Метричен тензор

Шаблон:Без източници В диференциалната геометрия, метричен тензор е вид тензор от 2 ред, позволяващ да се определи скаларното произведение на два вектора във всяка точка от пространството и който се използва за измерването на дължини и ъгли. Обобщава теоремата на Питагор. В дадена координатна система метричният тензор може да бъде представен като матрица $G$ .

Базови координати вектори

Разглеждат се два произволни вектора в координатна система:

A = A 1 e_{1} + A 2 e_{2} + A 3 e_{3}

B = B 1 e_{1} + B 2 e_{2} + B 3 e_{3}

, където $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ са ортогонални базови вектори.

За удобство се използва съкратен вариант на записване:

A = (A1; A2; A3)

B = (B1; B2; B3)

Може да се направи такова записване и за базовите вектори:

e1 = (1; 0; 0);

e2 = (0; 1; 0);

e3 = (0; 0; 1):

В тензорния анализ се използват множество съкращения при записване на изразите за сумиране и умножение.

Едно от най-ползваните означения е символа на Кронекер – (делта):

δ_{i j} = 1

ако i =j,

δ_{i j} = 0

ако

i \neq j

В сила е и следното записване на коефициентите на Кронекер:

δ_{i} j = δ_{i}^{j}

δ_{11} = 1 δ_{12} = 0 δ_{13} = 0

δ_{21} = 0 δ_{22} = 1 δ_{23} = 0

δ_{31} = 0 δ_{32} = 0 δ_{33} = 1

Ако се ползва горен индекс се получава:

δ_{1}^{1} = 1 δ_{1}^{2} = 0 δ_{1}^{3} = 0

δ_{2}^{1} = 0 δ_{2}^{2} = 1 δ_{2}^{3} = 0

δ_{3}^{1} = 0 δ_{3}^{2} = 0 δ_{3}^{3} = 1

В случай на ортогонална координатна система с единични вектори $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ има следната формула:

e_{m} e_{n} = δ_{m n}

, където m; n = 1; 2; 3

Реципрочни базови вектори

Разглежда се координатна система с базови вектори: ${\vec{E}}_{1}, {\vec{E}}_{2}, {\vec{E}}_{3}$

Приема се, че те не са нито ортогонални, нито единични.

Всеки вектор А в това пространство може да бъде представен като произведение на координатите със съответните базови вектори:

\vec{A} = A^{1} {\vec{E}}_{1} + A^{2} {\vec{E}}_{2} + A^{3} {\vec{E}}_{3}

Разглежда се реципрочна базова координатна система. Тя отговаря на следните условия: Базови вектори: ${\vec{E}}^{1}, {\vec{E}}^{2}, {\vec{E}}^{3}$

{\vec{E}}_{1} . {\vec{E}}^{1} = 1

{\vec{E}}_{2} . {\vec{E}}^{2} = 1

{\vec{E}}_{3} . {\vec{E}}^{3} = 1

{\vec{E}}_{1} . {\vec{E}}^{2} = 0

{\vec{E}}_{1} . {\vec{E}}^{3} = 0

{\vec{E}}_{2} . {\vec{E}}^{3} = 0

Втората група от условия налагат

{\vec{E}}^{1}

да е перпендикулярен на

{\vec{E}}_{2}

и

{\vec{E}}_{3}

,

${\vec{E}}^{2}$ да е перпендикулярен на равнината, определена от ${\vec{E}}_{1}$ и ${\vec{E}}_{3}$

и

{\vec{E}}^{3}

да е перпендикулярен на равнината, определена от

{\vec{E}}_{1}

и

{\vec{E}}_{2}

.

Горните изисквания могат да бъдат записани съкратено чрез символа на Кроникер:

{\vec{E}}_{i} . E^{j} = δ_{i}^{j}

, където i,j = 1,2,3

Връзка между базовите вектори и реципрочната база вектори

От условията по въвеждането на реципрочната база вектори: ${\vec{E}}^{1}, {\vec{E}}^{2}, {\vec{E}}^{3}$ се вижда че ${\vec{E}}^{1}$ трябва да е перпендикулярен на ${\vec{E}}_{2}$ и ${\vec{E}}_{3}$ .

Следователно той може да бъде представен като произведение

${\vec{E}}^{1} = V^{- 1} . {\vec{E}}_{2} \times {\vec{E}}_{3}$

където

V^{- 1}

е константа, която предстои да бъде определена по-нататък.

Ако последното равенство бъде умножено скаларно с вектора ${\vec{E}}_{1}$ ще се получи обемът на паралелепипеда, зададен от базата ${\vec{E}}_{1}, {\vec{E}}_{2}, {\vec{E}}_{3}$ .

${\vec{E}}_{1} . {\vec{E}}^{1} = V^{- 1} . {\vec{E}}_{1} . ({\vec{E}}_{2} \times {\vec{E}}_{3})$

$V = {\vec{E}}_{1} . ({\vec{E}}_{2} \times {\vec{E}}_{3})$ – обем на паралелепипед, зададен от базовите вектори с общо начало.

Съответно връзката между базата вектори $({\vec{E}}_{1}, {\vec{E}}_{2}, {\vec{E}}_{3})$ и реципрочната база от вектори $({\vec{E}}^{1}, {\vec{E}}^{2}, {\vec{E}}^{3})$ е:

{\vec{E}}^{1} = V^{- 1} . {\vec{E}}_{2} \times {\vec{E}}_{3}

{\vec{E}}^{2} = V^{- 1} . {\vec{E}}_{3} \times {\vec{E}}_{1}

{\vec{E}}^{3} = V^{- 1} . {\vec{E}}_{1} \times {\vec{E}}_{2}

Контравариантно и ковариантно представяне на вектор

Нека да има база от вектори ${\vec{E}}_{1}, {\vec{E}}_{2}, {\vec{E}}_{3}$ и съответната реципрочна база от вектори: ${\vec{E}}^{1}, {\vec{E}}^{2}, {\vec{E}}^{3}$ .

Разглежда се вектор А, за който е в сила следното представяне спрямо ${\vec{E}}_{1}, {\vec{E}}_{2}, {\vec{E}}_{3}$

$\vec{A} = A^{1} {\vec{E}}_{1} + A^{2} {\vec{E}}_{2} + A^{3} {\vec{E}}_{3}$

Координатите

A^{1}, A^{2}, A^{3}

се наричат контравариантни компоненти на А.

Тяхната стойност се определя от:

A^{1} = \vec{A} . {\vec{E}}^{1}

A^{2} = \vec{A} . {\vec{E}}^{2}

A^{3} = \vec{A} . {\vec{E}}^{3}

Ако представим вектор А в реципрочната координатна система имаме:

\vec{A} = A_{1} {\vec{E}}^{1} + A_{2} {\vec{E}}^{2} + A_{3} {\vec{E}}^{3}

Координатите

A_{1}, A_{2}, A_{3}

се наричат ковариантни компоненти на А.

Те се определят от равенствата:

A_{1} = \vec{A} . {\vec{E}}_{1}

A_{2} = \vec{A} . {\vec{E}}_{2}

A_{3} = \vec{A} . {\vec{E}}_{3}

Метричен тензор

Контравариантното и ковариантното представяне на вектор са различни начини за представяне на един и същи вектор спрямо две реципрочни бази от координатни вектори.

Разглеждат се две бази от координатни вектори $({\vec{E}}_{1}, {\vec{E}}_{2}, {\vec{E}}_{3})$ и $({\vec{E}}^{1}, {\vec{E}}^{2}, {\vec{E}}^{3})$ , но в този случай те да не са реципрочни.

Ползвайки същия подход както при реципрочните векторни бази се записва:

{\vec{E}}_{i} . {\vec{E}}_{j} = {\vec{E}}_{j} . {\vec{E}}_{i} = g_{i j} = g_{j i}

{\vec{E}}^{i} . {\vec{E}}^{j} = {\vec{E}}^{j} . {\vec{E}}^{i} = g^{i j} = g^{j i}

скаларните величини: $g_{i j}$ се наричат метрични компоненти на пространството.

Съответно $g^{i j}$ се наричат спрегнати метрични компоненти на пространството.

Представяне на вектор спрямо метричните компоненти на пространството

Разглежда се векторът $A (A^{1}, A^{2}, A^{3})$ , представен спрямо базата $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ .

$\vec{A} = A^{1} {\vec{E}}_{1} + A^{2} {\vec{E}}_{2} + A^{3} {\vec{E}}_{3}$

От предишните подточки се знае, че

A_{1} = \vec{A} E_{1}

A_{2} = \vec{A} E_{2}

A_{3} = \vec{A} E_{3}

\vec{A} E_{1} = (A^{1} E_{1} + A^{2} E_{2} + A^{3} E_{3}) . E_{1} = A_{1}

Умножава се:

$\vec{A} E_{1} = A^{1} E_{1} . E_{1} + A^{2} E_{2} . E_{1} + A^{3} E_{3} . E_{1} = A_{1}$ $\vec{A} E_{1} = A_{1} E^{1} E_{1} + A_{2} E^{2} E_{1} + A_{3} E^{3} E_{1} = A_{1}$

Ползвайки метричните компоненти на пространството се получава:

A_{1} = A^{1} g_{11} + A^{2} g_{12} + A^{3} g_{13}

A_{2} = A^{1} g_{21} + A^{2} g_{22} + A^{3} g_{23}

A_{3} = A^{1} g_{31} + A^{2} g_{32} + A^{3} g_{33}

Връзката между контраварианните и ковариантните координати на вектор А е:

A^{1} = A_{1} g^{11} + A_{2} g^{12} + A_{3} g^{13}

A^{2} = A_{1} g^{21} + A_{2} g^{22} + A_{3} g^{23}

A^{3} = A_{1} g^{31} + A_{2} g^{32} + A_{3} g^{33}

Външни препратки

„Теоретическая физика“ – Л. Д. Ландау, Лифшиц
An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering Шаблон:Webarchive, released by NASA
Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics
A Quick Introduction to Tensor Analysis by R. A. Sharipov

Метричен тензор

Съдържание

Базови координати вектори

Реципрочни базови вектори

Връзка между базовите вектори и реципрочната база вектори

Контравариантно и ковариантно представяне на вектор

Метричен тензор

Представяне на вектор спрямо метричните компоненти на пространството

Външни препратки

Навигация

Метричен тензор

Базови координати вектори

Реципрочни базови вектори

Връзка между базовите вектори и реципрочната база вектори

Контравариантно и ковариантно представяне на вектор

Метричен тензор

Представяне на вектор спрямо метричните компоненти на пространството

Външни препратки

Навигация

Търсене