Нютонов бином

Шаблон:Без източници Биномната теорема е математическа теорема за разлагането на двучлен, повдигнат на степен.

Опростената форма на теоремата за естествени стойности на степента е:

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^{n-k}$

където n е естествено число и

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

са биномните коефициенти, а $n!$ е факториел на n.

Тази формула обикновено е приписвана на Блез Паскал, който я описва през 17 век. Всъщност тя е известна още на китайския математик Ян Хуй през 13 век, на иранския математик Омар Хаям през 11 век и дори на индийския математик Пингала през 3 век пр.н.е. Исак Нютон прави важно обобщение на формулата за произволна степен:

$(x+y{)}^r=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})x^k{y}^{r-k}$

където r е произволно комплексно число и коефициентите се получават с

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})=\frac{1}{k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n),$

като по определение k! е факториелът на k, и 0! = 1.

Формули за съкратено умножение

Формулите за съкратено умножение са биноми повдигнати на дадена степен като тяхното решаване става по посочените горе математически формули.

Формула от вида (а+b)⁵

Директно решение: (a+b)⁵=(a+b)³.(a+b)²= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³).(a² + 2ab + b²)= a⁵ + 2a⁴b + a³b² + 3a⁴b + 6a³b² + 3a³b³ + 3a³b² + 6a²b³ +3ab⁴ + a²b³ + 2ab⁴ + b⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ +5ab⁴ + b⁵.

Решение с използването на Нютоновия бином:

$(a+b{)}^5=\sum _{i=0}^5(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{i})a^i{b}^{5-i}=$

$=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0})a^0{b}^{5-0}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1})a^1{b}^{5-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})a^2{b}^{5-2}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})a^3{b}^{5-3}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})a^4{b}^{5-4}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5})a^5{b}^{5-5}=$

$=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

т.е. същата формула, но по много по-лесен начин.

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ е комбинация на k между n елемента, т.е. $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, например, $(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})=\frac{5!}{3!2!}=10$