Сигнум

Знакова функция или сигнум функция (Шаблон:Lang – знак) е нечетна математическа функция на части, която се определя от знака на реално число. Тя се означава като sgn.

Графика на функцията sgn(x).

Дефиниция

Знаковата функцията от реално число $x$ се дефинира по следния начин:

$\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{cc}-1,& x<0,\\ 0,& x=0,\\ 1,& x>0.\end{array}$

Често се използва представянето

$\mathrm{sgn}x=\frac{d|x|}{dx}$

В този случай производната на модула при нула, която, строго погледнато, не е дефинирана, се определя допълнително от средноаритметичната стойност на съответните производни отляво и отдясно.

Свойства

• Функцията не е елементарна.
• Дефиниционна област: $ℝ$.
• Област на стойностите: $\{-1;0;+1\}$.
• Функцията е нечетна.
• Функцията е гладка във всички точки, освен нула.
• Точката $x=0$ е точка на прекъсване от първи род, тъй като границите отляво и отдясно на нулата са равни съответно на $-1$ и $+1$.
• $\mathrm{sgn}(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}$ при $x\ne 0$, т.е.

$x=\mathrm{sgn}(x)\cdot |x|$ и $|x|=\mathrm{sgn}(x)\cdot x$ за $\mathrm{\forall }x\in ℝ$.

• $\mathrm{sgn}x=x^{\prime }$.
• $\mathrm{sgn}x=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin tx}{t}dt$.
• $\frac{d(\mathrm{sgn}x)}{dx}=2\cdot \delta (x)$, където $\delta (x)$ е делта-функция на Дирак.
• $\mathrm{sgn}x\cdot \mathrm{sgn}y=\mathrm{sgn}(x\cdot y)$.

Функцията се използва в теорията на обработката на сигнали, в математическата статистика и други клонове на математиката, където се изисква компактна нотация, за да се посочи знакът на число.

Вижте също

• Функция на Хевисайд

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
• Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.