Пи

Анимация за връзката между дължината на окръжността и пи

π (произнася се пи) е математическа константа, която представлява отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър и обикновено се използва в математиката, физиката и техниката. Името на гръцката буква π се произнася „пи“. π е познато още като Лудолфово число и като Архимедова константа (да не се бърка с Архимедовото число).

Числова стойност

Пи – Карлсплац, Виена

В евклидовата геометрия π може да бъде дефинирано както като отношение между дължината и диаметъра на една окръжност, така и като отношение на лицето на един кръг към лицето на квадрат със страна неговия радиус. Във висшата математика π се дефинира аналитично чрез използване на тригонометрични функции, например като най-малкото положително x, за което sinx = 0, или като удвоеното най-малко положително x, за което cosx = 0 (удвоеното най-малко положително x, за което sinx = 1). Всички тези дефиниции са еквивалентни.

Числото π е приблизително равно на 22/7 или на 3,14 с точност до третата значеща цифра.

Числовата стойност на π, закръглена до 100-тния знак след десетичната запетая, е 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

Въпреки че тази точност е повече от достатъчна за използване в науката и техниката, през последните няколко века в изчисляването на повече цифри и изследването на свойствата на числото са вложени много усилия. Независимо от многото аналитична работа, прибавена към изчисленията със суперкомпютри, определили повече от 1 трилион цифри на π, не е намерена закономерност в поредицата от цифри. Цифрите на π могат да се намерят на много места в Интернет и обикновен персонален компютър може да изчисли трилиони цифри с наличния софтуер.

В средата на 2024 г. броят на известните значещи цифри от десетичното представяне на пи възлиза на 202 трилиона. Още през 2009 г. френският програмист Фабрис Белар е достигнал точност при 2 699 999 990 000 цифри, ползвайки компютър с цена под 2000 евро.

Приблизителни стойности на π, изразени като обикновена дроб са: 22/7 (според Архимед) и 355/113 (по оценка на древните китайски математици).

Съществуват различни мнемотехнически начини за лесно запомняне на π. Закръглено с точност до десетия знак, π може да се запомни чрез следното изречение, в което всяка дума има съответния брой букви:

• Как е леко и лесно запомнено π, всички знаят, щом желаят!
  • 3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6

Вариант на английски с точност до десетия знак е:

• May I have a large container of coffee right now, please?
  • 3, 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6

Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди прецизност на π от 2 до 5 знака е достатъчна за почти всякакви пресмятания.

Особености

π е ирационално число, т.е. то не може да бъде представено като отношение на две цели числа. Това е доказано през 1761 от Йохан Хайнрих Ламберт. π е също трансцендентно число (доказано през 1882 от Фердинанд фон Линдеман). Това означава, че няма полином с рационални коефициенти, корен на който да е π. Вследствие на трансцендентността π не е построимо число. От изискването координатите на всички точки, които могат да се построят с линия и пергел, да са построими числа, следва нерешимостта на задачата за квадратурата на кръга (построяване с линия и пергел на квадрат с лице, равно на лицето на даден кръг).

Формули, касаещи π

Геометрия

$\pi$ е част от много формули в геометрията, отнасящи се до окръжности и сфери.

Геометрична форма	Формула
Дължина на окръжност с радиус r и диаметър d	$C=\pi d=2\pi r$
Лице на кръг с радиус r	$S=\pi r^2$
Лице на елипса с полуоси a и b	$S=\pi ab$
Обем на кълбо с радиус r и диаметър d	$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{1}{6}\pi d^3$
Повърхнина на сфера с радиус r	$S=4\pi r^2$
Обем на цилиндър с височина h и радиус на основата r	$V=\pi r^{2}h$,
Повърхнина на цилиндър с височина h и радиус на основата r	$S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)$
Обем на конус с височина h и радиус на основата r	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
Повърхнина на прав кръгов конус с височина h и радиус r	$S=\pi r\sqrt{r^2+h^2}+\pi r^2=\pi r(r+\sqrt{r^2+h^2})$

(Всички формули са следствие от първата, ако лицето S на кръга бъде представено като $S=\int 2\pi rdr$.)

Също така ъгъл от 180° (градуса) е равен на π радиана.

Анализ

Много от формулите в анализа съдържат π, включително представянето на безкрайни редове, интегралите и т.нар. специални математически функции.

• Формула на Виет, 1593 (доказателство):

  $\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots$

• Формула на Лайбниц (доказателство):

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{\pi }{4}$

• Представяне на Уолис (доказателство):

  $\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n{)}^2}{(2n{)}^2-1}=\frac{\pi }{2}$

• Метод на Джон Мачин (John Machin)

  $\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$

• Алгоритъм на Бейли – Борвин – Плюф (вж. Bailey, 1997 и официална страница на Бейли Шаблон:Webarchive)

  $\pi =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^k}[\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6}]$

• Гаусов интеграл:

  $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

• Задача на Базел, решена от Ойлер (вж. също Дзета-функция на Риман):

  $\zeta (2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$

  $\zeta (4)=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}$

  и в заключение, $\zeta (2n)$ е рационално кратно на ${\pi }^{2n}$ за цяло положително n.

• Гама-функция, изчислена при стойност на аргумента 1/2:

  $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$

• Приближение на Стирлинг:

  $n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

• Равенство на Ойлер (наречено от Ричард Файнман „най-забележителната формула в математиката“):

  $e^{i\pi }+1=0$

• Следствие от Ойлеровата сума (вж. също анализ на Фурие):

  $\sum _{k=1}^n\varphi (k)\sim 3n^2/{\pi }^2$

• Лице на 1/4 от единичния кръг:

  $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi }{4}$

• Следствие на теоремата за резидуумите

  $\oint \frac{dz}{z}=2\pi i,$

  където линията на интегриране е окръжност около центъра на координатната система с посока, обратна на часовниковата стрелка.

Безкрайни дроби

π може да се представи с помощта на верижни дроби по много начини, най-известният от които е:

$\frac{4}{\pi }=1+\frac{1}{3+\frac{4}{5+\frac{9}{7+\frac{16}{9+\frac{25}{11+\frac{36}{13+...}}}}}}$

(Други форми на представяне можете да намерите на The Wolfram Functions Site.)

Теория на числата

Някои изводи от теорията на числата:

• Вероятността две произволни цели числа да са взаимно прости е 6/π².
• Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно квадратно число е 6/π².
• Средният брой начини, по които едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа, е π/4.
• Произведението от (1 – 1/p²) за прости p, е 6/π².

  $\prod _{p\in \mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^2})=\frac{6}{{\pi }^2}$

Вижте също

• Денят Пи

Външни препратки

• Пи, изчислено до 1 милион знака (от проекта Гутенберг)
• Пи, изчислено до почти 2,7 трилиона знака