Гама-функция

Гама-функция по дължина на част от реалната ос.

В математиката, гама-функция (Шаблон:Math) е разширение на факториелната функция до множеството на комплексните числа. Ако Шаблон:Math е положително цяло число, то

$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$

Гама-функцията е определена за всички комплекси числа, с изключение за неположителните числа. За комплексни числа с положителна реална част, тя се определя чрез сходящ несобствен интеграл:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx$

Тази интегрална функция се разширява чрез аналитично продължение до всички комплексни числа, освен за неположителни числа (където функцията има прости полюси), което води до мероморфната функция, която наричаме гама-функция. Тя няма нули, така че реципрочната гама-функция Шаблон:Math е холоморфна функция. Всъщност, гама-функцията съответства на трансформацията на Мелин на отрицателна експоненциална функция:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\{ℳe^{-x}\}(z)$

Гама-функцията е компонента в различни функции за разпределение на вероятностите, като например тези, които се използват в областите на теорията на вероятностите, статистиката и комбинаториката.

Определение

Основно определение

Обозначението Шаблон:Math е въведено от Льожандър. Ако реалната част на комплексното число Шаблон:Math е положителна (Шаблон:Math), тогава интегралът

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx$

е абсолютно сходящ и е познат също като Ойлеров интеграл от втори род. След интегриране по части се получава следното:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(z+1)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^z{e}^{-x}dx\\ & ={[-x^z{e}^{-x}]}_0^{\mathrm{\infty }}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}z{x}^{z-1}{e}^{-x}dx\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-x^z{e}^{-x})-(0e^{-0})+z\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx\end{array}$

Тъй като $x\to \mathrm{\infty },-x^z{e}^{-x}\to 0,$ то

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(z+1)& =z\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx\\ & =z\mathrm{\Gamma }(z)\end{array}$

Може да се изчисли $\mathrm{\Gamma }(1)$:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(1)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{1-1}{e}^{-x}dx\\ & ={[-e^{-x}]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-e^{-x})-(-e^{-0})\\ & =0-(-1)\\ & =1\end{array}$

От равенствата $\mathrm{\Gamma }(1)=1$ и $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)$ следва, че

$\mathrm{\Gamma }(n)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)=(n-1)!$

за всички цели положителни числа $n$.

Тъждеството $\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(z+1)}{z}$ позволява да се разшири интегралната дефиниция на $\mathrm{\Gamma }(z)$ до мероморфна функция, определена за всички комплексни числа $z$ с изключение на целите неположителни числа. Именно тази функция с максимално голямо дефиниционно множество обикновено се нарича гама-функция.

Други определения

Определение на Ойлер (като безкрайно произведение)

Когато се търси приближение на Шаблон:Math за комплексно число Шаблон:Math, се оказва, че е ефективно първо да изчисли Шаблон:Math за някакво голям число Шаблон:Math, след което да се използва това за приближение на стойност за Шаблон:Math, а след това се използва рекурсивна връзка Шаблон:Math назад Шаблон:Math пъти, за да се развие приближение за Шаблон:Math. Освен това тази апроксимация е точна в граници, когато Шаблон:Math нараства към безкрайност.

По-конкретно, за определено цяло число Шаблон:Mvar, важи

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!(n+1{)}^m}{(n+m)!}=1$

и може да се провери дали същата формула важи, когато произволно цяло число Шаблон:Mvar се замени с произволно комплексно число Шаблон:Mvar

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!(n+1{)}^z}{(n+z)!}=1.$

Умножавайки двете страни по Шаблон:Math, получаваме

$\begin{array}{cc}z!& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n!\frac{z!}{(n+z)!}(n+1{)}^z\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}(n+1{)}^z\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1\cdots n}{(1+z)\cdots (n+z)}{[(1+\frac{1}{1})(1+\frac{1}{2})\cdots (1+\frac{1}{n})]}^z\\ & =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[\frac{1}{1+\frac{z}{n}}{(1+\frac{1}{n})}^z\right].\end{array}$

Това безкрайно произведение е сходящо за всички комплекси числа Шаблон:Mvar освен за целите неположителни числа, при които рекурсивната връзка Шаблон:Math, приложена назад през стойността Шаблон:Math включва деление на нула.

Аналогична формула във вид на безкрайно произведение важи за гама-функцията, когато нейният аргумент $z$ е произволно комплексно число с изключение на целите неположителни числа:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{1}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(1+\frac{1}{n})}^z}{1+\frac{z}{n}}.$

Основни свойства на гама-функцията:

$\mathrm{\Gamma }(1)=1$;

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)$ за всички комплексни числа $z$ с изключение на целите неположителни числа;

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{\Gamma }(n+z)}{(n-1)!n^z}=1$ за всички комплексни числа $z$.

Определение на Вайерщрас

Определението на гама-функцията от Карл Вайерщрас е също валидно за всички комплексни числа Шаблон:Math, освен за неположителни числа:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{e}^{z/n}$

където $\gamma \approx 0,577216$ е константата на Ойлер–Маскерони.

Определяне чрез обобщените полиноми на Лагер

Параметризация на непълната гама-функция чрез обобщените полиноми на Лагер:

$\mathrm{\Gamma }(z,x)=x^z{e}^{-x}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{L_n^{(z)}(x)}{n+1};$

безкрайният ред е сходящ за $\mathrm{Re}(z)>-1$ и $x>0$.

Нестандартна параметризация на непълната гама-функция чрез полиномите на Лагер:

$\mathrm{\Gamma }(z,t)=t^z\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{L_n^{(z)}(t)}{z+n};$

безкрайният ред е сходящ за $\mathrm{Re}(z)<1/2$.

Свойства

Общи

Други важни функционални уравнения за гама-функцията са формулата на отражението на Ойлер

$\mathrm{\Gamma }(1-z)\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\pi }{\sin (\pi z)},z\in ̸\mathbb{Z}$

която предполага

$\mathrm{\Gamma }(\epsilon -n)=(-1{)}^{n-1}\frac{\mathrm{\Gamma }(-\epsilon )\mathrm{\Gamma }(1+\epsilon )}{\mathrm{\Gamma }(n+1-\epsilon )},$

и дупликационната формула

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z}\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(2z).$

Дупликационната формула е особен случай на теоремата за мултиплициране.

$\prod _{k=0}^{m-1}\mathrm{\Gamma }(z+\frac{k}{m})=(2\pi {)}^{\frac{m-1}{2}}{m}^{\frac{1}{2}-mz}\mathrm{\Gamma }(mz).$

Просто, но полезно свойство, което може да се забележи от определянето на границите, е:

$\overline{\mathrm{\Gamma }(z)}=\mathrm{\Gamma }(\bar{z})\Rightarrow \mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(\bar{z})\in ℝ$

В частност, с Шаблон:Math, това произведение е:

$|\mathrm{\Gamma }(a+bi){|}^2=|\mathrm{\Gamma }(a){|}^2\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+\frac{b^2}{(a+k{)}^2}}$

$|\mathrm{\Gamma }(bi){|}^2=\frac{\pi }{b\sinh (\pi b)}$

$|\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+bi){|}^2=\frac{\pi }{\cosh (\pi b)}$

Може би най-известната стойност на гама-функцията при аргумент, който не е цяло число, е:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi },$

което може да бъде намерено чрез полагане на Шаблон:Math в дупликационанта формула или формулата на отражението, използвайки връзката с бета-функцията, дадена по-долу с Шаблон:Math, или просто замествайки Шаблон:Math в интегралното определение на гама-функцията, което води до Гаусов интеграл. По принцип за неотрицателни стойности на Шаблон:Math имаме:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+n)& =\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi }=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi }=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-\frac{1}{2}}{n})n!\sqrt{\pi }\\ \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-n)& =\frac{(-4{)}^{n}n!}{(2n)!}\sqrt{\pi }=\frac{(-2{)}^n}{(2n-1)!!}\sqrt{\pi }=\frac{\sqrt{\pi }}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{n})n!}\end{array}$

където Шаблон:Math обозначава двойния факториел на n.

Може да е примамливо резултатът да се обобщи до Шаблон:Math, търсейки формула за други индивидуални стойности Шаблон:Math, при които Шаблон:Math е рационално число. Обаче, тези числа не са изразими сами по себе си по отношение на елементарните функции. Доказано е, че Шаблон:Math е трансцендентно число и алгебрическо независимо от Шаблон:Math за всяко цяло число Шаблон:Math и за всяка от дробите Шаблон:Math. По принцип при изчисляването на стойности на гама-функция е добре да се използват числени приближения.

Друга полезна граница за асимптотично приближение е:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(n)n^{\alpha }}=1,\alpha \in ℂ$

Производните на гама-функцията се описват по отношение на полигама-функция. Например:

${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)=\mathrm{\Gamma }(z){\psi }_0(z).$

За положително цяло число Шаблон:Math производната на гама-функцията може да бъде изчислена така:

${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(m+1)=m!(-\gamma +\sum _{k=1}^m\frac{1}{k}).$

Производна на функцията Шаблон:Math.

Тук Шаблон:Math е константата на Ойлер – Маскерони. За Шаблон:Math, Шаблон:Math-тата производна на гама-функцията е:

$\frac{d^n}{d{x}^n}\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}(\ln t{)}^{n}dt.$

Използвайки тъждеството

${\mathrm{\Gamma }}^{(n)}(1)=(-1{)}^{n}n!\sum _{\pi ⊢n}\prod _{i=1}^r\frac{{\zeta }^{*}(a_i)}{k_i!\cdot a_i}{\zeta }^{*}(x):=\{\begin{array}{cc}\zeta (x)& x\ne 1\\ \gamma & x=1\end{array}$

където Шаблон:Math е дзета-функция на Риман с части

$\pi =(\underset{k_1}{\underbrace{a_1,\dots ,a_1}},\dots ,\underset{k_r}{\underbrace{a_r,\dots ,a_r}}),$

се получава

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{1}{z}-\gamma +\frac{1}{2}({\gamma }^2+\frac{{\pi }^2}{6})z-\frac{1}{6}({\gamma }^3+\frac{\gamma {\pi }^2}{2}+2\zeta (3))z^2+O(z^3).$

Формула на Стирлинг

Представяне на гама-функцията в комплексна равнина. Всяка точка $z$ е оцветена според аргумента на $\mathrm{\Gamma }(z)$. Контурът на модула $|\mathrm{\Gamma }(z)|$ също е показан.

Абсолютната стойност на гама-функцията върху комплексната равнина.

Поведението на $\mathrm{\Gamma }(z)$ за нарастваща положителна променлива е просто: функцията нараства бързо – по-бързо от експоненциална функция. Асимптотично докато $z\to \mathrm{\infty }$, големината на гама-функцията се извежда от формулата на Стирлинг:

$\mathrm{\Gamma }(z+1)\sim \sqrt{2\pi z}{\left(\frac{z}{e}\right)}^z,$

където символът $\sim$ означава, че отношението на двете страни е сходящо към 1 или е асимптотично сходящо.

Остатък

Поведението на функцията при неположителни $z$ е по-сложно. Ойлеровият интеграл не е сходящ за $z\le 0$, но функцията, която определя в положителната комплексна равнина, има уникално аналитично продължение към отрицателната равнина. Един начин да се намери това аналитично продължение е да се използва интеграла на Ойлер за положителни аргументи и да се разшири областта до отрицателните числа чрез постоянно прилагане на рекурсивната формула,

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)},$

избирайки такова $n$, че $z+n$ да е положително. Произведението в знаменателя е нула, когато $z$ е равно на кое да е от целите числа $0,-1,-2,\cdots$. Оттук, гама-функцията трябва да е неопределена в тези точки, за да се избегне деление на нула. Това е мероморфна фнукция с прости полюси при неположителни цели числа.

Това определение може да бъде пренаписано така:

$(z+n)\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}.$

За функция $f$ с комплексна променлива $z$, при прост полюс $c$ остатъкът на $f$ се извежда чрез:

$\mathrm{Res}(f,c)=\underset{z\to c}{\lim }(z-c)f(z).$

Когато $z=-n,$

$\mathrm{\Gamma }(z+n+1)=\mathrm{\Gamma }(1)=1$

и

$z(z+1)\cdots (z+n-1)=(-1{)}^{n}n!$

Така че, остатъците на гама-функцията в тези точки са:

$\mathrm{Res}(\mathrm{\Gamma },-n)=\frac{(-1{)}^n}{n!}.$

Гама-функцията е ненулева навсякъде по дължина на реалната ос, макар че става произволно близка до нула, докато Шаблон:Math. Всъщност, не съществува комплексно число $z$, за което $\mathrm{\Gamma }(z)=0$ и следователно реципрочната гама-функция $\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}$ е цяла функция с нули при $z=0,-1,-2,\cdots$.

Минимуми

Гама-функцията има локален минимум при $z_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\approx 1,46163$, където достига стойност от $\mathrm{\Gamma }\left(z_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)\approx 0,885603$. Гама-функцията трябва да има редуващ се знак между полюсите, защото произведението в напредващата рекурсивност съдържа нечетен брой отрицателни коефициенти, ако броят полюси между $z$ и $z+n$ е нечетен, и четен брой, ако броят полюси е четен.

Разширение чрез ред на Фурие

Логаритъмът на гама-функцията има следното разширение чрез ред на Фурие за $0<z<1$:

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=(\frac{1}{2}-z)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -\frac{1}{2}\ln \sin (\pi z)+\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln n}{n}\sin (2\pi nz),$

Формула на Раабе

През 1840 г. Йозеф Лудвиг Раабе доказва, че

$\underset{a}{\overset{a+1}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(z)dz=\frac{1}{2}\ln 2\pi +a\ln a-a,a>0.$

В частност, ако Шаблон:Math, тогава

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(z)dz=\frac{1}{2}\ln 2\pi .$

Тази формула се използва, когато искаме да получим сходяща версия на формулата на Стирлинг. С помощта на формулата на трапеците може да се покаже, че

$\ln \mathrm{\Gamma }(1+z)=z\ln z-z+\frac{1}{2}\ln 2\pi z+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2\arctan (\frac{t}{z})}{e^{2\pi t}-1}dt$

Пи-функция

Алтернативна нотация, първоначално въведена от Гаус, е пи-функцията, която по отношение на гама-функцията е:

$\mathrm{\Pi }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^{z}dt,$

така че Шаблон:Math за всяко неотрицателно цяло число Шаблон:Math.

Използвайки пи-функция, формулата на отражение приема формата

$\mathrm{\Pi }(z)\mathrm{\Pi }(-z)=\frac{\pi z}{\sin (\pi z)}=\frac{1}{\mathrm{sinc}(z)}$

където Шаблон:Math е нормализираната функция sinc, докато теоремата за мултиплициране приема формата

$\mathrm{\Pi }\left(\frac{z}{m}\right)\mathrm{\Pi }\left(\frac{z-1}{m}\right)\cdots \mathrm{\Pi }\left(\frac{z-m+1}{m}\right)=(2\pi {)}^{\frac{m-1}{2}}{m}^{-z-\frac{1}{2}}\mathrm{\Pi }(z).$

Понякога може да се намери и

$\pi (z)=\frac{1}{\mathrm{\Pi }(z)},$

което е цяла функция, определена за всяко комплексно число, също както и реципрочната гама функция. Това, че $\pi \left(z\right)$ е цяла, ще рече, че няма полюси, така че $\mathrm{\Pi }\left(z\right)$, също както и $\mathrm{\Gamma }\left(z\right)$, няма нули.

Обемът на n-елипсоид с радиуси Шаблон:Math може да бъде изразен като

$V_n(r_1,\dots ,r_n)=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Pi }\left(\frac{n}{2}\right)}\prod _{k=1}^n{r}_k.$

Определени стойности

Някои определени стойности на гама-функцията са:

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{\Gamma }(-\frac{3}{2})& =& \frac{4}{3}\sqrt{\pi }& \approx & 2.363271801207\\ \mathrm{\Gamma }(-\frac{1}{2})& =& -2\sqrt{\pi }& \approx & -3.544907701811\\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)& =& \sqrt{\pi }& \approx & 1.772453850906\\ \mathrm{\Gamma }(1)& =& 0!& =& 1\\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)& =& \frac{1}{2}\sqrt{\pi }& \approx & 0.886226925453\\ \mathrm{\Gamma }(2)& =& 1!& =& 1\\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{5}{2}\right)& =& \frac{3}{4}\sqrt{\pi }& \approx & 1.329340388179\\ \mathrm{\Gamma }(3)& =& 2!& =& 2\\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{7}{2}\right)& =& \frac{15}{8}\sqrt{\pi }& \approx & 3.323350970448\\ \mathrm{\Gamma }(4)& =& 3!& =& 6\end{array}$

Гама-функцията с комплексни стойности е неопределена за неположителни числа, но в тези случаи стойността може да се определени в Риманова сфера като Шаблон:Math. Реципрочната гама функция е точно определена и аналитична при този стойности (и в цялата комплексна равнина):

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-3)}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-2)}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(-1)}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(0)}=0.$