Верижна дроб

Верижна дроб или продължаваща дроб в математиката в общия случай означава израз от вида

x = a_{0} + \frac{b_{0}}{a_{1} + \frac{b_{1}}{a_{2} + \frac{b_{2}}{a_{3} + \frac{b_{3}}{⋱}}}},

или в обикновения случай при

b_{i} = 1

x = a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3} + \frac{1}{⋱}}}},

където $a_{0}$ е цяло число $a_{0} \in ℤ$ , а останалите $a_{i}$ и $b_{i}$ са положителни цели числа $a_{i}, b_{i} \in ℕ$ за $i \in ℕ$ . Числата $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ и $b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots$ се наричат елементи на верижната дроб.^[1] Дробите $\frac{b_{i}}{a_{i}}$ и $\frac{1}{a_{i}}$ се наричат частични дроби, $b_{i}$ се нарича $i$ -ти частичен числител и $a_{i}$ се нарича $i$ -ти частичен знаменател.^[2] Частичните числители и частичните знаменатели също се наричат елементи на продължаващата дроб (след Оскар Перон, 1975).^[3]

Всяко реално число може да бъде представено във вид на верижна дроб (крайна или безкрайна). Числото представлява крайна верижна дроб тогава и само тогава, когато то е рационално. Безкрайната верижна дроб се нарича още непрекъсната дроб.

Главната (но не единствена) полза от верижните дроби се състои в това, че те позволяват да се намерят добри приближения на реални числа във вид на обикновени дроби.^[1] Верижните дроби се използват широко в теорията на числата и изчислителната математика. Използват се също така във физиката, небесната механика, техниката и други сфери. нотация

Обозначаване

Нотации

Използват се различни нотации за обозначаване на верижни дроби.

Съкратеното обозначаване на обща верижна дроб е

a_{0} + \frac{b_{1} |}{| a_{1}} + \frac{b_{2} |}{| a_{2}} + \frac{b_{3} |}{| a_{3}} + \dots

Въз основа на символите за сума $\sum$ и произведение $\prod$ , Гаус също въвежда следната нотация за това:

a_{0} + \underset{i = 1}{\overset{\infty}{𝐊}} \frac{b_{i}}{a_{i}} .

Правилната верижна дроб често се записва по следния начин: ^[4]

[a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots],

тук само $a_{0}$ е посочен отделно, защото е от $ℤ$ , но следващите $a_{i}$ са винаги само от $ℕ$ .

Обозначаването на крайни непрекъснати дроби е съответно

a_{0} + \frac{b_{1} |}{| a_{1}} + \frac{b_{2} |}{| a_{2}} + \dots + \frac{b_{n} |}{| a_{n}}, a_{0} + \underset{i = 1}{\overset{n}{𝐊}} \frac{b_{i}}{a_{i}}, [a_{0}; a_{1}, \dots, a_{n}] .

Представяне като композиция от образи

Продължаващата дроб може също да се представи като композиция от образи $T_{i} : ℝ \to ℝ$ . Това дава по-формално определение от даденото по-рано.

За да се направи това, задава се $T_{i} (x) = \frac{b_{i}}{a_{i} + x}$ и се взема

a_{0} + \underset{i = 1}{\overset{n}{𝐊}} \frac{b_{i}}{a_{i}} : = a_{0} + T_{1} \circ T_{2} \circ \dots \circ T_{n - 1} \circ T_{n} (0) .

Дефиницията на безкрайни последователни дроби се прави чрез разглеждане на граничните стойности в раздела Безкрайни последователни дроби.

Образуване

Верижната дроб се образува чрез итеративен процес на представяне на число като сбор от неговата цяла част и реципрочна стойност на друго число, след което записването на това друго число като сума от неговата цяла част и друга реципрочна стойност, и така нататък.Шаблон:Sfn В крайна верижна дроб (или прекратена продължителна дроб) итерацията/рекурсията се прекратява след ограничен брой стъпки чрез използване на цяло число вместо друга верижна дроб. При безкрайната верижна дроб този процес продължава и тя е безкраен израз. И в двата случая всички цели числа в редицата, различни от първото, трябва да са положителни.Шаблон:Sfn

Всяко реално число $x$ може да бъде представено чрез (крайна или безкрайна, периодична или непериодична) верижна дроб $[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots]$ , където

a_{0} = ⌊ x ⌋, x_{0} = x - a_{0},

a_{1} = ⌊ \frac{1}{x_{0}} ⌋, x_{1} = \frac{1}{x_{0}} - a_{1},

\dots

a_{n} = ⌊ \frac{1}{x_{n - 1}} ⌋, x_{n} = \frac{1}{x_{n - 1}} - a_{n},

\dots

долните скобки $⌊ x ⌋$ обозначават цялата част на числото $x$ .

За рационално число $x$ това разширение завършва, когато $x_{n}$ достигне нула за някои $n$ . В този случай $x$ е представено от крайна продължителна дроб $x = [a_{0}; a_{1}, \dots, a_{n}]$ . Един ефективен алгоритъм за преобразуване на обикновена дроб в непрекъсната дроб е алгоритъмът на Евклид. Представянето на рационално число като непрекъсната дроб е двусмислено: ако алгоритъмът, даден тук, дава непрекъснатата дроб $[\dots, a_{n}]$ , тогава верижната дроб $[\dots, a_{n} - 1, 1]$ съответства на същото число.

Като пример се разглежда рационалното число 415/93, което е около 4,4624. Като първо приближение се започва с 4, което е цяло число; 415/93 = 4 + 43/93. Дробната част е реципрочната на 93/43, което е около 2,1628. Използва се цялата част 2 като приближение за реципрочната стойност, за да се получи второ приближение на 4 + 1/2 = 4,5. Сега 93/43 = 2 + 7/43; останалата дробна част 7/43 е реципрочната стойност на 43/7, а 43/7 е около 6,1429. Използва се 6 като приближение за да се получи 2 + 1/6 като приближение за 93/43 и Шаблон:Nowrap, около 4,4615, като трето приближение. Освен това, 43/7 = 6 + 1/7. И накрая, дробната част, 1/7, е реципрочната на 7, така че нейното приближение в тази схема 7 е точно (7/1 = 7 + 0/1) и дава точния израз Шаблон:Nowrap за 415/93.

Подходящи дроби

$n$ -та подходяща дроб за верижната дроб $x = [a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots]$ се нарича крайна продължителна дроб $[a_{0}; a_{1}, \dots, a_{n}]$ , чиято стойност е някакво рационално число $p_{n} / q_{n}$ . Подходящите дроби с четни номера образуват нарастваща последователност, чиято граница е $x$ . По същия начин подходящите дроби с нечетни номера образуват намаляваща последователност, чиято граница също е $x$ . По този начин стойността на верижната дроб винаги е между стойностите на съседни подходящи дроби.

Ойлер е извел следните рекурентни формули за изчисляване на числителите и знаменателите на подходящи дроби:

p_{- 1} = 1, p_{0} = a_{0}, p_{n} = a_{n} p_{n - 1} + p_{n - 2};

q_{- 1} = 0, q_{0} = 1, q_{n} = a_{n} q_{n - 1} + q_{n - 2} .

По този начин величините $p_{n}$ и $q_{n}$ са многочлени от $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ , наречени континуанти^[5]:

p_{n} = K_{n + 1} (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}),

q_{n} = K_{n} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) .

Последователностите както на числителите ${p_{n}}$ , така и на знаменателите ${q_{n}}$ на подходящи дроби са строго нарастващи.

Числителите и знаменателите на съседни подходящи дроби са свързани с отношението

Шаблон:NumBlk

От тук се вижда, че подходящите дроби винаги са несъкратими. Разделя се равенство (1) на $q_{n - 1} q_{n}$ и то добива вида

\frac{p_{n}}{q_{n}} - \frac{p_{n - 1}}{q_{n - 1}} = \frac{(- 1)^{n - 1}}{q_{n - 1} q_{n}} .

От това следва, че Шаблон:Sfn

| x - \frac{p_{n - 1}}{q_{n - 1}} | < \frac{1}{q_{n - 1} q_{n}} < \frac{1}{q_{n - 1}^{2}} .

Изображението показва как подходящи дроби за златното сечение се доближават до него с увеличаване на номера на дробта. Дробите с нечетни номера се доближават до златното сечение отгоре, дробите с четни номера се доближават до него отдолу.

Източници и бележки

↑ ^1,0 ^1,1 Regular Continued Fraction, Wolfram Mathematics.
↑ В част от литературата $a_{i}$ и $b_{i}$ често се разменят, така че частичните знаменатели са $b_{i}$ .
↑ Шаблон:Literatur
↑ Освен посочените тук изписвания има и $a_{0} + \frac{1}{a_{1} +} \frac{1}{a_{2} +} \frac{1}{a_{3} +} \dots$ (например в „John Horton Conway, Richard Kenneth Guy – The book of numbers. Springer, 1996“), $⟨ a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots ⟩$ (z. B. im Buch von Niven/Zuckerman) както и $a_{0} + / / a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots / /$ (z. B. в „Donald Knuth – The Art of Computer Programming. (Band 2), Addison-Wesley, 1997“).
↑ Континуанта е определен многочлен от няколко променливи, свързани с верижни дроби.

[wolfram-1] 1,0 ^1,1 Regular Continued Fraction, Wolfram Mathematics.

[2] В част от литературата $a_{i}$ и $b_{i}$ често се разменят, така че частичните знаменатели са $b_{i}$ .

[3] Шаблон:Literatur

[4] Освен посочените тук изписвания има и $a_{0} + \frac{1}{a_{1} +} \frac{1}{a_{2} +} \frac{1}{a_{3} +} \dots$ (например в „John Horton Conway, Richard Kenneth Guy – The book of numbers. Springer, 1996“), $⟨ a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots ⟩$ (z. B. im Buch von Niven/Zuckerman) както и $a_{0} + / / a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots / /$ (z. B. в „Donald Knuth – The Art of Computer Programming. (Band 2), Addison-Wesley, 1997“).

[5] Континуанта е определен многочлен от няколко променливи, свързани с верижни дроби.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Верижна дроб

Съдържание

Обозначаване

Нотации

Представяне като композиция от образи

Образуване

Подходящи дроби

Източници и бележки

Навигация

Верижна дроб

Обозначаване

Нотации

Представяне като композиция от образи

Образуване

Подходящи дроби

Източници и бележки

Навигация

Търсене