).

Експоненциалната функция може да бъде дефинирана по няколко еквивалентни начина. Често използвана дефиниция е следният степенен ред:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots .$

Тази дефиниция важи както за реални така и за комплексни числа. Еквивалентна дефиниция е следната граница:

$e^x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n.$

Свойства

Изхождайки от горните определения, може да се докаже, че за експоненциалната функция важи степенното равенство:

$\exp (x+y)=\exp (x)\cdot \exp (y)$,

за всички x и y. Експоненциалната функция е решение на диференциалното уравнение:

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$.

Това свойство на експоненциалната функция ѝ дава широко приложение в природните науки.