Функция скобка

Функциите „скобки“ или функционални скобки са математически функции, с които се обозначават най-близките цели числа до дадено число или дробната му част.
С долни скобки $\lfloor x\rfloor$ или средни скобки $[x]$ се обозначава най-голямото цяло число, което не надвишава (тоест е по-малко от или равно на) $x$. Обратно, горните скобки $\lceil x\rceil$ обозначават най-малкото цяло число, което е по-голямо от или равно на $x$.
С големи скобки $\{x\}$ се обозначава дробната част на $x$. Във всички случаи $x$ е реално число.

Графика на функциите ⌅x⌆ и ⌇x⌈.

Долни скобки

Функцията „долни скобки“ (подови скобки, Шаблон:Lang – под) или средни скобки е функция, която се обозначава с $\lfloor x\rfloor$ или $[x]$. Често в програмирането $\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{r}(x)$ се ползва вместо писмените обозначения.

Функцията е дефинирана по следния начин:

За едно реално число $x$, $\lfloor x\rfloor$ е най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на $x$.

или

$\lfloor x\rfloor :=max\{n\in \mathbb{Z}|n\le x\}$

Обозначението $[x]$ е изобретено от Карл Фридрих Гаус.

Примери: Шаблон:Колони

Свойства

1. За всяко цяло число $x$ ⇒ $[x]=x$.

2. Вярно е и обратното: Ако $[x]=x$, то $x$ е цяло.

3. За произволни реални числа $x$ и $y$ e изпълнено $[x]+[y]⩽[x+y][x]+[y]⩽[x+y]$.

4. За произволни реални числа $x$ и $y$ цялата част на сбора

$[x+y]⩽[x]+[y]+1[x+y]⩽[x]+[y]+1$.

5. За произволно реално $x$ и цяло $n$, следва $[x+n]=[x]+n[x+n]=[x]+n$.

Горни скобки

Функцията „горни скобки“ (също изписана като ceiling) е дефинирана така:

За едно реално число $x$, $\lceil x\rceil$ е най-малкото цяло число, което е по-голямо или равно на $x$,

или

$\lceil x\rceil :=min\{n\in \mathbb{Z}|n\ge x\}$.

На български език индивидуални имена за горната скобка не са често срещани; в тази статия се ползва горни скобки с обратното име долни скобки, по подобен начин както $\mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{r}(x)$ и $\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}(x)$ са обратни, означавайки буквално под и таван. Имената най-вероятно идват от действието на функциите: те са като горната и долната граница на цялата част на $x$.

Примерни стойности на $x$ и $\lceil x\rceil$ са: Шаблон:Колони

Дробна част

Шаблон:Основна Дробната част $\{x\}$ на реалното число $x$ е разликата между числото и цялата му част:

$\{x\}=xmod1=x-\lfloor x\rfloor$,

или $\lfloor x\rfloor +\{x\}=x$.

От определението за дробна част следва, че $0\le \{x\}<1$.

Примери:

• $\{3\}=0$
• $\{4,5\}=0,5$
• $\{\pi \}=0,\mathrm{1415926...}$
• $\{e\}=0,\mathrm{718281828459...}$
• $\left\{\frac{11}{3}\right\}=\frac{11}{3}-3=\frac{2}{3}$
• $\{-\frac{11}{3}\}=-\frac{11}{3}-\lfloor -\frac{11}{3}\rfloor =-3\frac{2}{3}-(-4)=\frac{1}{3}$
• $\{-1,05\}=-1,05-\lfloor -1,05\rfloor =-1,05-(-2)=0,95$

Понякога $\{x\}$ се ползва само да означава частта на $x$, която е след десетичната запетая. Тогава последната примерна стойност е $\{-1,05\}=0,05$.