Лоренцови трансформации

Лоренцови трансформации във физиката представляват координатни трансформации между две координатни системи, които се движат с постоянна скорост една спрямо друга.

Отправните системи могат да се разделят в две групи: инерционни (относително движение с постоянна скорост) и неинерционни (ускоряващи по криви пътища, ротационно движение с постоянна ъглова скорост). Понятието „Лоренцови трансформации“ се отнася само за трансформации между инерционни отправни системи, обикновено в контекста на специалната теория на относителността.

Във всяка отправна система наблюдател може да използва локална координатна система (най-често декартова), за да измерва разстояние, и часовник за да измерва времевите интервали. Наблюдател е истински или въображаем обект, който може да прави измервания (например човек). Събитие е нещо, което се случва в точка от пространството в даден момент или по-точно точка в пространство-времето. Трансформациите свързват пространствените и времевите координати на дадено събитие, измерено от наблюдател във всяка отправна система.

Те заместват Галилеевите трансформации от класическата механика, които допускат абсолютно пространство и време. Галилеевите трансформации са добро приближение само при относителни скорости, които са много по-малки от скоростта на светлината. Лоренцовите трансформации имат брой неинтуитивни особености, които не присъстват в Галилеевите трансформации. Например, те отчитат факта, че наблюдателите, движещи се с различни скорости, могат да измерят различни разстояния, изтекли времена и дори различна подредба на събитията, но в същото време скоростта на светлината остава инвариантна във всички инерционни отправни системи. Постоянството на скоростта на светлината е един от постулатите на специалната теория на относителността.

В исторически план, трансформациите са резултат от опитите на холандския физик Хендрик Лоренц (чието име носят) и други да обяснят как скоростта на светлината се е наблюдавала да е независима от отправната система и за да се разберат симетриите на законите на електромагнетизма. Лоренцовите трансформации са в съответствие на специалната относителност, но са изведени преди нея.

Лоренцовите трансформации са линейни. Могат да включват ротация на пространството. В пространството на Минковски, математическия модел на пространство-времето в специалната относителност, трансформациите на Лоренц запазват пространство-времевия интервал между кои да е две събития. Това свойство е определящо за Лоренцовите трансформации. Те описват само трансформациите, при които първоначалното събитие в ппространство-времето е фиксирано. Могат да бъдат разглеждани като хиперболична ротация на пространството на Минковски. По-общ набор от трансформации, който включва и транслации, е групата на Поанкаре.

История

Много физици дискутират физиката, скрита зад тези уравнения след 1887 г. В началото на 1889 г. Оливър Хевисайд показва от уравненията на Максуел, че електричното поле, заобикалящо сферичен заряд, следва да спре да има сферична симетрия, веднъж щом зарядът се намира в движение спрямо етера. След това Джордж Фицджералд предполага, че деформацията на Хевисайд може да бъде приложена в теория за междумолекулни сили. Няколко месеца след това Фицджералд публикува предположението, че телата в движение се свиват, за да обясни загадъчния изход на експеримента на Майкелсън и Морли от 1887 г. През 1892 г. Лоренц независимо представя същата идея по по-подробен начин, която впоследствие бива наречена Лоренцово съкращение. Това обяснение става широко известно преди 1905 г.

Лоренц и Джоузеф Лармор, които вярват в хипотезата за етера, също търсят трансформацията, чрез която уравненията на Максуел са инвариантни, когато се трансформират от етера към движеща се система. Те разширяват хипотезата за Лоренцовото съкращение и откриват, че времевите координати също трябва да бъдат модифицирани. Анри Поанкаре дава физическа интерпретация на локалното време (до първи ред) като последствие от синхронизацията на часовниците, с допускане че скоростта на светлината е константна в движещи се системи. Лармор се счита за първия, разбрал критичното свойство на релативистичното забавяне на времето, присъщо на уравненията му.

През 1905 г. Поанкаре става първият, който показва, че трансформацията има свойствата на математическа група и я наименува в чест на Лоренц. По-късно през същата година Алберт Айнщайн публикува специалната теория на относителността, като я извежда от Лоренцовите трансформации, имайки предвид принципа на относителността и константността на скоростта на светилната в коя да е инерционна отправна система и изоставяйски хипотезата за етера.

Извеждане на групата Лоренцови трансформации

Във всяка инерционна система едно събитие се характеризира с координата за време ct и ред Декартови координати Шаблон:Math, определящи пространственото положение в дадената система. Индексите обозначават отделни събития.

От втория постулат на относителността на Айнщайн следва:

(D1): $c^2(t_2-t_1{)}^2-(x_2-x_1{)}^2-(y_2-y_1{)}^2-(z_2-z_1{)}^2=0\text{(отделни светлинни събития 1, 2)}$

във всички инерционни системи за събития, свързани чрез светлинни сигнали. Количеството отляво се нарича пространство-времеви интервал между събития Шаблон:Math и Шаблон:Math. Интервалът между всеки две събития, незадължително отделени от светлинни сигнали, е инвариантен, т.е. независим от състоянието на относително движение на наблюдатели в различни инерционни системи. Следователно търсената трансформация трябва да притежава такова свойство, че eq (D2): $c^2(t_2-t_1{)}^2-(x_2-x_1{)}^2-(y_2-y_1{)}^2-(z_2-z_1{)}^2=c^2({t_2}^{\prime }-{t_1}^{\prime }{)}^2-({x_2}^{\prime }-{x_1}^{\prime }{)}^2-({y_2}^{\prime }-{y_1}^{\prime }{)}^2-({z_2}^{\prime }-{z_1}^{\prime }{)}^2\text{(всички събития 1, 2)}.$

където Шаблон:Math са пространство-времеви координати, използвани за да се определят събитията в една система, а Шаблон:Math са координатите в друга система. Първоначално се наблюдава, че (D2) се удовлетворява, ако произволен кортеж Шаблон:Math с дължина 4 цифри се добавят към събитията Шаблон:Math и Шаблон:Math. Такива трансформации се наричат „пространство-времеви транслации“. След това се наблюдава, че линейно решение, запазило произхода на по-простата задача:

(D3): $c^2{t}^2-x^2-y^2-z^2=c^{2}t{\text{'}}^2-x{\text{'}}^2-y{\text{'}}^2-z{\text{'}}^2\text{ или }{c}^2{t}_1{t}_2-x_1{x}_2-y_1{y}_2-z_1{z}_2=c^{2}t{\text{'}}_{1}t{\text{'}}_2-x{\text{'}}_{1}x{\text{'}}_2-y{\text{'}}_{1}y{\text{'}}_2-z{\text{'}}_{1}z{\text{'}}_2$

също решава и общата задача. Решение, удовлетворяващо лявата формула автоматично удовлетворява и дясната формула. Намирането на решение за по-лесната задача е въпрос на търсене в теорията на класическите групи, които запазват билинейни форми. Уравнението (D3) може да бъде изписано по-сбито така:

(D4): $(a,a)=(a^{\prime },a^{\prime })\text{или}a\cdot a=a^{\prime }\cdot a^{\prime },$

където Шаблон:Math се отнася за билинейната форма на Шаблон:Math от Шаблон:Math, открита от дясната формула в уравнение (D3). Алтернативната нотация, определена отдясно се нарича релативистичен продукт. Пространство-времето, математически погледнато като Шаблон:Math, надарено с тази билинейна форма, е познато още и като пространство на Минковски Шаблон:Math. Лоренцовата трансформация е елемент на Лоренцовата група Шаблон:Math. Имаме:

(D5): $(a,a)=(\mathrm{\Lambda }a,\mathrm{\Lambda }a)=(a^{\prime },a^{\prime }),\mathrm{\Lambda }\in \mathrm{O}(1,3),a,a^{\prime }\in M,$

което е точно запазване на билинейната форма от (D3), което предполага (по линейност на Шаблон:Math и билинейност на формата), че (D2) е удовлетворено. Елементите на Лоренцовата група са ротации и тласъци, както и смесици от двете. Ако се включат и пространство-времевите транслации, тогава ще получим нехомогенна Лоренцова група или групата на Поанкаре.

Общи сведения

Вертикалната посока показва времето, хоризонталната посока показва разстоянието, а пунктираната линия показва пространство-времевата траектория на ускоряващ наблюдател. Малките точки са случайни събития в пространство-времето, които са неподвижни едно спрямо друго. Събитията, преминаващи двете диагонални линии в долния край на изображението, са тези, които са видими за наблюдателя.

Зависимостите между основните и вторичните пространство-времеви координати са Лоренцовите трансформации. Всяка координата в една система е линейна функция на всички координати в другата система, а обратните функции са обратните трансформации. В зависимост от това как системите се движат една спрямо друга и как са позиционирани в пространството една спрямо друга, други параметри, описващи посока, скорост и позициониране влизат в уравненията на трансформациите.

Трансформации, описващи относително движение с постоянна скорост и без ротация на координатите на пространствените оси се наричат тласъци, а относителната скорост между системите е параметърът на трансформацията. Другият основен тип трансформации на Лоренц са единствено ротации на пространствените координати. Това също са инерционни системи, тъй като няма относително движение, а системите са просто наклонени (не се въртят постоянно). В този случай, числата, определящи ротацията са параметри на трансформацията. Комбинация от ротация и тласък е хомогенна трансформация.

Пълната група на Лоренц Шаблон:Math съдържа и специални трансформации, които не са нито ротации, нито тласъци, а по-скоро отражения върху равнина. Две от тях могат да бъдат отделени: пространствена инверсия, при която пространствените координати на всички събития приемат обратен знак, и времева инверсия, при която времевата координата за всяко събитие приема обратен знак.

Тласъците не бива да се смесват просто с премествания в пространство-времето – в такъв случай координатните системи просто се преместват и няма относително движение. Все пак, на това може да се гледа като на симетрии, които са принудени от специалната относителност, тъй като оставят пространство-времевия интервал инвариантен. Комбинация от ротация и тласък, последвана от изместване в пространство-времето, е нехомогенна Лоренцова трансформация, елемент от групата на Поанкаре.

Физична формулировка на Лоренцовите тласъци

Трансформация на координатите

Пространство-времевите координати на събитие, както биха били измерени от всеки наблюдател в неговата инерционна отправна система (в балончетата).
Горе: системата Шаблон:Math се движи със скорост Шаблон:Math по оста Шаблон:Math на системата Шаблон:Math.
Долу: системата Шаблон:Math се движи със скорост −Шаблон:Math по оста Шаблон:Math на системата Шаблон:Math.

Неподвижен наблюдател в системата Шаблон:Math определя събития с координати Шаблон:Math. Друга система Шаблон:Math се движи със скорост Шаблон:Math спрямо Шаблон:Math, а наблюдател в тази движеща се система Шаблон:Math определя събития с координати Шаблон:Math.

Координатните оси във всяка система са паралелни (Шаблон:Math и Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math и Шаблон:Math и Шаблон:Math) и взаимно перпендикулярни, а относителното движение е по съвпадащите оси Шаблон:Math. При Шаблон:Math, центърът на двете координатни системи е един и същ, Шаблон:Math. С други думи, времената и местоположенията съвпадат при това събитие. Ако всичко това важи, тогава координатните системи са в стандартна конфигурация или синхронизирани.

Ако наблюдател в Шаблон:Math измери събитие Шаблон:Math, тогава наблюдател в Шаблон:Math измерва същото събитие с координати

Лоренцов тласък (направление Шаблон:Math) $\begin{array}{cc}{t}^{\prime }& =\gamma (t-\frac{vx}{c^2})\\ x^{\prime }& =\gamma (x-vt)\\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\end{array}$

където Шаблон:Math е относителната скорост между системите в направление Шаблон:Math, Шаблон:Math е скоростта на светлината, а

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

е факторът на Лоренц.

Тук Шаблон:Math е параметърът на трансформацията; за даден тласък той е константа, но може да приема непрекъснат диапазон от стойности. В конкретния случай, положителната относителна скорост Шаблон:Math е движение в положителното направление на осите Шаблон:Math, нулевата относителна скорост Шаблон:Math представлява липса на относително движение, а отрицателната относителна скорост Шаблон:Math е относително движение в отрицателното направление на осите Шаблон:Math. Големината на относителната скорост Шаблон:Math не може да е равна или по-голяма от Шаблон:Math, тоест само субсветлинни скорости Шаблон:Math са позволени. Съответстващата област за Шаблон:Math е Шаблон:Math.

Трансформациите са неопределени, ако Шаблон:Math е извън тези граници. При скоростта на светлината (Шаблон:Math) Шаблон:Math е безкраен, а свръхсветлинен (Шаблон:Math) Шаблон:Math е комплексно число, следователно и двете не биха имали физичен смисъл. Пространствените и времевите координати са измерими количества и трябва да бъдат реални числа.

Наблюдател в F′ вижда координатите на събитието все едно са „изтласкани“ в отрицателното направление на осите Шаблон:Math, поради Шаблон:Math в трансформациите. Това има еквивалентния ефект на координатната система F′, изтласкана в положителното направление на осите Шаблон:Math, докато събитието не се променя и единствено се представя в друга координатна система.

Обратните зависимости (Шаблон:Math по отношение на Шаблон:Math) могат да бъдат намерени чрез алгебрично пресмятане на първоначалния набор от уравнения. По-ефективен начин е да се използват физични принципи. В този случай Шаблон:Math е неподвижната система, докато Шаблон:Math е движещата се система. Според закона за относителността, няма предпочитана отправна система, така че трансформациите от Шаблон:Math към Шаблон:Math трябва да имат една и съща форма, както и трансформациите от Шаблон:Math към Шаблон:Math. Единствената разлика е, че Шаблон:Math се движи със скорост Шаблон:Math спрямо Шаблон:Math (тоест относителната скорост е с еднаква големина, но с обратна посока). Следователно, ако наблюдател в Шаблон:Math отбележи събитието Шаблон:Math, тогава наблюдател в Шаблон:Math би отбелязал същото събитие с координати

Inverse Lorentz boost (Шаблон:Math direction) $\begin{array}{cc}t& =\gamma (t^{\prime }+\frac{v{x}^{\prime }}{c^2})\\ x& =\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime })\\ y& =y^{\prime }\\ z& =z^{\prime },\end{array}$

и стойността на Шаблон:Math остава непроменена. Този „трик“ на просто обръщане на посоката на относителната скорост, запазвайки големината ѝ и разменяйки основните и вторичните променливи, винаги важи за намиране на обратната трансформация за всеки тласък във всяко направление.

Понякога е по-удобно да се използва Шаблон:Math вместо Шаблон:Math, така че

$\begin{array}{cc}c{t}^{\prime }& =\gamma (ct-\beta x),\\ x^{\prime }& =\gamma (x-\beta ct),\end{array}$

което показва доста по-ясно симетрията на трансформацията. От позволената област за Шаблон:Math и определението за Шаблон:Math следва, че Шаблон:Math. Използването на Шаблон:Math и Шаблон:Math е стандартно.

Лоренцовите трансформации могат, също така, да бъдат изведени по начин, напомнящ кръгови ротации в триизмерно пространство, използвайки хиперболични функции. За тласъка в направлението Шаблон:Math получаваме

Лоренцов тласък (направление Шаблон:Math с бързина Шаблон:Math) $\begin{array}{cc}c{t}^{\prime }& =ct\cosh \zeta -x\sinh \zeta \\ x^{\prime }& =x\cosh \zeta -ct\sinh \zeta \\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\end{array}$

където Шаблон:Math е параметър, наречен бързина (често се използват и други символи, като например Шаблон:Math). Имайки предвид голямата прилика с ротациите на пространствените координати в триизмерно пространство в Декартовите равнини xy, yz, и zx, Лоренцовият тласък може да бъде представен и като хиперболична ротация на пространство-времевите координати в Декартовите равнини xt, yt, и zt от четириизмерното пространство на Минковски. Параметърът Шаблон:Math е хиперболичният ъгъл на ротацията, аналогичен на обикновения ъгъл на кръгова ротация. Тази трансформация може да бъде илюстрирана с диаграма на Минковски.

Хиперболичните функции възникват вследствие на разликата между квадратите на времевите и пространствените координати в пространство-времевия интервал. Геометричното значение на хиперболичните функции може да бъде визуализирано, като се вземе Шаблон:Math или Шаблон:Math в трансформациите. Повдигайки на квадрат и изваждайки резултатите, можем да изведем хиперболични криви на константни координатни стойности, но променливи Шаблон:Math, което параметризира кривите съгласно

${\cosh }^2\zeta -{\sinh }^2\zeta =1.$

Обратно, осите Шаблон:Math и Шаблон:Math могат да бъдат построени за променливи координати, но константни Шаблон:Math. Определението

$\tanh \zeta =\frac{\sinh \zeta }{\cosh \zeta },$

предоставя връзката между константа за бързина и наклона на оста Шаблон:Math в пространство-времето. Тези две хиперболични формули са тъждество, което съвпада с Лоренцовия фактор

$\cosh \zeta =\frac{1}{\sqrt{1-{\tanh }^2\zeta }}.$

Сравнявайки Лоренцовите трансформации по отношение на относителната скорост и бързина или използвайки горната формула, връзките между Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math са

$\begin{array}{cc}\beta & =\tanh \zeta ,\\ \gamma & =\cosh \zeta ,\\ \beta \gamma & =\sinh \zeta .\end{array}$

Взимайки обратния хиперболичен тангенс, получаваме бързината

$\zeta ={\tanh }^{-1}\beta .$

Тъй като Шаблон:Math, следователно Шаблон:Math. От зависимостта между Шаблон:Math и Шаблон:Math, положителната бързина Шаблон:Math е движение в положителното направление на осите Шаблон:Math, нулевата бързина Шаблон:Math представлява липса на относително движение, а отрицателната бързина Шаблон:Math е относително движение в отрицателното направление на осите Шаблон:Math.

Обратните трансформации се получават като се разменят основните и вторичните стойности между координатните системи и анулирайки бързината Шаблон:Math, тъй като тя е еквивалентна на това да се анулира относителната скорост. Следователно

Обратен Лоренцов тласък (направление Шаблон:Math с бързина Шаблон:Math) $\begin{array}{cc}ct& =c{t}^{\prime }\cosh \zeta +x^{\prime }\sinh \zeta \\ x& =x^{\prime }\cosh \zeta +c{t}^{\prime }\sinh \zeta \\ y& =y^{\prime }\\ z& =z^{\prime }\end{array}$

Обратните трансформации могат да бъдат сходно илюстрирани като се имат предвид случаите, когато Шаблон:Math и Шаблон:Math.

Дотук Лоренцовите трансформации бяха прилагани за едно събитие. Ако има две събития, тогава има пространствено отделяне и времеви интервал между тях. От линейността на Лоренцовите трансформации следва, че две стойности за пространствени и времеви координати могат да бъдат избрани, Лоренцовите трансформации могат да бъдат приложени за тях, а след това извадени за да се получат Лоренцовите трнсформации на разликите.

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }& =\gamma (\mathrm{\Delta }t-\frac{v\mathrm{\Delta }x}{c^2}),\\ \mathrm{\Delta }{x}^{\prime }& =\gamma (\mathrm{\Delta }x-v\mathrm{\Delta }t),\end{array}$

с обратна зависимост

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }t& =\gamma (\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+\frac{v\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}{c^2}),\\ \mathrm{\Delta }x& =\gamma (\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }+v\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }).\end{array}$

където Шаблон:Math обозначава разликата между стойностите, например Шаблон:Math за две стойности на координатите Шаблон:Math и т.н.

Тези трансформации на разлики вместо на пространствени точки или моменти във времето са полезни, поради ред причини:

• при изчисления и опити се измерват разстоянията между две точки или времеви интервали
• трансформациите на скоростта могат лесно да бъдат изведени, като се направи разликата безкрайно малка и уравненията се разделят
• ако координатните системи никога не съвпадат (не са в стандартна конфигурация) и ако и двамата наблюдатели се съгласят за събитие Шаблон:Math в Шаблон:Math и Шаблон:Math в Шаблон:Math, то те могат да използват това събитие като отправна точка, а разликите между пространство-времевите координати са разликите между техните координати и отправната точка, например Шаблон:Math, Шаблон:Math

Физични изводи

Критично условие за Лоренцовите трансформации е инвариантността на скоростта на светлината – факт, който се използва в тяхното извеждане и който се съдържа в самите трансформации. Ако в Шаблон:Math уравнението за светлинен импулс в направление Шаблон:Math е Шаблон:Math, тогава в Шаблон:Math Лоренцовите трансформации дават Шаблон:Math и обратно за всяко Шаблон:Math.

За относителни скорости, които са много по-малки от скоростта на светлината, Лоренцовите трансформации се свеждат до Галилеева трансформация.

$\begin{array}{cc}{t}^{\prime }& \approx t\\ x^{\prime }& \approx x-vt\end{array}$

според принципа на съответствието. Някои учени гледат на нерелативистичната физика като на физика за „мигновено действие на разстояние“.

Три неинтуитивни, но верни предсказания от трансформациите са:

Релативистично забавяне на времето

Да приемем, че в Шаблон:Math има часовник в покой. Ако времеви интервал (например тиктакане) се измери в същата точка, така че Шаблон:Math, тогава трансформациите дават Шаблон:Math за това тиктакане в Шаблон:Math. Обратно, да приемем, че в Шаблон:Math има часовник в покой. Ако се измери едно тиктакане в същата точка, така че Шаблон:Math, тогава трансформациите дават Шаблон:Math за това тиктакане в Шаблон:Math. Във всеки случай, изтласканият наблюдател измерва по-дълъг интервал от време, отколкото наблюдателя в другата система.

Относителност на едновременността

Да приемем, че две събития се случват едновременно (Шаблон:Math) по оста Шаблон:Math, но са отделени от ненулево придвижване Шаблон:Math. Тогава в Шаблон:Math намираме, че $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\gamma \frac{-v\mathrm{\Delta }x}{c^2}$, така че събитията вече не са едновременни, спрямо движещ се наблюдател.

Лоренцово съкращение

Да приемем, че имаме прът в покой в Шаблон:Math, успореден на оста Шаблон:Math и с дължина Шаблон:Math. В Шаблон:Math прътът се движи със скорост Шаблон:Math, така че дължината му трябва да бъде измерена чрез две едновременни (Шаблон:Math) измервания на двата му края. При тези условия обратната Лоренцова трансформация показва, че Шаблон:Math. В Шаблон:Math двете измервания вече не са едновременни, но това е без значение, защото прътът е в покой в Шаблон:Math. Можем да заключим, че изтласканият наблюдател измерва по-къса дължина с коефициент Шаблон:Math, отколкото наблюдателя в статичната система на пръта. Съкращението на дължината засяга всяка геометрична величина, която има връзка с дължината, така че от гледната точка на движещ се наблюдател, площ и обем също ще изглеждат по-малки в посока на движението.

Векторни трансформации

Наблюдател в система Шаблон:Math наблюдава Шаблон:Math да се движи със скорост Шаблон:Math, докато Шаблон:Math наблюдава Шаблон:Math да се движи със скорост Шаблон:Math. Координатните оси на всяка система са паралелни и ортогонални. Позиционният вектор,, измерен във всяка система се разделен на компоненти, успоредни и перпендикулярни на вектора на относителната скорост Шаблон:Math. Ляво: Стандартна конфигурация. Дясно: Обратна конфигурация.

Използването на вектори позволява местоположенията и скоростите да бъдат изразявани в произволни посоки компактно. Тласък в коя да е посока зависи от пълния относителен вектор на скоростта Шаблон:Math с големина Шаблон:Math = v}}, която не може да е равна или да надвишава Шаблон:Math, така че Шаблон:Math.

Само времето и координатите, успоредни на посоката на относително движение, се променят, докато перпендикулярните координати не се. Имайки това предвид, можем да разделим пространствения позиционен вектор Шаблон:Math, измерен в Шаблон:Math, и Шаблон:Math, измерен в Шаблон:Math, всеки на съставящи перпендикулярни (⊥) и успоредни (‖) на Шаблон:Math,ev

$𝐫={𝐫}_{\perp }+{𝐫}_{\Vert },{𝐫}^{\prime }={{𝐫}_{\perp }}^{\prime }+{{𝐫}_{\Vert }}^{\prime },$

тогава трансформациите са

$\begin{array}{cc}{t}^{\prime }& =\gamma (t-\frac{{𝐫}_{\parallel }\cdot 𝐯}{c^2})\\ {{𝐫}_{\Vert }}^{\prime }& =\gamma ({𝐫}_{\Vert }-𝐯t)\\ {{𝐫}_{\perp }}^{\prime }& ={𝐫}_{\perp }\end{array}$

където · е скаларно произведение. Лоренцовият фактор Шаблон:Math запазва определението си на тласък в кое да е направление, тъй като зависи само от големината на относителната скорост. Определението Шаблон:Math с големина Шаблон:Math също може да се използва.

Въвеждайки единичен вектор Шаблон:Math в посоката на относително движение, относителната скорост е Шаблон:Math с големина Шаблон:Math и посока Шаблон:Math, а проекциите на вектора са

${𝐫}_{\parallel }=(𝐫\cdot 𝐧)𝐧,{𝐫}_{\perp }=𝐫-(𝐫\cdot 𝐧)𝐧$

Събирайки резултатите, получаваме пълните трансформации,

Лоренцов тласък (в направление Шаблон:Math с големина Шаблон:Math) $\begin{array}{cc}{t}^{\prime }& =\gamma (t-\frac{v𝐧\cdot 𝐫}{c^2}),\\ {𝐫}^{\prime }& =𝐫+(\gamma -1)(𝐫\cdot 𝐧)𝐧-\gamma tv𝐧.\end{array}$

Проекциите важат и за Шаблон:Math. За обратните трансформации е нужно да се разменят наблюдаваните координати в Шаблон:Math и Шаблон:Math и да се анулира относителната скорост Шаблон:Math (или просто единичния вектор Шаблон:Math, тъй като големината на Шаблон:Math е винаги положителна), за да се получи

Обратен Лоренцов тласък (в направление Шаблон:Math с големина Шаблон:Math) $\begin{array}{cc}t& =\gamma (t^{\prime }+\frac{{𝐫}^{\prime }\cdot v𝐧}{c^2}),\\ 𝐫& ={𝐫}^{\prime }+(\gamma -1)({𝐫}^{\prime }\cdot 𝐧)𝐧+\gamma t^{\prime }v𝐧,\end{array}$

Единичният вектор има предимството да опростява уравнения за единичен тласък и позволява Шаблон:Math или Шаблон:Math да бъде възстановен, когато ни е удобно, а параметризацията на бързината се получава веднага, като се заместят Шаблон:Math и Шаблон:Math. Това не е удобно за повече тласъци от един.

Векторната зависимост между относителната скорост и бързината е

$𝜷=\beta 𝐧=𝐧\tanh \zeta ,$

а векторът на бързината може да бъде записан като

$𝜻=\zeta 𝐧=𝐧{\tanh }^{-1}\beta ,$

всяко, от които служи като полезно съкращение в някои случаи. Големината на Шаблон:Math е абсолютната стойност на скалара на бързината, ограничена от Шаблон:Math, което е съгласувано с границите Шаблон:Math.

Трансформация на скорости

Трансформацията на скорости дава определението на релативистичното допълнение на скоростите Шаблон:Math, подредбата на векторите е избрана така, че да отразява подредбата на допълнението на скоростите: първо Шаблон:Math (скоростта на F′ спрямо F), а след това Шаблон:Math (скоростта на X спрямо F′), за да се получи Шаблон:Math (скоростта на X спрямо F).

Определяйки координатните скорости и Лоренцовия фактор чрез

$𝐮=\frac{d𝐫}{dt},{𝐮}^{\prime }=\frac{d{𝐫}^{\prime }}{d{t}^{\prime }},{\gamma }_{𝐯}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{𝐯\cdot 𝐯}{c^2}}}$

вземайки производните на координатите и времето на векторните трансформации, след което разделяйки уравненията, получаваме

${𝐮}^{\prime }=\frac{1}{1-\frac{𝐯\cdot 𝐮}{c^2}}[\frac{𝐮}{{\gamma }_{𝐯}}-𝐯+\frac{1}{c^2}\frac{{\gamma }_{𝐯}}{{\gamma }_{𝐯}+1}(𝐮\cdot 𝐯)𝐯]$

Скоростите Шаблон:Math и Шаблон:Math са скоростта на масивен обект. Също така, могат да се отнасят и за трета инерционна система (например F′′), в който случай те трябва да бъдат постоянни. Да отбележим кой да е обект с X. Тогава X се движи относително със скорост Шаблон:Math спрямо F или еквивалентно със скорост Шаблон:Math спрямо F′, а на свой ред F′ се движи относително със скорост Шаблон:Math спрямо F. Обратните трансформации могат да се получат по сходен начин или с размяна на позиционните координати Шаблон:Math и Шаблон:Math и замяна на Шаблон:Math с Шаблон:Math.

Трансформацията на скоростта е полезна при аберация, опита на Физо и релативистичния Доплеров ефект.

Лоренцовите трансформации за ускорение могат да бъдат получени по подобен начин, като се вземат производните на векторите на скоростта и последните се разделят на производната на времето.

Трансформация на други величини

По принцип четирите величини Шаблон:Math и Шаблон:Math и техните двойници с Лоренцов тласък Шаблон:Math и Шаблон:Math, зависимост от типа

$A^2-𝐙\cdot 𝐙={A^{\prime }}^2-{𝐙}^{\prime }\cdot {𝐙}^{\prime }$

предполага, че величините се трансформират с Лоренцова трансформация, подобна на трансформацията на пространство-времевите координати.

$\begin{array}{cc}{A}^{\prime }& =\gamma (A-\frac{v𝐧\cdot 𝐙}{c}),\\ {𝐙}^{\prime }& =𝐙+(\gamma -1)(𝐙\cdot 𝐧)𝐧-\frac{\gamma Av𝐧}{c}.\end{array}$

Разлагането на Шаблон:Math (и Шаблон:Math) в съставящи, перпендикулярни и успоредни на Шаблон:Math, е същото като за позиционния вектор, тъй като е процес на получаване на обратните трансформации (разменяме Шаблон:Math и Шаблон:Math и обръщаме посоката на относително движение, чрез заменяне Шаблон:Math).

Величините Шаблон:Math колективно образуват 4-вектор, където Шаблон:Math е „времеподобната съставяща“, а Шаблон:Math е „пространствоподобната съставяща“.

За даден обект (например частица, флуид, поле, вещество), ако Шаблон:Math или Шаблон:Math съответстват на специфични за обекта свойства (например плътност на заряда, плътност на масата, спин и т.н.), свойствата му могат да бъдат фиксирани в неподвижната система на този обект. В такъв случай Лоренцовите трансформации предоставят съответстващите свойства в система, движеща се относително спрямо обекта с постоянна скорост. Това разбива някои понятия, приети за даденост в нерелативистичната физика. Например, енергията Шаблон:Math на обект е скаларна величина в нерелативистичната механика, но не и в релативистката механика, защото енергията се променя от Лоренцовите трансфрмации. Стойността ѝ е различна за различни инерционни системи. В неподвижната система на обект има неподвижна енергия и нулев импулс. В изтласкана система енергията е различна и изглежда, че има импулс. Подобно, в нерелативистичната квантова механика синът на дадена частица е постоянен вектор, но в релативистичната квантова механика спинът Шаблон:Math зависи от относителното движение. В неподвижната система на частицата псевдовекторът на спина може да бъде фиксиран така, че да бъде обикновеният нерелативистичен спин с нулева времеподобна величина Шаблон:Math, но изтласкан наблюдател ще възприеме ненулев времеподобен компонент и променен спин.

Не всички величини са инвариантни във формата, показана по-горе. Например, нито ъгловия момент Шаблон:Math няма времеподобна величина, нито електричното поле Шаблон:Math, нито магнитното поле Шаблон:Math. Определението за ъглов момент е Шаблон:Math, а в изтласкана система промененият ъглов момент е Шаблон:Math. Прилагайки това определение, използвайки трансформациите на координатите и импулса, стигаме до трансформацията на ъгловия момент. Излиза, че Шаблон:Math се трансформира с друга векторна величина Шаблон:Math, свързана с тласъците. В случая с полетата Шаблон:Math и Шаблон:Math трансформациите не могат да бъдат получени директно чрез векторна алгебра. Силата на Лоренц е определението на тези полети, а в Шаблон:Math е Шаблон:Math, докато в Шаблон:Math е Шаблон:Math. Метод за извеждането на трансформациите на електромагнитното поле по ефективен начин, който също илюстрира мерната единица на електромагнитното поле използва тензорна алгебра, която е описана по-долу.

Математическа формулировка

В текста по-долу курсивните неудебелени главни букви са матрици 4×4, а некурсивните удебелени букви са матрици 3×3.

Хомогенна Лоренцова група

Записвайки координатите в колони (вектори) и метриката на Минковски Шаблон:Math като квадратна матрица

$X^{\prime }=\left[\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right],\eta =\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}ct\\ x\\ y\\ z\end{array}\right]$

пространство-времевият интервал заема формата (T означава транспонирана)

$X\cdot X=X^{\mathrm{T}}\eta X={X^{\prime }}^{\mathrm{T}}\eta X^{\prime }$

и е инвариантен под Лоренцова трансформация

$X^{\prime }=\mathrm{\Lambda }X$

където Λ е квадратна матрица, която може да зависи от параметри.

Нека множеството на всички Лоренцови трансформации Λ се бележи с $ℒ$. Това множество заедно с матрично умножение сформира група, която в настоящия контекст се нарича Лоренцова група. Горният израз Шаблон:Math е квадратична форма с идентификация (3,1) в пространство-времето, а групата трансформации, която оставя тази квадратична форма инвариантна, е неопределената ортогонална група O(3,1) – група Ли. С други думи, Лоренцовата група е O(3,1).

От инвариантността на пространство-времевия интервал следва, че

$\eta ={\mathrm{\Lambda }}^{\mathrm{T}}\eta \mathrm{\Lambda }$

и това матрично уравнение съдържа основните условия на Лоренцовата трансформация, за да осигури инвариантност на пространство-времевия интервал. Вземайки детерминантата на уравнението и използвайки правилото за произведението (за две квадратни матрици: Шаблон:Math и Шаблон:Math, Шаблон:Math), ни дава

$[det(\mathrm{\Lambda }){]}^2=1\Rightarrow det(\mathrm{\Lambda })=\pm 1$

Записваме метриката на Минковски във вид на матрица, а Лоренцовата трансформация в най-обща форма

$\eta =\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 𝐈\end{array}\right],\mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }& -{𝐚}^{\mathrm{T}}\\ -𝐛& 𝐌\end{array}\right],$

Извършваме умножение на матриците и получаваме общите условия за Шаблон:Math, за да осигурим релативистична инвариантност. Малко информация може да бъде извлечена директно от всичките условия, но единият резултат

${\mathrm{\Gamma }}^2=1+{𝐛}^{\mathrm{T}}𝐛$

е полезен; Шаблон:Math винаги, от което следва, че

${\mathrm{\Gamma }}^2\ge 1\Rightarrow \mathrm{\Gamma }\le -1,\mathrm{\Gamma }\ge 1$

Отрицателното неравенство може да е неочаквано, защото Шаблон:Math умножава времевата координата, а това има ефект на времевата симетрия. Ако положителното уравнение важи, то Шаблон:Math е Лоренцовият фактор.

Детерминантата и неравенствата предоставят четири начина да се класифицират Лоренцовите трансформации (по-долу съкратени на ЛТ за сбитост). Всяка Лоренцова трансформация има само един знак на детерминантата и само едно неравенство. Съществуват четири множества, които включват всяка възможна двойка, дадена от сечението на тези класифициращи множества.

Сечение, ∩	Антихронни ЛТ ${ℒ}^{\downarrow }=\{\mathrm{\Lambda }:\mathrm{\Gamma }\le -1\}$	Ортохронни ЛТ ${ℒ}^{\uparrow }=\{\mathrm{\Lambda }:\mathrm{\Gamma }\ge 1\}$
Точни ЛТ ${ℒ}_{+}=\{\mathrm{\Lambda }:det(\mathrm{\Lambda })=+1\}$	Точни антихронни ЛТ ${ℒ}_{+}^{\downarrow }={ℒ}_{+}\cap {ℒ}^{\downarrow }$	Точни ортохронни ЛТ ${ℒ}_{+}^{\uparrow }={ℒ}_{+}\cap {ℒ}^{\uparrow }$
Неточни ЛТ ${ℒ}_{-}=\{\mathrm{\Lambda }:det(\mathrm{\Lambda })=-1\}$	Неточни антихронни Лт ${ℒ}_{-}^{\downarrow }={ℒ}_{-}\cap {ℒ}^{\downarrow }$	Неточни ортохронни ЛТ ${ℒ}_{-}^{\uparrow }={ℒ}_{-}\cap {ℒ}^{\uparrow }$

където „+“ и „−“ указват знака на детерминантата, докато „↑“ за ≥ и „↓“ за ≤ указват неравенствата.

Пълната Лоренцова група се разделя на обединение на четири непресечени множества.

$ℒ={ℒ}_{+}^{\uparrow }\cup {ℒ}_{-}^{\uparrow }\cup {ℒ}_{+}^{\downarrow }\cup {ℒ}_{-}^{\downarrow }$

Една подгрупа на дадена група трябва да бъде затворена при същото действие на групата (в случая умножение на матрици). С други думи, за две Лоренцови трансформации Шаблон:Math и Шаблон:Math от дадено множество, комбинираните Лоренцови трансформации Шаблон:Math и Шаблон:Math трябва да бъдат в същото множество като Шаблон:Math и Шаблон:Math. Обаче, това невинаги е така – може да бъде показано, че комбинацията на всеки две Лоренцови трансформации винаги има положителна детерминанта и положително неравенство, точна ортохронна трансформация. Множествата ${ℒ}_{+}^{\uparrow }$, ${ℒ}_{+}$, ${ℒ}^{\uparrow }$ и ${ℒ}_0={ℒ}_{+}^{\uparrow }\cup {ℒ}_{-}^{\downarrow }$ всичките формират подгрупи. Другите множества, включващи неточни и/или антихронни свойства (т.е. ${ℒ}_{+}^{\downarrow }$, ${ℒ}_{-}^{\downarrow }$, ${ℒ}_{-}^{\uparrow }$) не формират подгрупи, защото комбинираната трансформация винаги има положителна детерминанта или неравенство, докато първоначалните отделни трансформации биха имали отриателни детерминанти и/или неравенства.

Нехомогенна Лоренцова група

За да може пространство-времевият интервал да е инвариантен, може да се докаже, че е нужно и достатъчно координатната трансформация да е във формата

$X^{\prime }=\mathrm{\Lambda }X+C$

където C е константа на колоната, съдържаща транслации във времето и пространството. Ако C ≠ 0, то това е нехомогенна Лоренцова трансформация или трансформация на Поанкаре. Ако C = 0, то това е хомогенна Лоренцова трансформация.

Формулировка на тензорите

Контравариантни вектори

Написвайки общата матрична трансформация на координати като матрично уравнение

$\left[\begin{array}{c}{x^{\prime }}^0\\ {x^{\prime }}^1\\ {x^{\prime }}^2\\ {x^{\prime }}^3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{{\mathrm{\Lambda }}^0}_0& {{\mathrm{\Lambda }}^0}_1& {{\mathrm{\Lambda }}^0}_2& {{\mathrm{\Lambda }}^0}_3\\ {{\mathrm{\Lambda }}^1}_0& {{\mathrm{\Lambda }}^1}_1& {{\mathrm{\Lambda }}^1}_2& {{\mathrm{\Lambda }}^1}_3\\ {{\mathrm{\Lambda }}^2}_0& {{\mathrm{\Lambda }}^2}_1& {{\mathrm{\Lambda }}^2}_2& {{\mathrm{\Lambda }}^2}_3\\ {{\mathrm{\Lambda }}^3}_0& {{\mathrm{\Lambda }}^3}_1& {{\mathrm{\Lambda }}^3}_2& {{\mathrm{\Lambda }}^3}_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}^0\\ x^1\\ x^2\\ x^3\end{array}\right]$

позволява трансформацията на други физични величини, които не могат да бъдат изразени като 4-вектори (например тензори или спинори от кой да е ред в четириизмерно пространство-време). В съответстващата тензорна нотация, горният матричен израз е

${x^{\prime }}^{\nu }={{\mathrm{\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }{x}^{\mu },$

където долният и горният индекс показват съответно ковариантни и контравариантни компоненти, и се прилага Айнщайновата нотация. Обикновено се използват гръцки индекси, които приемат стойност 0 за времеви компоненти и 1, 2, 3 за пространствени компоненти, докато латинските индекси просто приемат стойности 1, 2, 3 за времеви компоненти. Също така, първият индекс (от ляво надясно) в матрична нотация съответства на индекс за ред, а вторият индекс съответства на индекс за колона.

Трансформацията на матрицата е универсална за всички 4-вектори, не само за четириизмерни пространство-времеви координати. Ако Шаблон:Math е какъв да е 4-вектор, тогава в тензорната нотация

${A^{\prime }}^{\nu }={{\mathrm{\Lambda }}^{\nu }}_{\mu }{A}^{\mu }.$

Алтернативно, може да се запише

$A^{{\nu }^{\prime }}={{\mathrm{\Lambda }}^{{\nu }^{\prime }}}_{\mu }{A}^{\mu }.$

като тук индексите с прим обозначават индекси на A в система с прим. Тази нотация намалява риска да свършат гръцките букви наполовина.

За общ обект с Шаблон:Math компоненти можем да запишем

${X^{\prime }}^{\alpha }={\mathrm{\Pi }(\mathrm{\Lambda }{)}^{\alpha }}_{\beta }{X}^{\beta },$

където Шаблон:Math е подходящото представяне на Лоренцовата група, матрица Шаблон:Math за всяка Шаблон:Math. В този случай, индексите не трябва да се считат за пространство-времеви индекси (още наричани и Лоренцови индекси) и се поставят от Шаблон:Math към Шаблон:Math.

Ковариантни вектори

Съществуват, също така, векторни величини с ковариантни индекси. Обикновено се получават от съответстващите им обекти с ковариантни обекти, чрез действие за понижаване на индекс, като

$x_{\nu }={\eta }_{\mu \nu }{x}^{\mu },$

където Шаблон:Math е метричния тензор. Обратното на горната трансформация е

$x^{\mu }={\eta }^{\nu \mu }{x}_{\nu },$

където, разглеждани като матрици, Шаблон:Math е обратната на Шаблон:Math. Получава се, че Шаблон:Math. Това се нарича повишаване на индекс. За да се трансформира ковариантен вектор Шаблон:Math, първо трябва да се повиши индекса му, след това да се трансформира, според същото правило за контравариантни 4-вектори, и накрая да се понижи индекса му.

${A^{\prime }}_{\nu }={\eta }_{\rho \nu }{{\mathrm{\Lambda }}^{\rho }}_{\sigma }{\eta }^{\mu \sigma }{A}_{\mu }.$

Но

${\eta }_{\rho \nu }{{\mathrm{\Lambda }}^{\rho }}_{\sigma }{\eta }^{\mu \sigma }={{\left({\mathrm{\Lambda }}^{-1}\right)}^{\mu }}_{\nu },$

тоест, това е Шаблон:Math компонентата на обратната Лоренцова трансформация. Можем да определим

${{\mathrm{\Lambda }}_{\nu }}^{\mu }\equiv {{\left({\mathrm{\Lambda }}^{-1}\right)}^{\mu }}_{\nu },$

и да запишем

${A^{\prime }}_{\nu }={{\mathrm{\Lambda }}_{\nu }}^{\mu }{A}_{\mu }.$

Сумата от дясната страна на

${A^{\prime }}_{\nu }={{\mathrm{\Lambda }}_{\nu }}^{\mu }{A}_{\mu }={{\left({\mathrm{\Lambda }}^{-1}\right)}^{\mu }}_{\nu }{A}_{\mu }$

няма място за „индекс на ред“ за матрица, представляваща Шаблон:Math. Оттук, по отношение на матриците, тази трансформация трябва да бъде считана за обратно транспониране на Шаблон:Math, действащо по колонния вектор Шаблон:Math. В чисто матрична нотация

$A^{\prime }={\left({\mathrm{\Lambda }}^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}A.$

Това означава, че ковариантните вектори (считани за колонни матрици) се трансформират според двойното представяне на стандартното представяне на Лоренцовата група. Тази нотация обобщава общите представяния.

Тензори

Ако Шаблон:Math и Шаблон:Math са линейни оператори на векторните пространства Шаблон:Math и Шаблон:Math, тогава линеен оператор Шаблон:Math може да бъде определен от тензорното произведение на Шаблон:Math и Шаблон:Math, обозначено Шаблон:Math, според

$(A\otimes B)(u\otimes v)=Au\otimes Bv,u\in U,v\in V,u\otimes v\in U\otimes V.$ (T1)

От това веднага става ясно, че ако Шаблон:Math и Шаблон:Math са 4-вектори в Шаблон:Math, тогава Шаблон:Math се трансформира така

$u\otimes v\to \mathrm{\Lambda }u\otimes \mathrm{\Lambda }v={{\mathrm{\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{u}^{\nu }\otimes {{\mathrm{\Lambda }}^{\rho }}_{\sigma }{v}^{\sigma }={{\mathrm{\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{\mathrm{\Lambda }}^{\rho }}_{\sigma }{u}^{\nu }\otimes v^{\sigma }\equiv {{\mathrm{\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }{{\mathrm{\Lambda }}^{\rho }}_{\sigma }{w}^{\nu \sigma }.$ (T2)

Втората стъпка използва билинейността на тензорното произведение, а последната стъпка дефинира 2-тензор в компонентна форма или просто преименува тензора Шаблон:Math.

Тези наблюдения се обобщават по очевиден начин за повече фактори, а използвайки факта, че общ тензор във векторно пространство Шаблон:Math може да бъде записан като сбор на произведенията на тензорните компоненти на основни вектори и ковектори, можем да стигнем до закона за трансформация на всякаква тензорна величина Шаблон:Math. Разписва се

$T_{{\theta }^{\prime }{\iota }^{\prime }\cdots {\kappa }^{\prime }}^{{\alpha }^{\prime }{\beta }^{\prime }\cdots {\zeta }^{\prime }}={{\mathrm{\Lambda }}^{{\alpha }^{\prime }}}_{\mu }{{\mathrm{\Lambda }}^{{\beta }^{\prime }}}_{\nu }\cdots {{\mathrm{\Lambda }}^{{\zeta }^{\prime }}}_{\rho }{{\mathrm{\Lambda }}_{{\theta }^{\prime }}}^{\sigma }{{\mathrm{\Lambda }}_{{\iota }^{\prime }}}^{\upsilon }\cdots {{\mathrm{\Lambda }}_{{\kappa }^{\prime }}}^{\zeta }{T}_{\sigma \upsilon \cdots \zeta }^{\mu \nu \cdots \rho },$ (T3)

където Шаблон:Math е дефинирано по-горе. Тази форма може да бъде съкратена до формата за общи обекти с Шаблон:Math компоненти, дадена по-горе с матрица (Шаблон:Math), работеща по колонни вектори.

Трансформация на електромагнитното поле

Лоренцов тласък на електричен заряд. Зарядът е в покой в едната система или другата.

Лоренцовите трансформации могат да се използват за да онагледяват това, че магнитното поле Шаблон:Math и електричното поле Шаблон:Math са просто различни аспекти на една и съща сила – електромагнитната, като следствие на относителното движение между електричния заряд и наблюдателя. Фактът, че електромагнитното поле проявява релативистичен ефекти, става ясен, чрез провеждането на прост експеримент.

• Наблюдател измерва заряд в покой в система F. Наблюдателят ще засече статично електрично поле. Докато зарядът е неподвижен в тази система, няма електрически ток, така че наблюдателят на наблюдава никакво магнитно поле.
• Другият наблюдател в система F′ се движи със скорост Шаблон:Math, спрямо F и заряда. Този наблюдател вижда друго електрично поле, защото зарядът се движи със скорост Шаблон:Math в неговата неподвижна система. Движението на заряда съответства на електрически ток и следователно наблюдателят в F′ вижда магнитно поле.

Електричното и магнитно полета се трансформират по различен начин от пространството и времето, но по същия начин, както релативистичния ъглов момент и вектора на тласъка.

$F^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}0& -\frac{1}{c}{E}_x& -\frac{1}{c}{E}_y& -\frac{1}{c}{E}_z\\ \frac{1}{c}{E}_x& 0& -B_z& B_y\\ \frac{1}{c}{E}_y& B_z& 0& -B_x\\ \frac{1}{c}{E}_z& -B_y& B_x& 0\end{array}\right]$

в SI. В относителността, Гаусовата система единици често се използва за сметка на SI, защото в нея електричното поле и магнитната индукция използват една и съща мерна единица, което прави вида на тензора на електромагнитното поле по-естествен. Да погледнем Лоренцов тласък в направлението Шаблон:Math. Записваме го като

${{\mathrm{\Lambda }}^{\mu }}_{\nu }=\left[\begin{array}{cccc}\gamma & -\gamma \beta & 0& 0\\ -\gamma \beta & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],F^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}0& E_x& E_y& E_z\\ -E_x& 0& B_z& -B_y\\ -E_y& -B_z& 0& B_x\\ -E_z& B_y& -B_x& 0\end{array}\right],$

където тенорът на полето е показан един до друг за по-лесна справка в манипулацията по-долу.

Общият закон за трансформация (T3) става

$F^{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}={{\mathrm{\Lambda }}^{{\mu }^{\prime }}}_{\mu }{{\mathrm{\Lambda }}^{{\nu }^{\prime }}}_{\nu }{F}^{\mu \nu }.$

За магнитното поле получаваме

$\begin{array}{cc}{B}_{x^{\prime }}& =F^{2^{\prime }{3}^{\prime }}={{\mathrm{\Lambda }}^2}_{\mu }{{\mathrm{\Lambda }}^3}_{\nu }{F}^{\mu \nu }={{\mathrm{\Lambda }}^2}_2{{\mathrm{\Lambda }}^3}_3{F}^{23}=1\times 1\times B_x\\ & =B_x,\\ B_{y^{\prime }}& =F^{3^{\prime }{1}^{\prime }}={{\mathrm{\Lambda }}^3}_{\mu }{{\mathrm{\Lambda }}^1}_{\nu }{F}^{\mu \nu }={{\mathrm{\Lambda }}^3}_3{{\mathrm{\Lambda }}^1}_{\nu }{F}^{3\nu }={{\mathrm{\Lambda }}^3}_3{{\mathrm{\Lambda }}^1}_0{F}^{30}+{{\mathrm{\Lambda }}^3}_3{{\mathrm{\Lambda }}^1}_1{F}^{31}\\ & =1\times (-\beta \gamma )(-E_z)+1\times \gamma B_y=\gamma B_y+\beta \gamma E_z\\ & =\gamma {(𝐁-𝜷\times 𝐄)}_y\\ B_{z^{\prime }}& =F^{1^{\prime }{2}^{\prime }}={{\mathrm{\Lambda }}^1}_{\mu }{{\mathrm{\Lambda }}^2}_{\nu }{F}^{\mu \nu }={{\mathrm{\Lambda }}^1}_{\mu }{{\mathrm{\Lambda }}^2}_2{F}^{\mu 2}={{\mathrm{\Lambda }}^1}_0{{\mathrm{\Lambda }}^2}_2{F}^{02}+{{\mathrm{\Lambda }}^1}_1{{\mathrm{\Lambda }}^2}_2{F}^{12}\\ & =(-\gamma \beta )\times 1\times E_y+\gamma \times 1\times B_z=\gamma B_z-\beta \gamma E_y\\ & =\gamma {(𝐁-𝜷\times 𝐄)}_z\end{array}$

За електричното поле получаваме

$\begin{array}{cc}{E}_{x^{\prime }}& =F^{0^{\prime }{1}^{\prime }}={{\mathrm{\Lambda }}^0}_{\mu }{{\mathrm{\Lambda }}^1}_{\nu }{F}^{\mu \nu }={{\mathrm{\Lambda }}^0}_1{{\mathrm{\Lambda }}^1}_0{F}^{10}+{{\mathrm{\Lambda }}^0}_0{{\mathrm{\Lambda }}^1}_1{F}^{01}\\ & =(-\gamma \beta )(-\gamma \beta )(-E_x)+\gamma \gamma E_x=-{\gamma }^2{\beta }^2(E_x)+{\gamma }^2{E}_x=E_x(1-{\beta }^2){\gamma }^2\\ & =E_x,\\ E_{y^{\prime }}& =F^{0^{\prime }{2}^{\prime }}={{\mathrm{\Lambda }}^0}_{\mu }{{\mathrm{\Lambda }}^2}_{\nu }{F}^{\mu \nu }={{\mathrm{\Lambda }}^0}_{\mu }{{\mathrm{\Lambda }}^2}_2{F}^{\mu 2}={{\mathrm{\Lambda }}^0}_0{{\mathrm{\Lambda }}^2}_2{F}^{02}+{{\mathrm{\Lambda }}^0}_1{{\mathrm{\Lambda }}^2}_2{F}^{12}\\ & =\gamma \times 1\times E_y+(-\beta \gamma )\times 1\times B_z=\gamma E_y-\beta \gamma B_z\\ & =\gamma {(𝐄+𝜷\times 𝐁)}_y\\ E_{z^{\prime }}& =F^{0^{\prime }{3}^{\prime }}={{\mathrm{\Lambda }}^0}_{\mu }{{\mathrm{\Lambda }}^3}_{\nu }{F}^{\mu \nu }={{\mathrm{\Lambda }}^0}_{\mu }{{\mathrm{\Lambda }}^3}_3{F}^{\mu 3}={{\mathrm{\Lambda }}^0}_0{{\mathrm{\Lambda }}^3}_3{F}^{03}+{{\mathrm{\Lambda }}^0}_1{{\mathrm{\Lambda }}^3}_3{F}^{13}\\ & =\gamma \times 1\times E_z-\beta \gamma \times 1\times (-B_y)=\gamma E_z+\beta \gamma B_y\\ & =\gamma {(𝐄+𝜷\times 𝐁)}_z.\end{array}$

Тук се използва Шаблон:Math. Тези резултат могат да бъдат обобщени така

$\begin{array}{cc}{𝐄}_{{\parallel }^{\prime }}& ={𝐄}_{\parallel }\\ {𝐁}_{{\parallel }^{\prime }}& ={𝐁}_{\parallel }\\ {𝐄}_{{\mathrm{\perp }}^{\prime }}& =\gamma ({𝐄}_{\mathrm{\perp }}+𝜷\times {𝐁}_{\mathrm{\perp }})=\gamma {(𝐄+𝜷\times 𝐁)}_{\mathrm{\perp }},\\ {𝐁}_{{\mathrm{\perp }}^{\prime }}& =\gamma ({𝐁}_{\mathrm{\perp }}-𝜷\times {𝐄}_{\mathrm{\perp }})=\gamma {(𝐁-𝜷\times 𝐄)}_{\mathrm{\perp }},\end{array}$

и са независими от метричното обозначение. За SI, трябва да се замести Шаблон:Math.

Съкращаването на дължината влияе върху плътността на заряда Шаблон:Math и плътността на тока Шаблон:Math, а забавянето на времето влияе на потока на заряда (тока), така че разпределянето на заряда и тока трябва да се трансформира по подобен начин на тласък. Оказва се, че те се трансформират точно както пространство-времевите и енергийно-импулсните 4-вектори,

$\begin{array}{cc}{𝐣}^{\prime }& =𝐣-\gamma \rho v𝐧+(\gamma -1)(𝐣\cdot 𝐧)𝐧\\ {\rho }^{\prime }& =\gamma (\rho -𝐣\cdot \frac{v𝐧}{c^2}),\end{array}$

или в по-простия геометричен вид,

$j^{{\mu }^{\prime }}={{\mathrm{\Lambda }}^{{\mu }^{\prime }}}_{\mu }{j}^{\mu }.$

Уравненията на Максуел за инвариантни под Лоренцови трансформации.

Спинори

Уравнение (T1) остава непроменено за всякакво представяне на Лоренцовата група, включително и биспинорно представяне. В (T2) може просто да се заместят всички Шаблон:Math с биспинорно представяне Шаблон:Math,

$u\otimes v\to \mathrm{\Pi }(\mathrm{\Lambda })u\otimes \mathrm{\Pi }(\mathrm{\Lambda })v={\mathrm{\Pi }(\mathrm{\Lambda }{)}^{\alpha }}_{\beta }{u}^{\beta }\otimes {\mathrm{\Pi }(\mathrm{\Lambda }{)}^{\rho }}_{\sigma }{v}^{\sigma }={\mathrm{\Pi }(\mathrm{\Lambda }{)}^{\alpha }}_{\beta }{\mathrm{\Pi }(\mathrm{\Lambda }{)}^{\rho }}_{\sigma }{u}^{\beta }\otimes v^{\sigma }\equiv {\mathrm{\Pi }(\mathrm{\Lambda }{)}^{\alpha }}_{\beta }{\mathrm{\Pi }(\mathrm{\Lambda }{)}^{\rho }}_{\sigma }{w}^{\alpha \beta }.$ (T4)

Горното уравнение може, например, да бъде трансформацията на състояние в пространството на Фок, описващо два свободни електрона.

Трансформация на общи полета

Общо невзаимодействащо състояние на няколко частици в квантовата теория на полето се трансформира според правилото

|$\begin{array}{cc}& U(\mathrm{\Lambda },a){\mathrm{\Psi }}_{p_1{\sigma }_1{n}_1;p_2{\sigma }_2{n}_2;\cdots }\\ =& e^{-i{a}_{\mu }[(\mathrm{\Lambda }{p}_1{)}^{\mu }+(\mathrm{\Lambda }{p}_2{)}^{\mu }+\cdots ]}\sqrt{\frac{(\mathrm{\Lambda }{p}_1{)}^0(\mathrm{\Lambda }{p}_2{)}^0\cdots }{p_1^0{p}_2^0\cdots }}(\sum _{{{\sigma }_1}^{\prime }{{\sigma }_2}^{\prime }\cdots }{D}_{{{\sigma }_1}^{\prime }{\sigma }_1}^{(j_1)}[W(\mathrm{\Lambda },p_1)]D_{{{\sigma }_2}^{\prime }{\sigma }_2}^{(j_2)}[W(\mathrm{\Lambda },p_2)]\cdots ){\mathrm{\Psi }}_{\mathrm{\Lambda }{p}_1{{\sigma }_1}^{\prime }{n}_1;\mathrm{\Lambda }{p}_2{{\sigma }_2}^{\prime }{n}_2;\cdots },\end{array}$

където Шаблон:Math е ротацията на Уигнър, а Шаблон:Math е Шаблон:Nowrap представяне на Шаблон:Math.

Вижте също

• Галилееви трансформации