Геометрична прогресия

Шаблон:Без източници В математиката геометрична прогресия е редица от числа, в която първото число е различно от нула, а всяко следващо число е получено от предишното чрез умножение с константа, различна от нула. Тази константа се нарича частно. Например редицата 2, 4, 8, 16, ... е геометрична прогресия с първи член 2 и частно 2, а геометричната прогресия 20, 10, 5, ... е с първи член 20 и частно 1/2. Първата е пример за растяща, а втората – за намаляваща прогресия.

За всяка геометрична прогресия $a_1,a_2,...,a_n,...$ е в сила равенството $a_n=a_{n-1}q$, където $q\ne 0$ е частното на прогресията. Очевидно една геометрична прогресия е напълно определена, ако знаем първия ѝ член и нейното частно.

Формула за общия член

Формулата за $n$-тия член на прогресията е $a_n=a_1{q}^{n-1}$.

Анализ на частното

• $q<0:$ ще се получи редуване на положителни и отрицателни числа;
• $q>1:$ клоняща към плюс или минус безкрайност редица в зависимост от знака на първия член;
• $q<-1:$ могат да се разглеждат 2 редици: четните номера клонят към минус безкрайност, а нечетните – към плюс безкрайност, или обратно в зависимост от знака на първия член;
• $0<q<1:$ редицата клони отгоре или отдолу към 0 в зависимост от знака на първия член;
• $-1<q<0:$ редицата колони към нула с редуващи се положителни и отрицателни членове;
• $q=1:$ редицата е съставена от константи, равни на първия член;
• $q=-1:$ редицата е съставена от константи, равни или противоположни на първия член, в зависимост от четността на поредния номер;
• $q=0:$ редицата се състои само от нули, с изключение на първия член.

Свойства

• $a_n^2=a_{n-1}{a}_{n+1}$ за всяко $n\ge 2$, т. е. всеки член на геометричната прогресия след първия е средно геометричен на съседните си членове. В сила е и обратното твърдение: ако $a_1,a_2,...,a_n,...$ е числова редица с ненулеви членове, в която всеки член след първия е средно геометричен на съседните си членове, то тази редица е геометрична прогресия.

• Логаритмите на членовете на геометрична прогресия образуват аритметична прогресия.

Сума на геометричната прогресия

Сумата на първите $n$ члена на геометричната прогресия е

$S_n=a_1+a_2+a_3+\dots +a_n=\sum _{i=1}^n{a}_i$

или, разписана подробно,

$(1)S_n=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+a_1{q}^3+\dots +a_1{q}^{n-1}.$

Умножаваме двете страни на (1) с частното $q$ и получаваме

$(2)q{S}_n=a_{1}q+a_1{q}^2+a_1{q}^3+a_1{q}^4+\dots +a_1{q}^n.$

Изваждаме (2) от (1) и намираме

$(3)S_n-q{S}_n=a_1-a_1{q}^n\Rightarrow (1-q)S_n=a_1(1-q^n).$

Сега, ако $q\ne 1$, веднага получаваме формулата за сбор на първите $n$ члена на геометрична прогресия:

$(4)S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{(1-q)}.$

В частност при $q=1$ имаме $(5)S_n=a_1+a_2+\dots +a_n=\underset{n}{\underbrace{a_1+a_1+\dots +a_1}}=n{a}_1.$

При $\left|q\right|<1$ прогресията е намаляваща и нейната $n$-та (частична, парциална) сума се дава с (4). Ако имаме още, че $n\to \mathrm{\infty }$, то е изпълнено $q^n\to 0$ и тогава под сума на прогресията се разбира границата

$(6)\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}.$

Равенството (6) е известно като сума на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Произведение на геометричната прогресия

Произведението на първите $n$ члена на геометрична прогресия е

$p_n=a_1{a}_2{a}_3\cdot \cdot \cdot a_n=\prod _{k=1}^n{a}_k=a_1\cdot a_{1}q\cdot a_1{q}^2\cdots a_1{q}^{n-1}.$

Оттук лесно получаваме, че $p_n=a_1^n{q}^{1+2+3+\cdot \cdot \cdot +n-1}$.

Сумата в степенния показател на $q$ е всъщност сума на аритметична прогресия с първи член $b_1=1$, разлика $d=1$ и последен член $b_{n-1}=n-1$ и е числено равна на $\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n^2-n}{2}.$ Така произведението на първите $n$ члена на геометрична прогресия (за която предполагаме, че са изпълнени условията $a_1\ne 0,q\ne 0$) се дава с формулата

$(7)p_n=a_1^n{q}^{\frac{n^2-n}{2}}.$

Вижте също

• Аритметична прогресия
• Томас Малтус