Хиперболична функция

Лъч през единичната хипербола $x^2-y^2=1$ в точка $(\cosh a,\sinh a)$, където $a$ е два пъти площта между лъча, хиперболата и оста $x$. За точките на хиперболата под оста $x$, площта се счита за отрицателна.

Хиперболичната функция е въведена по аналогия с познатите от елементарната геометрия тригонометрични функции, чрез замяна на реалния аргумент с чисто имагинерен. Тригонометричните функции се наричат още 'кръгови', тъй като за тях е в сила ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$, докато за хиперболическите ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$, което е уравнение за хипербола, като променливите са съответните означения за хиперболичен косинус и синус. Графиката на хиперболата се дават в табличен вид произволни стойности (-∞;-1) и (1;+∞). Графиката на тази функция никога не пресича О, Ox или Oy, в координатната система. Препоръчително е за x да се изберат 3 отрицателни числа и същите 3 числа обаче с положителен знак и в обратен ред. Примерно -3; -2; -1; 1; 2; 3.

Стандартни аналитични изрази

sinh, cosh и tanh

csch, sech и coth

(a) cosh(x) е средно аритметичното на e^x и e^−x

(b) sinh(x) е половината разлика на e^x и e^−x

Хиперболичните функции са:

• Хиперболичен синус:

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}-1}{2e^x}=\frac{1-e^{-2x}}{2e^{-x}}$.

• Хиперболичен косинус:

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}=\frac{1+e^{-2x}}{2e^{-x}}$.

• Хиперболичен тангенс:

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=$

$=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$.

• Хиперболичен котангенс: $x=0$

$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=$

$=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=\frac{1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}$

• Хиперболичен секанс:

$\mathrm{sech}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=$

$=\frac{2e^x}{e^{2x}+1}=\frac{2e^{-x}}{1+e^{-2x}}$

• Хиперболичен косеканс: $x=0$

$\mathrm{csch}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=$

$=\frac{2e^x}{e^{2x}-1}=\frac{2e^{-x}}{1-e^{-2x}}$

Хиперболичните функции могат да бъдат изведени и в комплексна форма:

• Хиперболичен синус:

$\sinh x=-i\sin (ix)$

• Хиперболичен косинус:

$\cosh x=\cos (ix)$

• Хиперболичен тангенс:

$\tanh x=-i\tan (ix)$

• Хиперболичен котангенс:

$\coth x=i\cot (ix)$

• Хиперболичен секанс:

$\mathrm{sech}x=\sec (ix)$

• Хиперболичен косеканс:

$\mathrm{csch}x=i\csc (ix)$

където $i$ е имагинерната единица със свойство $i^2=-1$.

Комплексните форми в по-горните определения се извеждат от формулата на Ойлер.

Специален смисъл

Хиперболичен косинус

Може да бъде доказано, че площта под кривата на cosh (x) в краен интервал е винаги равна на дължината на дъгата, съответстваща на този интервал:

$\text{площ}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cosh (x)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{1+{(\frac{d}{dx}\cosh (x))}^2}dx=\text{дължина на дъгата}$

Хиперболичен тангенс

Хиперболичният тангенс е решението на диференциалното уравнение $f^{\prime }=1-f^2$ за f(0)=0 и нелинейната краева задача:

$\frac{1}{2}{f}^{″}=f^3-f;f(0)=f^{\prime }(\mathrm{\infty })=0$

Вижте още

• Обратни хиперболични функции