Галилееви трансформации

Галилееви трансформации във физиката и класическата механика представляват координатни трансформации между две координатни системи, които се различават в постоянната си скорост една спрямо друга. Тези трансформации заедно с пространствените ротации и транслациите в пространство и време образуват т. нар. нехомогенна Галилеева група. Без транслациите в пространство и време групата се нарича хомогенна Галилеева група. Галилеевите трансформации се базират на принципа на относителността на Галилей, който счита за еднакво времето във всички отправни системи (абсолютно време).

Трансформациите на Галилей са частен случай на трансформациите на Лоренц за скорости много по-малки от скоростта на светлината във вакуум и в ограничено пространство. За скорости от порядъка на скоростта на движението на планетите в Слънчевата система (и дори по-големи), Галилеевите трансформации са приблизително верни с много голяма точност.

Галилео Галилей формулира тези понятия в неговото описание за равномерно движение. Темата е мотивирана от неговото описание на топка, търкаляща се по наклонена равнина, чрез която той измерва стойността на ускорението на гравитацията близо до повърхността на Земята.

Транслация

Стандартна конфигурация на координатни системи за Галилееви трансформации.

Въпреки че трансформациите са кръстени на Галилей, областта на определението им се базира на абсолютното време и пространство на Исак Нютон. В своята същност, Галилеевите трансформации въплъщават интуитивното понятие за събиране и изваждане на скорости като вектори.

Това предположение е изоставено при групата на Поанкаре (наричана също нехомогенни Лоренцови трансформации). Тези релативистични трансформации важат за всички скорости, докато Галилеевите трансформации могат да бъдат разглеждани като приближения за малки скорости на групата на Поанкаре.

Означенията по-долу описват връзката при Галилеевите трансформации между координатите Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap на индивидуално произволно събитие, измерено от две координатни системи S и S', с равномерно относително движение (скорост v) по техните направления x и x′ и с техните пространствени начала, съвпадащи по време Шаблон:Nowrap:

$x^{\prime }=x-vt$

$y^{\prime }=y$

$z^{\prime }=z$

$t^{\prime }=t$

или, използвайки векторни означения,

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r^{\prime }}+\overrightarrow{u}t,$

$t=t^{\prime }$

Последното уравнение изразява предположението за универсално време, което е независимо от относителното движение на различни наблюдатели.

В линейната алгебра тази трансформация се нарича трансвекция и се описва с матрица, действаща върху вектор. С движение успоредно на оста x, трансформацията действа върху два компонента:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ t^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -v\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ t\end{array}\right)$

Все пак, матричното представяне не е задължително за Галилеева трансформация – то просто предоставя начин за пряко сравнение с трансформационните методи в специалната относителност.

Галилееви трансформации

Галилеевите симетрии могат да бъдат еднозначно записани като композиция от ротация, транслация и равномерно движение на пространство-времето. Нека Шаблон:Math представлява точка в триизмерно пространство, а Шаблон:Math да е точка в едномерно време. По принцип точка в пространство-времето се представя чрез двойката Шаблон:Math.

Равномерно движение със скорост Шаблон:Math се представя чрез

$(𝐱,t)\mapsto (𝐱+t𝐯,t),$

където Шаблон:Math. Транслация се представя чрез

$(𝐱,t)\mapsto (𝐱+𝐚,t+s),$

където Шаблон:Math и Шаблон:Math. Ротация се представя чрез

$(𝐱,t)\mapsto (G𝐱,t),$

където Шаблон:Math е ортогонална трансформация.

Галилеева група

Две Гчлилееви трансформации Шаблон:Math съставят трета Галилеева трансформация Шаблон:Math. Редицата от всички Галилееви трансформации Шаблон:Math в пространството образува група.

Групата понякога бива представяна като матрична група с пространство-времеви събития Шаблон:Math като вектори, където Шаблон:Math е реално, а Шаблон:Math е положение в пространството. Действието се представя чрез

$\left(\begin{array}{ccc}R& v& a\\ 0& 1& s\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ t\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}Rx+vt+a\\ t+s\\ 1\end{array}\right),$

където Шаблон:Math е реално, а Шаблон:Math и Шаблон:Math е ротационна матрица.

Композицията от трансформации се осъществява чрез умножение на матрици. Шаблон:Math има наименувани подгрупи. Компонента на идентичността е обозначен с Шаблон:Math.

Нека Шаблон:Math представлява матрицата на трансформацията с параметри Шаблон:Math:

$G_1=\{m:s=0,a=0\},$ равномерни специални трансформации.

$G_2=\{m:v=0,R=I_3\}\cong ({ℝ}^4,+),$ изместване на първообраза.

$G_3=\{m:s=0,a=0,v=0\}\cong \mathrm{S}\mathrm{O}(3),$ ротации на отправната система.

$G_4=\{m:s=0,a=0,R=I_3\}\cong ({ℝ}^3,+),$ равномерни движения на системата.

Параметрите Шаблон:Math обхващат десет измерения. Тъй като трансформациите зависят непрекъснато от Шаблон:Math, Шаблон:Math е топологична група.

Структурата на Шаблон:Math може да бъде разбрана чрез реконструкция от подгрупите. Нужно е комбиниране на полупреките произведения ($A⋊B$) на групите.

1. $G_2◃\mathrm{S}\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(3)$ (G₂ е нормална група)
2. $\mathrm{S}\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(3)\cong G_2⋊G_1$
3. $G_4⊴G_1$
4. $G_1\cong G_4⋊G_3$
5. $\mathrm{S}\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(3)\cong {ℝ}^4⋊({ℝ}^3⋊\mathrm{S}\mathrm{O}(3))$

Вижте също

• Лоренцови трансформации