Комплексен логаритъм

Комплексният логаритъм е математическа функция, която представлява обобщение на реалния логаритъм върху множеството на комплексните числа.

По определение комплексният логаритъм на дадено ненулево комплексно число $z$ е всяко комплексно число $w$, за което $e^w=z$. При това числото $w$ се обозначава с $\log z$. Ако $z$ е зададено в полярната форма $z=r{e}^{i\theta }$, където $r$ и $\theta$ са реални числа и $r>0$, тогава $\ln r+i\theta$ е един от логаритмите на $z$, а всички комплексни логаритми на $z$ са числата от вида $\ln r+i(\theta +2\pi k)$, където $k$ е всяко цяло число.

Всички комплексни числа $w$, които са корени на уравнението

$$e^w=z$$

се наричат комплексни логаритми на Шаблон:Mvar за всяко комплексно число Шаблон:Mvar. Комплексните числа обикновено се представят във вида Шаблон:Math, където Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar са реални числа, а Шаблон:Mvar е имагинерна единица, квадратът на която е равен на −1. Такова число може да се визуализира като точка в комплексната равнина. Ненулевите комплексни числа могат да се представят и в полярна форма – чрез тяхната абсолютна стойност – положителното, реално разстояние от точката до началото на координатната система – и ъгъла между реалната ос Шаблон:Mvar и правата, преминаваща през началото на координатната система и точката Шаблон:Mvar. Този ъгъл понякога се нарича аргумент на комплексното число.

Абсолютната стойност Шаблон:Mvar на Шаблон:Mvar се получава от

$$r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Като се използва геометричната интерпретация на синус и косинус и тяхната периодичност на Шаблон:Math всяко комплексно число Шаблон:Mvar може да се опише и като

$$z=x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )=r(\cos (\phi +2k\pi )+i\sin (\phi +2k\pi )),$$

за всяко цяло число Шаблон:Mvar. От това се вижда, че аргументът на Шаблон:Mvar не е еднозначно определен – ако Шаблон:Mvar е валидна стойност, валидни са и стойностите Шаблон:Math за всяко цяло число Шаблон:Mvar. По конвенция една от валидните стойности на аргумента – обикновено такава, която попада в един от интервалите Шаблон:MathШаблон:Hrf или Шаблон:Math,Шаблон:Hrf наричани клонове на аргументната функция – се избира за основен аргумент, обозначаван с Шаблон:Math.

Основният клон (-Шаблон:Pi, Шаблон:Pi) на комплексния логаритъм Шаблон:Math: черната точка в Шаблон:Math съответства на абсолютна стойност нула, по-ярките цветове обозначават по-големи абсолютни стойности, а тонът на цвета съответства на аргумента на Шаблон:Math. В средата има черна точка, по отрицателната ос оттенъкът се изменя рязко, а в другите посоки постепенно.

Формулата на Ойлер свързва тригонометричните функции синус и косинус с комплексната експонента:

$$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi .$$

Прилагайки тази формула и отчитайки периодичността на тригонометричните функции, могат да бъдат изведени следните равенства:Шаблон:Hrf

$$\begin{array}{ccc}z& =& r(\cos \phi +i\sin \phi )\\ & =& r(\cos (\phi +2k\pi )+i\sin (\phi +2k\pi ))\\ & =& r{e}^{i(\phi +2k\pi )}\\ & =& e^{\ln (r)}{e}^{i(\phi +2k\pi )}\\ & =& e^{\ln (r)+i(\phi +2k\pi )}=e^{a_k},\end{array}$$

където Шаблон:Math е единственият реален естествен логаритъм, Шаблон:Math обозначава комплексните логаритми на Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar е произволно цяло число. Следователно комплексните логаритми на Шаблон:Mvar, които са всички комплексни стойности Шаблон:Math, за които Шаблон:Math степен на Шаблон:Mvar е равна на Шаблон:Mvar, са безкрайния брой стойности

$a_k=\ln (r)+i(\phi +2k\pi ),$ за произволна цяла стойност Шаблон:Mvar.

Приемайки Шаблон:Mvar, така че Шаблон:Math да бъде в дефинирания интервал на основните аргументи, получената стойност Шаблон:Math се нарича основна стойност на логаритъма, обозначавана с Шаблон:Math (с главно  Шаблон:Math). Основният аргумент на всяко положително реално число Шаблон:Mvar е 0; така Шаблон:Math е реално число, което е равно на реалния (естествен) логаритъм. Въпреки това формулите за логаритмите на произведения и степени, валидни за реалните логаритми, не са приложими за основните стойности на комплексните логаритми.Шаблон:Hrf