Кватернион

Шаблон:Без източници Кватернио́ните (Шаблон:Lang) са система на хиперкомплексни числа, предложена от Уилям Роуън Хамилтон през 1843 година.

Умножението на кватерниони не е комутативно; те образуват тяло, което обикновено се обозначава с $ℍ$.

История

Паметната плоча на моста Бруум бридж

Хамилтон търси начин да разшири понятието за комплексно число в повече измерения. Отначало опитва с тримерно пространство, но не успява; по-късно е доказано, че това е невъзможно. След това опитва с пространство с четири измерения и така стига до идеята за кватернионите.

Според собствения му разказ на 16 октомври 1843 Хамилтон се разхожда със съпругата си по Роял Канал край Дъблин, когато в ума му внезапно проблясва формулата: $$i^2=j^2=k^2=ijk=-1.$$

Притеснен, че може да забрави решението, Хамилтон в нервна възбуда го надрасква с джобното си ножче върху страничен камък в северозападната част на моста Бруум бридж. Днес на това място има паметна плоча с надпис, който гласи:

Тук, както се разхождаше

на 16 октомври 1843 година,

сър Уилям Роуън Хамилтон

в проблясък на гениалност

откри фундаменталната формула

за умножение на кватерниони

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$

и я изчерта върху камъка на този мост.

Таблица за умножение

По аналогия с комплексните числа Хамилтон пръв въвежда записа на кватернионите като линейна комбинация във формата $$q=a+bi+cj+dk,$$ където $a,b,c,d$ са реални числа, а $i,j,k$ са взаимно ортогонални имагинерни единици със следната таблица за умножение:

·	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$1$	$i$	$j$	$k$
$i$	$i$	$-1$	$k$	$-j$
$j$	$j$	$-k$	$-1$	$i$
$k$	$k$	$j$	$-i$	$-1$

Оттук лесно могат да бъдат извлечени следните циклични зависимости:

$ij=k$

$jk=i$

$ki=j$

и

$ji=-k$

$kj=-i$

$ik=-j$

както, разбира се, и основното отношение между трите имагинерни компоненти на кватерниона

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$.

Вижте също

• Кватернион: Класическа представа на Хамилтон