Тригонометрична функция

Тригонометричните функции в математиката са функции на ъгли. Използват се в геометрията за изследване на триъгълници и моделиране на периодични процеси. Най-често тригонометричните функции се дефинират като:

• отношение на две страни на правоъгълен триъгълник;
• координати на точка от единичната окръжност (окръжност с радиус 1 и център – началото на координатната система).

В най-общ вид в съвременната математика тригонометричните функции се дефинират като:

• решения на някои диференциални уравнения;
• безкрайни числови редове, което позволява да се додефинират и за комплексен аргумент или да приемат произволна положителна или отрицателна стойност.

Графики на тригонометричните функции: Шаблон:Колони

Тригонометрични функции в правоъгълен триъгълник

Фиг. 1. Правоъгълен триъгълник

Разглежда се правоъгълен триъгълник $ACB$ в евклидовата равнина (фиг. 1), поради което сборът от вътрешните му ъгли е равен на 180° (π радиана). Следователно $0<\alpha ,\beta <90$° или $0<\alpha ,\beta <\frac{\pi }{2}$.

Дефиниции

Синус на ъгъл $\alpha$ е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$.

Това отношение не зависи от триъгълника АВС с остър ъгъл $\alpha$, тъй като всички правоъгълни триъгълници с остър ъгъл $\alpha$ са подобни.

Косинус на ъгъл $\alpha$ е отношението на прилежащия катет към хипотенузата:

$\cos \alpha =\frac{b}{c}$.

Тангенс на ъгъл $\alpha$ е отношението на срещулежащия катет към прилежащия:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$.

Котангенс на ъгъл $\alpha$ е отношението на прилежащия катет към срещулежащия:

$\mathrm{cotg}\alpha =\frac{b}{a}$.

Секанс на ъгъл $\alpha$ е отношението на хипотенузата към прилежащия катет:

$\sec \alpha =\frac{c}{b}$.

Косеканс на ъгъл $\alpha$ е отношението на хипотенузата към срещулежащия катет:

$\mathrm{cosec}\alpha =\frac{c}{a}$.

Тригонометричните функции, дефинирани чрез единична окръжност

Определянето на тригонометричните функции чрез единична окръжност е частен случай на дефинициите чрез правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на единица. Нека в равнината е зададена правоъгълна координатна система с начало точка О и оси OE и OF. Разглежда се окръжност с център точка О и радиус, равен на единица. Построява се произволен радиус ОА, който сключва ъгъл $\theta$ с абсцисната ос OE (фиг. 2).

Фиг. 2. Тригонометрични функции на ъгъл θ в единична окръжност

От правоъгълния триъгълник OCA

$\sin \theta =\frac{CA}{OA}=\frac{CA}{1}=CA$,

тъй като дължината на радиуса ОА е равна на 1. Оттук следва определението:

Синус на даден ъгъл $\theta$, отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата АC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност:

$\sin \theta =CA$.

Изчертаване на функциите синус и косинус от единичната окръжност.

По същия начин се получават определенията и за другите тригонометрични функции:

Косинус на даден ъгъл $\theta$, отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OC на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност:

$\cos \theta =OC$.

Тангенс на даден ъгъл $\theta$, отчетен от абсцисната ос, се нарича отношението на ординатата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната абсциса:

$\mathrm{tg}\theta =\frac{CA}{OC}$, $\mathrm{tg}\theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$.

Котангенс на даден ъгъл $\theta$, отчетен от абсцисната ос, е отношението на абсцисата на пресечната точка А на другото му рамо с единична окръжност, към нейната ордината:

$\mathrm{cotg}\theta =\frac{OC}{CA}$, $\mathrm{cotg}\theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$.

Дефинициите на функциите „секанс“ и „косеканс“ се формулират малко по-сложно.

Секанс на даден ъгъл $\theta$, отчетен от абсцисната ос, се нарича абсцисата OE на пресечната точка E на абсцисната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността:

$\sec \theta =OE$, $\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$.

Косеканс на даден ъгъл $\theta$, отчетен от абсцисната ос, се нарича ординатата OF на пресечната точка F на ординатната ос и допирателната към единична окръжност в пресечната точка А на другото рамо на ъгъла с окръжността:

$\mathrm{cosec}\theta =OF$, $\mathrm{cosec}\theta =\frac{1}{\sin \theta }$.

В допълнение към шестте изброени съотношения, има допълнителни тригонометрични функции, които са били исторически важни, макар и рядко използвани днес (фиг. 3):

Фиг. 3. Единична окръжност с основни и допълнителни тригонометрични функции на ъгъл θ.

• хорда – Шаблон:Math ;
• версинус, версин или синус версус –
  

Шаблон:Math, Шаблон:Math или Шаблон:Math:

Шаблон:Math

(появява се в най-ранните таблици); Шаблон:Sfn

• веркосинус или косинус версус –
  

Шаблон:Math или Шаблон:Math:

Шаблон:Math ;

• хаверсинус – Шаблон:Math или Шаблон:Math:
  

Шаблон:Math ; Шаблон:Sfn

• хаверкосинус – Шаблон:Math или Шаблон:Math:
  

Шаблон:Math;

• екссеканс – Шаблон:Math;
• екскосеканс – Шаблон:Math.

Графики на функциите versin, vercos, haversin, havercos, exsec, excsc

Свойства

Свойства на функцията синус

Синус

1. Дефиниционна област (допустими стойности на аргумента, за които функцията е определена) – множеството на всички реални числа: $D(y)=ℝ$.
2. Множество на стойностите на функцията – областта
   [−1; 1]: $E(y)=$ [−1;1].
3. Функцията $y=\sin \left(x\right)$ е нечетна: $\sin (-x)=-\sin x$.
4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на $2\pi$: $\sin (x+2\pi )=\sin \left(x\right)$.
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при $x=n\pi ,n\in Z$.
6. Области с постоянен знак:
   $y>0$ при $x\in (0+2\pi n;\pi +2\pi n),n\in Z$ и
   $y<0$ при $x\in (\pi +2\pi n;2\pi +2\pi n),n\in Z$.
7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
8. Функцията $y=\sin x$ е растяща при $x\in (-\frac{\pi }{2}+2\pi n;\frac{\pi }{2}+2\pi n)n\in Z$, и намаляваща при $x\in (\frac{\pi }{2}+2\pi n;3\frac{\pi }{2}+2\pi n),n\in Z$.
9. Функцията има минимум при $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in Z$ и максимум при $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in Z$.

Свойства на функцията косинус

Косинус

1. Дефиниционна област (област на определяне) – множеството на всички реални числа: $D(y)=ℝ$.
2. Множество на стойностите – областта [−1; 1]:
   $E(y)$ = [−1;1].
3. Функцията $y=\cos \left(x\right)$ е четна: $\cos (-x)=\cos x$.
4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на $2\pi$: $\cos (x+2\pi )=\cos \left(x\right)$.
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при $x=\frac{\pi }{2}+n\pi ,n\in Z$.
6. Области с постоянен знак:
   $y>0$ при $(-\frac{\pi }{2}+2\pi n;\frac{\pi }{2}+2\pi n),n\in Z$ и
   $y<0$ при $(\frac{\pi }{2}+2\pi n;3\frac{\pi }{2}+2\pi n),n\in Z$.
7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
8. Функцията $y=\cos x$ е растяща при $x\in (-\pi +2\pi n;2\pi n),n\in Z,$ и е намаляваща при $x\in (2\pi n;\pi +2\pi n),n\in Z$.
9. Функцията има минимум при $x=\pi +2\pi nn\in Z$ и максимум при $x=2n\pi ,n\in Z$.

Свойства на функцията тангенс

Тангенс

1. Област на определяне на функцията – множеството от всички реални числа: $D(y)=ℝ$, освен числата $x=\frac{\pi }{2}+n\pi$.
2. Множество на стойностите – множеството на всички реални числа: $E(y)=ℝ$.
3. Функцията $y=\mathrm{t}\mathrm{g}\left(x\right)$ е нечетна: $\mathrm{t}\mathrm{g}(-x)=-\mathrm{t}\mathrm{g}x$.
4. Функцията е периодична. Най-малкият положителен период е равен на $\pi$: $\mathrm{t}\mathrm{g}(x+\pi )=\mathrm{t}\mathrm{g}\left(x\right)$.
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при $x=n\pi ,n\in Z$.
6. Области с постоянен знак:
   $y>0$ при $x\in (n\pi ;n\pi +\frac{\pi }{2}),n\in Z$ и
   $y<0$ при $x\in (-\frac{\pi }{2}+\pi n;\pi n),n\in Z$.
7. Функцията е непрекъсната и има производна при всяка стойност на аргумента: $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
8. Функция $y=\mathrm{t}\mathrm{g}x$ расте при $x\in (-\frac{\pi }{2}+\pi n;\frac{\pi }{2}+n\pi ),n\in Z$.

Свойства на функцията котангенс

Котангенс

1. Област на определяне на функцията – множеството на всички реални числа: $D(y)=ℝ,$ освен числата $x=n\pi .$
2. Множество на стойностите – множеството на всички реални числа: $E(y)=ℝ$.
3. Функцията $y=\mathrm{ctg}\left(x\right)$ е нечетна: $\mathrm{ctg}(-x)=-\mathrm{ctg}x$.
4. Функцията е периодична, най-малкият положителен период е равен на $\pi$: $\mathrm{ctg}(x+\pi )=\mathrm{ctg}\left(x\right)$.
5. Графиката на функцията пресича оста Ох при $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z$.
6. Области с постоянен знак:
   $y>0$ при $x\in (n\pi ;n\pi +\frac{\pi }{2}),n\in Z$ и
   $y<0$ при $x\in (n\pi +\frac{\pi }{2};(n+1)\pi ),n\in Z$.
7. Функцията е непрекъсната и има производни при всяка стойност на аргумента: $(\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$
8. Функцията $y=\mathrm{ctg}x$ намалява при $x\in (n\pi ;(n+1)\pi ),n\in Z$.

Обобщени свойства

Функцията косинус е четна, а синус, тангенс и котангенс – нечетни, т.е.

$\sin (-x)=-\sin x$, $\mathrm{t}\mathrm{g}(-x)=-\mathrm{t}\mathrm{g}x$,

$\cos (-x)=\cos x$, $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(-x)=-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x$.

За остри ъгли $\alpha <\frac{\pi }{2}$

$\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$, $\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{\pi }{2}-\alpha )=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$,

$\sin (\frac{\pi }{2}+\alpha )=\cos \alpha$, $\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$,

$\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\sin \alpha$, $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{\pi }{2}-\alpha )=\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$,

$\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$, $\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$.

За ъгли $0<\alpha <\pi$ е изпълнено

$\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$, $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$,

$\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$, $\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$,

$\mathrm{t}\mathrm{g}(\pi -\alpha )=-\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha ,\alpha \ne \frac{\pi }{2},3\frac{\pi }{2}$,

$\mathrm{t}\mathrm{g}(\pi +\alpha )=\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha ,\alpha \ne \frac{\pi }{2},3\frac{\pi }{2}$,

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\pi -\alpha )=-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$,

$\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(\pi +\alpha )=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\alpha$.

Знакът на функциите sin, cos, sec и cosес се променя през интервали от 180°, а на tg и cotg – през 90°.

• $\sin (x)\ge 0$ за $0^{\circ }\le x\le 180^{\circ }$ или $0\le x\le \pi$
• $\sin (x)\le 0$ für $180^{\circ }\le x\le 360^{\circ }$ или $\pi \le x\le 2\pi$

• $\cos (x)\ge 0$ за $0^{\circ }\le x\le 90^{\circ },270^{\circ }\le x\le 360^{\circ }$ oder $0\le x\le \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\le x\le 2\pi$
• $\cos (x)\le 0$ за $90^{\circ }\le x\le 270^{\circ }$ или $\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{3\pi }{2}$

• $\tan (x)\ge 0$ за $0^{\circ }\le x<90^{\circ },180^{\circ }\le x<270^{\circ }$ или $0\le x<\frac{\pi }{2},\pi \le x<\frac{3\pi }{2}$
• $\tan (x)\le 0$ за $90^{\circ }<x\le 180^{\circ },270^{\circ }<x\le 360^{\circ }$ или $\frac{\pi }{2}<x\le \pi ,\frac{3\pi }{2}<x\le 2\pi$

• $\cot (x)\ge 0$ за $0^{\circ }<x\le 90^{\circ },180^{\circ }<x\le 270^{\circ }$ или $0<x\le \frac{\pi }{2},\pi <x\le \frac{3\pi }{2}$
• $\cot (x)\le 0$ за $90^{\circ }\le x<180^{\circ },270^{\circ }\le x<360^{\circ }$ или $\frac{\pi }{2}\le x<\pi ,\frac{3\pi }{2}\le x<2\pi$

• $\sec (x)\ge 0$ за $0^{\circ }<x<90^{\circ },270^{\circ }<x<360^{\circ }$ или $0<x<\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$
• $\sec (x)\le 0$ за $90^{\circ }<x<270^{\circ }$ или $\frac{\pi }{2}<x<\frac{3\pi }{2}$

• $\csc (x)\ge 0$ за $0^{\circ }<x<180^{\circ }$ или $0<x<\pi$
• $\csc (x)\le 0$ за $180^{\circ }<x<360^{\circ }$ или $\pi <x<2\pi$

Номограма за преобразуване между градуси и радиани

Таблицата показва знаците на тригонометричните функции в зависимост от квадранта:

Квадрант	sin и csc	cos и sec	tan и cot
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

В следващата таблицата са дадени най-основните свойства на тригонометричните функции.

Функция	Означения	Изразяване чрез основна връзка	Дефиниционна област	Област на стойностите
Синус	$\sin$	$\sin \alpha =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )$	$\mathrm{\forall }\alpha$	[–1; 1]
Косинус	$\cos$	$\cos \alpha =\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )$	$\mathrm{\forall }\alpha$	[–1; 1]
Тангенс	$\mathrm{tg}$ или $\tan$	$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\mathrm{ctg}(\frac{\pi }{2}-\alpha )$	$\mathrm{\forall }\alpha$ без $\alpha =k\pi$, $k\in$ $\mathbb{Z}$	$(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$
Котангенс	$\mathrm{cotg}$, $\mathrm{ctg}$ или $\cot$	$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\mathrm{tg}(\frac{\pi }{2}-\alpha )$	$\mathrm{\forall }\alpha$ без $\alpha =\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in$ $\mathbb{Z}$	$(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$

Връзки между функциите

Тъждества се наричат равенства, изпълнени за всички допустими стойности на променливите в тях. Стандартните тъждества на връзките между функциите са:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$

${\sec }^{2}x-{\mathrm{tg}}^{2}x=1.$

${\csc }^{2}x-{\mathrm{ctg}}^{x}x=1.$

От правоъгълния триъгълник ABC (фиг. 1) съгласно теоремата на Питагор

${\left(AC\right)}^2+{\left(BC\right)}^2={\left(AB\right)}^2$,

и тъй като AB = 1, AC = sin α и BC = cos α, то

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

В следващата таблица са дадени всички връзки между тригонометричните функции. Всяка от функциите е изразена чрез всяка от другите пет.

	sin	cos	tan	cot	sec	csc
sin(x)	$\sin (x)$	$\pm \sqrt{1-{\cos }^2(x)}$	$\pm \frac{\tan (x)}{\sqrt{1+{\tan }^2(x)}}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{{\cot }^2(x)+1}}$	$\pm \frac{\sqrt{{\sec }^2(x)-1}}{\sec (x)}$	$\frac{1}{\csc (x)}$
cos(x)	$\pm \sqrt{1-{\sin }^2(x)}$	$\cos (x)$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2(x)}}$	$\pm \frac{\cot (x)}{\sqrt{{\cot }^2(x)+1}}$	$\frac{1}{\sec (x)}$	$\pm \frac{\sqrt{{\csc }^2(x)-1}}{\csc (x)}$
tan(x)	$\pm \frac{\sin (x)}{\sqrt{1-{\sin }^2(x)}}$	$\pm \frac{\sqrt{1-{\cos }^2(x)}}{\cos (x)}$	$\tan (x)$	$\frac{1}{\cot (x)}$	$\pm \sqrt{{\sec }^2(x)-1}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{{\csc }^2(x)-1}}$
cot(x)	$\pm \frac{\sqrt{1-{\sin }^2(x)}}{\sin (x)}$	$\pm \frac{\cos (x)}{\sqrt{1-{\cos }^2(x)}}$	$\frac{1}{\tan (x)}$	$\cot (x)$	$\pm \frac{1}{\sqrt{{\sec }^2(x)-1}}$	$\pm \sqrt{{\csc }^2(x)-1}$
sec(x)	$\pm \frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2(x)}}$	$\frac{1}{\cos (x)}$	$\pm \sqrt{1+{\tan }^2(x)}$	$\pm \frac{\sqrt{{\cot }^2(x)+1}}{\cot (x)}$	$\sec (x)$	$\pm \frac{\csc (x)}{\sqrt{{\csc }^2(x)-1}}$
csc(x)	$\frac{1}{\sin (x)}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1-{\cos }^2(x)}}$	$\pm \frac{\sqrt{1+{\tan }^2(x)}}{\tan (x)}$	$\pm \sqrt{{\cot }^2(x)+1}$	$\pm \frac{\sec (x)}{\sqrt{{\sec }^2(x)-1}}$	$\csc (x)$

При използване на формулите трябва да се имат предвид, че знакът $\pm$ определя две стойности.

Тригонометричните функции като редове

Като се използват геометрични съображения и свойствата на границите, може да се докаже, че производната на синуса е равна на косинуса на същия ъгъл и производната на косинуса е равна на производната на синуса със знак минус. Тогава с помощта на редовете на Тейлър се представят синусът и косинусът като степенни редове:

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$,

$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$.

Ползвайки тези формули, а също и равенствата $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x},$ $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x},$ $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ и $\mathrm{cosec}x=\frac{1}{\sin x},$ може да се разложат в ред и другите тригонометрични функции:

$\mathrm{tg}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\frac{62x^9}{2835}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{2}^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n-1};(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}),$

$\mathrm{ctg}x=\frac{1}{x}-\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}-\frac{2x^5}{945}-\frac{x^7}{4725}-\cdots =\frac{1}{x}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}{x}^{2n-1};(-\pi <x<\pi ),$

$\sec x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\frac{61x^6}{720}+\frac{277x^8}{8064}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n};(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}),$

$\mathrm{cosec}x=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}{x}^3+\frac{31}{15120}{x}^5+\frac{127}{604800}{x}^7+\cdots =\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}{x}^{2n-1};(-\pi <x<\pi ),$

където $B_n$ са числа на Бернули, $E_n$ са числа на Ойлер.

Косинусът като скаларно произведение

Във векторната геометрия косинусът се определя от скаларното произведение на два вектора u и v и техните норми ||u|| и ||v||:

$\cos (u,v)=\frac{⟨u,v⟩}{\Vert u\Vert \times \Vert v\Vert }$.

Пресмятане на тригонометрични функции

Тригонометричните функции са включени в едни от най-рано използваните математически таблици. Тези таблици са част от справочниците по математика и студентите по различни инженерни дисциплини в миналото са обучавани да ги използват при изчислителните задачи и проекти.

Днес тригонометричните функции (sin, cos, tan, cot, sec, csc) се пресмятат с калкулатори от по-високо ниво. Повечето позволяват избора на измервателната единица за ъгъл: DEG, RAD, GRAD. При съвременните компютри съществуват голям брой програми, които осигуряват изключително точни и пълни изчисления.

Стойности на тригонометрични функции за някои ъгли

Стойности на косинус и синус $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ на окръжността

Стойностите на синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс за някои ъгли са дадени в таблиците. („$\mathrm{\infty }$“ означава, че функцията в указаната точка не е дефинирана, но клони към безкрайност в нейната близост).

Основни стойности

Радиани	$0$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
Градуси	$0^{\circ }$	$30^{\circ }$	$45^{\circ }$	$60^{\circ }$	$90^{\circ }$	$180^{\circ }$	$270^{\circ }$	$360^{\circ }$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$\mathrm{tg}\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$\mathrm{\infty }$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$0$
$\mathrm{ctg}\alpha$	$\mathrm{\infty }$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\mathrm{\infty }$	$0$	$\mathrm{\infty }$
$\sec \alpha$	$1$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$\mathrm{\infty }$	$-1$	$\mathrm{\infty }$	$1$
$\mathrm{cosec}\alpha$	$\mathrm{\infty }$	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\mathrm{\infty }$	$-1$	$\mathrm{\infty }$

Стойности на тригонометрични функции за нестандартни ъгли

Радиани	$\frac{2\pi }{3}$	$\frac{3\pi }{4}$	$\frac{5\pi }{6}$	$\frac{7\pi }{6}$	$\frac{5\pi }{4}$	$\frac{4\pi }{3}$	$\frac{5\pi }{3}$	$\frac{7\pi }{4}$	$\frac{11\pi }{6}$
Градуси	$120^{\circ }$	$135^{\circ }$	$150^{\circ }$	$210^{\circ }$	$225^{\circ }$	$240^{\circ }$	$300^{\circ }$	$315^{\circ }$	$330^{\circ }$
$\sin \alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$
$\cos \alpha$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\mathrm{tg}\alpha$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\mathrm{ctg}\alpha$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$
$\sec \alpha$	$-2$	$-\sqrt{2}$	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{2}$	$-2$	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$\mathrm{cosec}\alpha$	$\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$-2$	$-\sqrt{2}$	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$	$-\sqrt{2}$	$-2$

Радиани	$\frac{\pi }{12}$	$\frac{\pi }{10}$	$\frac{\pi }{8}$	$\frac{\pi }{5}$	$\frac{3\pi }{10}$	$\frac{3\pi }{8}$	$\frac{2\pi }{5}$	$\frac{5\pi }{12}$
Градуси	$15^{\circ }$	$18^{\circ }$	$\mathrm{22,}{5}^{\circ }$	$36^{\circ }$	$54^{\circ }$	$\mathrm{67,}{5}^{\circ }$	$72^{\circ }$	$75^{\circ }$
$\sin \alpha$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$
$\cos \alpha$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$	$\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$
$\mathrm{tg}\alpha$	$2-\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{2}-1$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$	$\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{2}+1$	$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$	$2+\sqrt{3}$
$\mathrm{ctg}\alpha$	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$	$\sqrt{2}+1$	$\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{5-2\sqrt{5}}$	$\sqrt{2}-1$	$\frac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}$	$2-\sqrt{3}$
$\sec \alpha$	$2\sqrt{2-\sqrt{3}}$	$\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$	$\sqrt{5}-1$	$\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$	$\sqrt{5}+1$	$2\sqrt{2+\sqrt{3}}$
$\mathrm{cosec}\alpha$	$2\sqrt{2+\sqrt{3}}$	$\sqrt{5}+1$	$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}$	$\sqrt{5}-1$	$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}$	$2\sqrt{2-\sqrt{3}}$

Вижте също

• Тригонометрия
• Списък с интеграли на тригонометрични функции
• Обратни тригонометрични функции
• Аркуссинус

Литература

• Lars Ahlfors. Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, segona edició, McGraw-Hill Book Company, Nova York, 1966.
• Abramowitz, Milton; Irene A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, Nova York. (1964). ISBN 0-486-61272-4.
• Boyer, Carl B. – A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., segona edició. (1991). ISBN 0-471-54397-7.
• Joseph, George G. The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, segona edició Penguin Books, Londres. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
• Kantabutra, Vitit. "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Trans. Computers 45 (3), 328–339 (1996).
• Maor, Eli. Trigonometric Delights Arxivat 2006-04-14 a Wayback Machine., Princeton Univ. Press. (1998). Reimpressió (25 febrer de 2002): ISBN 0-691-09541-8.
• Needham, Tristan. "Preface" Arxivat 2004-06-02 a Wayback Machine." a Visual Complex Analysis Arxivat 2008-06-07 a Wayback Machine.. Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9.
• O'Connor, J.J.; E.F. Robertson. "Trigonometric functions" Arxivat 2013-01-20 a Wayback Machine., Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (1996).
• O'Connor, J.J.; E.F. Robertson. "Madhava of Sangamagramma", Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (2000).
• Pearce, Ian G. "Madhava of Sangamagramma" Arxivat 2006-05-05 a Wayback Machine.. Arxiu d'història de les matemàtiques a MacTutor. (2002).
• Weisstein, Eric W. "Tangent" a MathWorld, accés el 21 de gener de 2006.