Бета-функция

Контурна графика на бета-функция.

В математиката, бета-функцията (Шаблон:Math), наричана също и Ойлеров интеграл от първи род, е специална функция, определяна чрез

$\mathrm{B}(x,y)={\int }_0^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$

за Шаблон:Math.

Бета-функцията е изучавана от Ойлер и Льожандър, а името ѝ е дадено от Жак Бине.

Свойства

Бета-функцията е симетрична, което ще рече, че

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x).$

Ключово свойство на тази функция е връзката ѝ с гама-функцията.

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}.$

Когато Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar са положителни цели числа, от определението на гама-функцията Шаблон:Math следва, че:

$\begin{array}{cc}\mathrm{B}(x,y)& =\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}\\ \mathrm{B}(x,y)& =2{\int }_0^{\pi /2}(\sin \theta {)}^{2x-1}(\cos \theta {)}^{2y-1}d\theta ,& & \mathrm{Re}(x)>0,\mathrm{Re}(y)>0\\ \mathrm{B}(x,y)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt,& & \mathrm{Re}(x)>0,\mathrm{Re}(y)>0\\ \mathrm{B}(x,y)& =n{\int }_0^1{t}^{nx-1}(1-t^n{)}^{y-1}dt,& & \mathrm{Re}(x)>0,\mathrm{Re}(y)>0,n>0\\ \mathrm{B}(x,y)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-y}{n})}{x+n},\\ \mathrm{B}(x,y)& =\frac{x+y}{xy}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{xy}{n(x+y+n)})}^{-1},\end{array}$

Бета-функцията удовлетворява няколко интересни тъждества, включително:

$\begin{array}{cc}\mathrm{B}(x,y)& =\mathrm{B}(x,y+1)+\mathrm{B}(x+1,y)\\ \mathrm{B}(x+1,y)& =\mathrm{B}(x,y)\cdot \frac{x}{x+y}\\ \mathrm{B}(x,y+1)& =\mathrm{B}(x,y)\cdot \frac{y}{x+y}\\ \mathrm{B}(x,y)& \cdot (t\mapsto t_{+}^{x+y-1})=(t\to t_{+}^{x-1})\ast (t\to t_{+}^{y-1})& & x\ge 1,y\ge 1,\\ \mathrm{B}(x,y)& \cdot \mathrm{B}(x+y,1-y)=\frac{\pi }{x\sin (\pi y)}\\ \mathrm{B}(x,1-x)& =\frac{\pi }{\sin (\pi x)}\\ \mathrm{B}(1,x)& =\frac{1}{x}\end{array}$

където Шаблон:Math е прекъсната степенна функция, а звездичката обозначава конволюция.

Най-долното тъждество по-горе показва в частност, че Шаблон:Math. Някои от тези тъждества, например тригонометричната формула, могат да се приложат при извеждането на обема на Шаблон:Mvar-елипсоида в Декартови координати.

Ойлеровият интеграл за бета-функцията може да се преобразува в интеграл по контур на Покхамер Шаблон:Mvar както следва:

$(1-e^{2\pi i\alpha })(1-e^{2\pi i\beta })\mathrm{B}(\alpha ,\beta )={\int }_C{t}^{\alpha -1}(1-t{)}^{\beta -1}dt.$

Този интеграл е сходящ за всички стойности на Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar и така предоставя аналитично продължение на бета-функцията.

Както гама-функцията за цели числа описва факториелите, бета-функцията може да определя биномен коефициент, след като се нагодят индексите:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{1}{(n+1)\mathrm{B}(n-k+1,k+1)}.$

Освен това, за цяло число Шаблон:Mvar, Шаблон:Math може да приеме такъв коефициент, че да дава затворена форма, функция на интерполация за непрекъснати стойности на Шаблон:Mvar:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(-1{)}^{n}n!\cdot \frac{\sin (\pi k)}{\pi \prod _{i=0}^n(k-i)}.$

Бета-функцията е първата позната матрица на разсейване в струнната теория, което е предположено за пръв път от Габриеле Венециано.

Връзка с гама-функцията

За да се изведе интегралното представяне на бета-функцията, произведението на двата факториела трябва да бъде записано като

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& ={\int }_{u=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u}{u}^{x-1}du\cdot {\int }_{v=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-v}{v}^{y-1}dv\\ & ={\int }_{v=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{u=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-u-v}{u}^{x-1}{v}^{y-1}dudv.\end{array}$

Променянето на променливите Шаблон:Math и Шаблон:Math показва, че

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& ={\int }_{z=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{t=0}^1{e}^{-z}(zt{)}^{x-1}(z(1-t){)}^{y-1}|J(z,t)|dtdz\\ & ={\int }_{z=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{t=0}^1{e}^{-z}(zt{)}^{x-1}(z(1-t){)}^{y-1}zdtdz\\ & ={\int }_{z=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-z}{z}^{x+y-1}dz\cdot {\int }_{t=0}^1{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt\\ & =\mathrm{\Gamma }(x+y)\mathrm{B}(x,y),\end{array}$

където Шаблон:Math е абсолютната стойност на детерминантата на матрицата на Якоби за Шаблон:Math и Шаблон:Math.

Това тъждество може да бъде разгледано и като частен случай на тъждеството за интеграл от конволюция. Имайки дадени

$\begin{array}{cc}f(u)& :=e^{-u}{u}^{x-1}{1}_{{ℝ}_{+}}\\ g(u)& :=e^{-u}{u}^{y-1}{1}_{{ℝ}_{+}},\end{array}$

се получава:

$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)={\int }_{ℝ}f(u)du\cdot {\int }_{ℝ}g(u)du={\int }_{ℝ}(f\ast g)(u)du=\mathrm{B}(x,y)\mathrm{\Gamma }(x+y).$

Производни

Имаме

$\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)(\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x+y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)})=\mathrm{B}(x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),$

където Шаблон:Math е дигама-функция.

Приближение

Формулата на Стърлинг дава асимптотичната формула

$\mathrm{B}(x,y)\sim \sqrt{2\pi }\frac{x^{x-1/2}{y}^{y-1/2}}{(x+y{)}^{x+y-1/2}}$

за големи Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar. Ако Шаблон:Mvar е голямо, но Шаблон:Mvar е точно определено, тогава

$\mathrm{B}(x,y)\sim \mathrm{\Gamma }(y)x^{-y}.$