Скаларно произведение

Шаблон:Без източници Скаларното произведение на два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ е число (скалар), което е равно на произведението от големините им и косинуса на ъгъла между тях. Ъгълът между два вектора приема стойности от 0° до 180°, следователно скаларното произведение на два вектора може да приема и положителни, и отрицателни стойности.

Скаларно произведение на два ненулеви вектора.

Скаларното произведение на нулевия вектор с всеки друг вектор е равно на 0.

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}={\overrightarrow{a}}^T\overrightarrow{b}={\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=\Vert \overrightarrow{a}\Vert \Vert \overrightarrow{b}\Vert \cos (\theta )$

Свойства

• $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}$
• $\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$
• $(k\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{b}=k(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})$

Намиране на ъгъл между две прави чрез скаларно произведение на вектори

Ако $AB$ и $CD$ са две прави и φ е ъгълът между тях, то cos(φ) е равен на модула от скаларното произведение на векторите $AB$^→ и $CD$^→, разделено на произведението на дължините на отсечките $AB$ и $CD$.

$\cos (\theta )=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\Vert \overrightarrow{a}\Vert \Vert \overrightarrow{b}\Vert }$

Важно свойство на скаларното произведение на два вектора е, че ако правите $AB$ и $CD$ са перпендикулярни, скаларното произведение на $AB$^→ и $CD$^→ е равно на 0, защото cos(90°)=0.

Намиране дължина на отсечка

Голямо практическо приложение скаларното произведение на векторите намира при търсенето на дължина на отсечка. Тъй като ъгълът между два равни вектора е 0°, косинусът на този ъгъл винаги е 1. Следователно коренът от $AB$^→ умножено по себе си е равен на дължината на отсечката $AB$.