Геометрична прогресия

Геометрѝчна прогрèсия в математиката е редица от числа, в която първото число е различно от нула, а всяко следващо число е получено от предишното чрез умножение с константа, различна от нула. Тази константа се нарича частно, а числата – членове на прогресията.

За всяка геометрична прогресия $a_1,a_2,\mathrm{...},a_n,\mathrm{...}$ е в сила равенството $a_n=a_{n-1}q$, където $a_1\ne 0$, $q\ne 0$ е частното на прогресията, $n\in \mathbb{N},n⩾2.$ Очевидно една геометрична прогресия е напълно определена, ако се знаят първия ѝ член и нейното частно. В този смисъл тя е рекурсивна редица.

Например редицата 2, 4, 8, 16, 32, ... е геометрична прогресия с първи член 2 и частно 2, а геометричната прогресия 40, 20, 10, 5, ... е с първи член 20 и частно 1/2. Първата е пример за нарастваща, а втората – за намаляваща прогресия.

Диаграма, илюстрираща три основни геометрични прогресии от модела 1(rⁿ⁻¹) до 6 повторения в дълбочина. Първият блок е единичен блок, а пунктираната линия представлява безкрайна сума на прогресията – число, към което тя ще се приближава, но никога няма да го достигне: 2, 3/2, и 4/3 съответно.

Конструиране на триъгълника на Серпински. Това е фрактал. Броят на черните триъгълници, дължината на страната им, индивидуалната им площ и площта на покритата област следват геометрични прогресии със съответни съотношения 3, 1/2, 1/4, 3/4.

Геометричната прогресия е известна още с имената геометрична редица (от английски geometric sequence) и кратна прогресия (от руски кратная прогрессия).

Формули за общия член и частното

Формулата за $n$-тия член на прогресията е рекурентното съотношение $a_n=a_1{q}^{n-1}$.
Получава се като се изразява всеки член чрез определението за геометрична прогресия и се прилага методът на математичната индукция за $n$-тия член:

$\begin{array}{cc}{a}_2& =a_{1}q\\ a_3& =a_{2}q=(a_{1}q)\cdot q=a_1{q}^2\\ a_4& =a_{3}q=(a_1{q}^2)\cdot q=a_1{q}^3\\ & ⋮\\ a_n& =a_{n-1}q=(a_1{q}^{n-2})\cdot q=a_1{q}^{n-1}\end{array}$

Обобщена формула за общия член:

$a_n=a_k\cdot q^{n-k},$ където $k<n;\mathrm{\forall }n,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}.$

Формулите за частното следват от определението за геометрична прогресия: $q=\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$;

$q=\sqrt[n-k]{\frac{a_n}{a_k}},$ където $k<n;\mathrm{\forall }n,\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}.$

Тук трябва да се приеме $q\ne 0$, тъй като в противен случай съотношението $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ не би съществувало за всички съседни членове.

Анализ на частното

• $q>1:$ клоняща към плюс или минус безкрайност редица в зависимост от знака на първия член
  (напр. 1, 3, 9, 27, ... $\to +\mathrm{\infty }$ или -1, -4, -16, -64, ... $\to -\mathrm{\infty }$);
• $0<q<1:$ редицата клони към $0$ (напр. прогресиите $+5,1,\frac{1}{5},\frac{1}{25},\frac{1}{125},\dots \to 0$ или $-4,-1,-\frac{1}{4},-\frac{1}{16},\frac{1}{64},\dots \to 0$;
• $q<0:$ ще се получи редуване на положителни и отрицателни числа;
• $-1<q<0:$ редицата клони към нула с редуващи се положителни и отрицателни членове:

$+1,-\frac{1}{2},+\frac{1}{4},-\frac{1}{8},+\frac{1}{16},-\frac{1}{32},+\frac{1}{64},-\frac{1}{128},+\frac{1}{256},\dots \to 0$.
Като цяло, $a_n=1\cdot {(-\frac{1}{2})}^n=(-1{)}^n/2^n$;

• $q<-1:$ могат да се разглеждат 2 редици: нечетните номера клонят към плюс безкрайност, а четните – към минус безкрайност, или обратно в зависимост от знака на първия член. Например при $q=-3:$ прогресията 2, -6, 18, -54, 162, -486, ... е съставена от редиците 2, 18, 162, ... $\to +\mathrm{\infty }$ и
  -6, -54, -486, ... $\to -\mathrm{\infty }$ или прогресията -1, 3, -9, 27, -81, 243, ... е съставена от редиците
  -1, -9, -81, ... $\to -\mathrm{\infty }$ и 3, 27, 243, ... $\to +\mathrm{\infty }$;
• $q=1:$ редицата е съставена от константи, равни на първия член ($6,6,\mathrm{...},6$);
• $q=-1:$ редицата е съставена от константи, равни или противоположни на първия член, в зависимост от четността на поредния номер (напр. −π, π, −π, π, ...);
• $q=0:$ редицата се състои само от нули, с изключение на първия член.

Сходимост на геометричните прогресии

В изследването на границата на безкрайна геометрична последователност $(a_1{q}^n)$ трябва да се разграничават различните случаи: За $a_1=0$ постоянната последователност $0,0,\dots$ е сходяща и равна на нула. За $a_1\ne 0$ сходимостта зависи от частното $q$:

Случай 1: За $q=-1$ следващите членове винаги се изменят скокообразно напред-назад между $a_1$ и $-a_1$, така че геометричната прогресия е разходяща.

Случай 2: За $q=1$ постоянната последователност $a_1,a_1,\dots ,$ е сходяща и равна на $a_1$.

Случай 3: За $|q|>1$ всеки следващ член $a_{n+1}=a_n\cdot q$ е по-голям от предишния $a_{n+1}>a_n$ при $q>1$ и по-малък от него $a_{n+1}<a_n$ при $q<-1$. В обобщение $|a_{n+1}|>|a_n|$ и прогресията е разходяща.

Случай 4: За $|q|<1$ се получава $\frac{1}{|q|}>1,$ така
$(1)\frac{1}{|q|}=1+\delta$ за $\delta >0.$

Сега, ако $\epsilon >0,$ тогава според аксиомата на Архимед съществува $N\in \mathbb{N},$ така че

$(2)n\delta >1/\epsilon$ за всички $n>N.$

От (1) и (2), заедно с неравенството на Бернули, следва:

${(1/|q|)}^n=(1+\delta {)}^n\ge 1+n\delta \ge n\delta >1/\epsilon$ за всички $n>N.$

Така $|q^n|=|q{|}^n<\epsilon$ за всички $n>N.$

Това означава, че $(q^n)$ е нулева редица. Но тогава и $(a_1{q}^n)$ също се стреми към нула и прогресията е сходяща.

Видове геометрични прогресии

Геометричните прогресии не се делят на различни видове като отделни категории, а се класифицират по своята монотонност според характеристиките на техните членове и частното $q$, което е отношение на последователни членове. Ако всеки член на геометричната прогресия е по-голям от предишния, тогава прогресията се нарича „нарастваща“; ако е по-малък от предишния, тогава тя се нарича „намаляваща“.

Нарастващи

Геометричната прогресия е нарастваща или растяща, ако се изпълнява един из наборите условия:

$a_1>0$ и $q>1$ (напр. 2, 4, 8, 16, ... ; q = 2) – всички членове са положителни и нарастват

или

$a_1<0$ и $0<q<1$ (напр. -81, -27, -9, -3, ... ; q = -3) – всички членове са отрицателни и нарастват.

Такава прогресия се нарича още монотонно растяща.

Намаляващи

Геометричната прогресия е намаляваща, ако се изпълнява един от наборите условия:

$a_1>0$ и $0<q<1$ (напр. 24, 8, 3, 1/3, ... ; q=1/3) – всички членове са положителни и намаляват

или

$a_1<0$ и $q>1$ (напр. -1/32, -1/16, -1/8, -1/4, ... ; q=2) – всички членове са отрицателни и намаляват.

Такава прогресия се нарича още монотонно намаляваща.

Доказателство за нарастващи и намаляващи геометрични прогресии: Записва се разликата между $(n+1)$-ия и $n$-ия член на геометричната прогресия по формулата за общия член:

$a_{n+1}-a_n=a_1\cdot q^{n-1}\cdot (q-1).$

За нарастваща прогресия тази разлика трябва да е положителна, независимо от номера $n$, а за намаляваща – отрицателна. Условията, записани в доказаното твърдение, гарантират, че разликата между членовете $a_{n+1}$ и $a_n$ ще имат определен знак.

Постоянни (стационарни)

Частният случай, при който отношението q = 1. Всички членове са еднакви и равни на първия член (напр. 5, 5, 5, 5, ...).

Знакоредуващи се (алтернативни)

Частният случай, при който отношението q < 0. Членовете редуват знаците си, а прогресията е нито растяща, нито намаляваща.

При $a_1>0$:

• ако $0>q>-1$ (напр. $3,-1,+\frac{1}{3},-\frac{1}{9},+\frac{1}{27},-\frac{1}{81},\dots ;q=-\frac{1}{3}$), нечетните членове образуват намаляваща, а четните – растяща геометрична прогресия.
• ако $q<-1$ (напр. $2,-4,8,-16,32,-64,\mathrm{...};q=-2$), нечетните членове образуват растяща, а четните – намаляваща геометрична прогресия.
  

При $a_1<0$:

• ако $0>q>-1$ (напр. $-\frac{5}{3},+\frac{5}{6},-\frac{5}{12},+\frac{5}{24},-\frac{5}{48},+\frac{5}{96},\dots ;q=-\frac{1}{2}$), нечетните членове образуват растяща, а четните – намаляваща геометрична прогресия.
• ако $q<-1$ (напр. $-1,5,-25,125,\mathrm{...};q=-5$), нечетните членове образуват намаляваща, а четните – растяща геометрична прогресия.

Видове геометрични прогресии

$a_1>0$	$q>1$	нарастваща
	$0<q<1$	намаляваща
$a_1<0$	$q>1$	намаляваща
	$0<q<1$	нарастваща
	$q=1$	постоянна
	$q<0$	знакоредуваща се

Свойства

• Всеки член на геометричната прогресия след първия е средно геометричен на съседните си членове, т. е. $a_n^2=a_{n-1}{a}_{n+1}$ за всяко $n\ge 2$. От тук идва името геометрична прогресия:

$a_{n-1}\cdot a_{n+1}=a_1{q}^{n-1}\cdot a_1{q}^{n+1}=a_1^2{q}^{2n}=(a_1{q}^n{)}^2=a_n^2$,

откъдето

$a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}.$

Може да се докаже и по обратния път:

$a_n^2=a_n{a}_n=a_1{q}^{n-1}{a}_1{q}^{n-1}=a_1{q}^{n-1-i}{a}_1{q}^{n-1+i}=a_{n-i}{a}_{n+i}.$

По-точна е следната формулировка на характеристичното свойство: Модулът на всеки член на геометрична прогресия, с изключение на първия, е равен на средната геометрична стойност (пропорционална средна стойност) на двата члена до него

$|a_n|=\sqrt{a_{n-1}{a}_{n+1}},$

• В сила е и обратното твърдение, което е признак за геометрична прогресия: ако $a_1,a_2,\mathrm{...},a_n,\mathrm{...}$ е числова редица с ненулеви членове, в която всеки член след първия е средно геометричен на съседните си членове, то тази редица е геометрична прогресия.
  

Даденият признак може да се разшири за други случаи.
Ако членовете на геометричната прогресия са отрицателни, се получава $a_n=-\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$, където $n⩾2$.

Ако знаците на членовете на прогресията се редуват, получаваме $a_n={(-1)}^{n+j}\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$, където $j=0$ или $j=1$ и $n⩾2$.

• Нека $a_k,a_l,a_m$ са съответно $k$-ти, $l$-ти и $m$-ти членове на геометрична прогресия, където $k,l,m\in \mathbb{N}$. Тогава за всяка такава тройка е валидно допълнителното свойство на геометрична прогресия, наречено тъждество на геометрична прогресия:

$a_k^{l-m}\cdot a_l^{m-k}\cdot a_m^{k-l}=1.$

• Логаритмите на членовете на геометрична прогресия образуват аритметична прогресия.

$\log (a_n)=\log (a_1{q}^{n-1})=\log (a_1)+(n-1)\cdot \log (q)$

Формула за общия член на аритметична прогресия: $b_n=b_1+(n-1)\cdot d$.
В нашия случай $b_1=\log (a_1)$, $d=\log (q)$.

Графична интерпретация

Ако нанесем точки с координати $(n;a_n)$ върху координатна равнина, където $n$ е естествено число и $a_n$ е $n$-тият член на някаква геометрична прогресия, за която $q>0$, тогава всички точки ще принадлежат на графиката на функцията

$y=a_1\cdot q^{x-1}=\frac{a_1}{q}\cdot q^x,$

където $q$ е частното на геометричната прогресия, а $a_1$ е първият ѝ член. Това означава, че е валидна следната теорема:

За да бъде една редица $\left\{a_n\right\}$ геометрична прогресия за $q>0$, е необходимо и достатъчно $a_n$ да е експоненциална функция (на $n$), дефинирана върху множеството от естествени числа.

Примери

Получаване на нови квадрати чрез свързване на средните точки на страните на предишни квадрати

• Последователността от квадратни площи, където всеки следващ квадрат се получава чрез съединяване на средните точки на страните на предишния, е безкрайна геометрична прогресия с частно 1/2. Площите на триъгълниците, получени на всяка стъпка, също образуват безкрайна геометрична прогресия със знаменател 1/2, чийто сбор е равен на площта на началния квадрат.Шаблон:Rp
• Последователността на броя на зърната в квадратите в задачата за зърната на шахматна дъска е геометрична прогресия.

Сума на геометрична прогресия

Визуално доказателство на формулата за сума на първите $n$ члена на геометрична прогресия.
Шаблон:Nowrap терминът rⁿ изчезва, оставяйки Шаблон:Nowrap

Сумата на първите $n$ члена на геометричната прогресия е

$S_n=a_1+a_2+a_3+\dots +a_n=\sum _{i=1}^n{a}_i$

или, записана подробно,

$(3)S_n=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+a_1{q}^3+\dots +a_1{q}^{n-1}.$

Умножаваме двете страни на (1) с частното $q$ и получаваме

$(4)q{S}_n=a_{1}q+a_1{q}^2+a_1{q}^3+a_1{q}^4+\dots +a_1{q}^n.$

Изваждаме (4) от (3) и намираме

$(5)S_n-q{S}_n=a_1-a_1{q}^n\Rightarrow (1-q)S_n=a_1(1-q^n).$

Оттук, ако $q\ne 1$, се получава формулата за сума на първите $n$ члена на геометрична прогресия:

$(6)S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{(1-q)}.$

Формулата е удобна ако $q<1$. При $q>1$ тя може да се изведе като се извади (3) от (4) и се получава във вида

$(7)S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{(q-1)}.$

В частност при $q=1$ имаме

$(8)S_n=a_1+a_2+\dots +a_n=\underset{n}{\underbrace{a_1+a_1+\dots +a_1}}=n{a}_1.$

Геометричен ред

Сумата на безкрайната геометрична прогресия
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... клони към 2.

Геометричният ред е сбор от безкраен брой членове, който има постоянно съотношение между последователните си членове

$(9)a+aq+a{q}^2+a{q}^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}a{q}^n$.

Това е сума на безкрайна геометрична прогресия.

При $a_1>0$ и $\left|q\right|<1$ прогресията е намаляваща и нейната $n$-та (частична, парциална) сума се дава с (6). Ако имаме още, че $n\to \mathrm{\infty }$, то е изпълнено $q^n\to 0$ и тогава под сума на прогресията се разбира границата

$(10)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}.$

Равенството (10) е известно като сума на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Свойства на сумата на геометрична прогресия

$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n;$

$S_n={\sigma }_n\cdot a_1{a}_n,$

където ${\sigma }_n$ е сумата от реципрочни числа, т.е. ${\sigma }_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_n}.$

Произведение на геометрична прогресия

Произведението на първите $n$ члена на геометрична прогресия е

$P_n=a_1{a}_2{a}_3\cdot \cdot \cdot a_n=\prod _{k=1}^n{a}_k=a_1\cdot a_{1}q\cdot a_1{q}^2\cdots a_1{q}^{n-1}.$

Оттук лесно получаваме, че $P_n=a_1^n{q}^{1+2+3+\cdot \cdot \cdot +n-1}.$

Сумата в степенния показател на $q$ е всъщност сума на аритметична прогресия с първи член $b_1=1$, разлика $d=1$ и последен член $b_{n-1}=n-1$ и е числено равна на $\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n^2-n}{2}.$ Така произведението на първите $n$ члена на геометрична прогресия (за която предполагаме, че са изпълнени условията $a_1\ne 0,q\ne 0$) се дава с формулата

$(10)P_n=a_1^n{q}^{\frac{n^2-n}{2}}.$

Тя може да се преобразува във вида
$P_n=a_1^n{q}^{\frac{n^2-n}{2}}=a_1^{\frac{n}{2}}{a}_1^{\frac{n}{2}}{q}^{\frac{n(n-1)}{2}}={\left(a_1{a}_1{q}^{n-1}\right)}^{\frac{n}{2}},$ или окончателно

$(11)P_n={\left(a_1{a}_n\right)}^{\frac{n}{2}}.$

Произведението на членовете на геометрична прогресия, започвайки с $k$-тия член и завършвайки с $n$-тия член, може да се изчисли по формулата

$P_{k,n}=\frac{P_n}{P_{k-1}}.$

Доказателство:
$P_{k,n}=\prod _{i=k}^n{a}_i=\frac{\prod _{i=1}^n{a}_i}{\prod _{j=1}^{k-1}{a}_j}=\frac{P_n}{P_{k-1}}.$

Свойства на произведението на геометрична прогресия

Произведението на първите $n$ члена на геометричната прогресия $\left\{a_n\right\}$ се нарича произведението от $a_1$ до $a_n$ и е израз от вида $P_n=\prod _{i=1}^n{a}_i=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \dots \cdot a_{n-2}\cdot a_{n-1}\cdot a_n.$

• $P_n=a_1^n\cdot q^{\frac{n(n-1)}{2}}$
• $a_{n+1}=\frac{P_{n+1}}{P_n}$
• $P_{2n}=P_n\cdot \sqrt[3]{P_{3n}}$
• $\sqrt[k]{P_k^{l-m}}\cdot \sqrt[l]{P_l^{m-k}}\cdot \sqrt[m]{P_m^{k-l}}=1.$

Примери за приложения

Геометричната прогресия описва процеси на нарастване или намаляване, в които измерената стойност на променливата в $(n+1)$-ия момент от време се получава от тази в $n$-ия момент от време чрез умножение по постоянно число $q$.

Сложна лихва

Шаблон:Основна При лихвен процент 5 % вложените пари се увеличават всяка година с коефициент 1,05. По този начин капиталът се развива от година на година като членовете на геометрична прогресия с частно $q=\mathrm{1,05}$. В този случай числото $q$ означава нарастването на главницата при съответния лихвен процент. С начален капитал от 1000 евро тогава се получава:

• след една година

$1000$ евро $\cdot \mathrm{1,05}=1050$ евро

• след две години

$1000$ евро $\cdot \mathrm{1,0}{5}^2=\mathrm{1102,50}$евро

• след три години

$1000$ евро $\cdot \mathrm{1,0}{5}^3=\mathrm{1157,63}$евро

и така нататък.

Нееластичен удар

Една топка пада на земята от начална височина $h_0$. След всяко съприкосновение със земята тя отскача обратно нагоре, но губи фиксиран процент $p\mathrm{\%}$ от височината на скока си поради триене. След $n$ удара височините на скока на топката $h_n$ образуват геометрична прогресия с първоначален член $h_0$ и частно $q=1-p\mathrm{\%}$.

Настройка на равно ниво

Геометрична прогресия се среща и в музикологията. Започвайки от определена начална честота, последователността от октави съответства на геометрична прогресия със съотношение 2 (насочваща се към дискантите), последователността от чисти квинти (тези от Питагоровия акорд) – на геометрична прогресия със съотношение 3/2, последователността от полутонове на темперирания строй – на геометрична прогресия със съотношение корен 12-и от 2. Темперираният строй използва само 12 чисти квинти, (3/2)¹² ≈ 129,746, които са на стойност „почти“ 7 октави, 2⁷ = 128, т.е. две геометрични прогресии с еднаква начална стойност, едната със съотношение 3/2, другата със съотношение 2, които не могат да съвпадат точно в която и да е точка, съвпадат приблизително за тези стойности.

Има няколко начина, по които може да се настрои музикален инструмент. Един от тях е настройка на едно и също ниво. В него честотното съотношение между два съседни тона винаги е постоянно. При дванадесет звука в октавата, настройката на $n$-ия тон тук е:

$f(n)=a_0\cdot {\left(\sqrt[12]{2}\right)}^n$,

където $a_0$ е „оригиналният тон“ от честотата на камертона, а за $i$-тото полутонно стъпаловидно разстояние до тона на камертона $f(i)$ е честотата на желания звук.

Така че коефициентът на растеж е $q=\sqrt[12]{2}$.

Ред на Ренар

Редовете на Ренар са система от предпочитани числа, разделящи интервал от 1 до 10 на 5, 10, 20 или 40 стъпки. Множителят между две последователни числа в ред на Ренар е приблизително постоянен (преди закръгляване), а именно 5-ти, 10-ти, 20-ти или 40-ти корен от 10 (съответно приблизително 1,58, 1,26, 1,12 и 1,06), което води до геометрична прогресия (R5, R10, R20. R40). Този набор от предпочитани числа е предложен около 1877 г. от френския армейски инженер полковник Шарл Ренар и е публикуван в инструкция от 1886 г. за пленени балонни войски. Неговата система е приета от ISO през 1949 г., за да се формира препоръката R3 на ISO, публикувана за първи път през 1953 г. или 1954 г., която се е превърнала в международния стандарт ISO 3. Едно приложение на числовата редица на Ренард е номиналният ток на електрически предпазители (напр. R10: 1 A, 2 A, 4 A, 5 A, 10 A, 16 A, 20 A, 25 A, 30 A, 40 A, 50 A, 63 A, 100 A, 200 A). Друго често срещано приложение е номиналното напрежение на кондензаторите (напр. R5: 100 V, 160 V, 250 V, 400 V, 630 V).

Е-серии

Стандартни номинални Е-серии се наричат поредици от числа, установени от стандартите, които определят номиналните стойности (номинали) на основните параметри на произвежданите пасивни електронни елементи (резистори, кондензатори, индуктивни бобини).

Номиналните стойности в една серия с номер N образуват геометрична прогресия с първи член 1 и частно 10^1/N. Така всяка от тях може да се получи от предходната чрез умножаване с частното или от следващата чрез разделяне на 10^1/N. Получените стойности от изчисленията от 1 до 10 се закръглят с точност, определена от номера на серията.

Всеки номинал от N-тата серия може да се определи по формулата за n-тия член на геометричната прогресия:

$a_n=10^{n/N}=\exp (\frac{n}{N}\cdot \ln 10),$

където номерът на серията $N=2^i.3$ ,
при $i=0,1,2,\mathrm{...},6$ се получава $N=3,6,12,24,48,96,192$;

$n=0,1,2,\mathrm{...},N$ означава поредния номер на номинала в серията.

Геометрична прогресия от два цикъла стандартни съпротивления на резистори от 1 до 82 Ω от серия E12 с експоненциално изменение.

Вижте също

• Ред (математика)
• Аритметична прогресия
• Аритметично-геометрична прогресия
• Хармонична прогресия
• Числа на Фибоначи
• Показателна функция
• Коефициент на растеж (математика)
• Стандартни номинални Е-серии
• Ефект на снежната топка

Литература

• Корн Г., Корн Т. – Справочник по математике для научных работников и инженеров. – Москва : Наука, 1973. – 832 с. (на руски)
• Елементарна математика. Алгебра. Новітні інформаційні технології навчання (Maple)/ В.М.Михалевич, А.Ф. Дода; Вінниц. нац. техн. ун-. – Вінниця : ВНТУ, 2010 Шаблон:Webarchive (на украински).
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. – Математичний аналіз. Частина 1. – К. : Вища школа, 1992. – 496 с. – ISBN 5-11-003757-4 (на украински).
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. – Математичний аналіз в прикладах і задачах. – 2025. – 1000+ с. (на украински).
• Jochen Schwarze: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 1: Grundlagen. 12. Auflage. NWB Verlag, Herne / Berlin 2005, ISBN 3-482-51562-X, S. 166 (на немски).
• Walter Purkert, Alexander Herzog: Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. 9. Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2022, ISBN 978-3-658-36741-1, S. 106 (на немски).
• Eric W. Weisstein: Geometric Sequence. MathWorld, abgerufen am 10. November 2019 (на английски).