Метрично пространство

Шаблон:От пренасочване В математиката под метрика се разбира функция, задаваща разстоянието между елементите на дадено множество. Метрично пространство е множество снабдено с метрика.

Формално определение

Една функция $\rho$ се нарича метрика, ако чрез нея на всяка наредена двойка $(x,y)$ от елементи $x$ и $y$ на множеството $X$ се съпоставя реалното число $\rho (x,y)$ и за всеки $x$, $y$, $z$${}^{\in }$$X$ са изпълнени следните три условия:

1. $\rho (x,y)=0$ тогава и само тогава, когато $x=y$ (аксиома за идентичност)
2. $\rho (x,y)=\rho (y,x)$ (аксиома за симетричност)
3. $\rho (x,y)$${}^{\le }$$\rho (x,z)+\rho (z,y)$ (аксиома на триъгълника или неравенство на триъгълника)

Тези аксиоми отразяват интуитивното понятие за разстояние. Например, разстоянието трябва да е неотрицателна величина (т.е. $\rho (x,z)$${}^{\ge }$$0$ за всеки две $x$ и $z$, което следва от аксиомата на триъгълника и аксиомата за симетричност при $x=y$). Също така разстоянието от $x$ до $y$ е същото, както и от $y$ до $x$. Неравенството на триъгълника означава, че от $x$ до $y$ може да се стигне по по-къс път, или поне не по по-дълъг, отколкото ако отначало се премине от $x$ до $z$, а след това от $z$ до $y$.

Наредената двойка $(X,\rho )$ се нарича метрично пространство.

Понятието е въведено от Морис Фреше през 1906 г.

Литература

• Александров П., Введение в теорию множеств и общую топологию, Издательство „Наука“, Москва, 1977

Външни препратки

• Metric space в: Encyclopaedia of Mathematics