Теорема на Тейлър

Шаблон:Без източници Теоремата на Тейлър е теорема от математическия анализ. Кръстена е на английския математик Брук Тейлър. Теоремата дава апроксимация на функция в околност на точка чрез многочлен, чиито коефициенти зависят само от производните на функцията в тази точка. Без да дава формално описание на теоремата, астрономът Джеймс Грегъри я използва в трудовете си 41 години по-рано, така че заслугата за откриването ѝ може да бъде дадена на него.

Теоремата за един параметър

Най-простият пример за теоремата е апроксимацията на експоненциалната функция e^x когато х клони към 0. А именно

${\text{e}}^x\approx 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}.$

Формалното изказване на тази теорема е: Ако n ≥ 0 е цяло число и f е функция n пъти диференцируема в отворения интервал (a, x), тогава

$f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+R_n$

където R_n е остатъчен член, зависещ от x, който клони към 0, когато x клони към a.

Остатъчния член може да се представи в няколко форми.

• При формата на Лагранж се твърди, че съществува число ξ между a и x, такова че

$R_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}.$

Така се вижда, че теоремата на Тейлър е следствие на теоремата за крайните нараствания (и точно теоремата за крайните нараствания се използва за доказването на Тейлър с остатъчен член във вид на Лагранж)

• Друга форма за остатъчния член е форма на Коши

$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{n!}(x-\xi {)}^n(1-\theta {)}^n$ където $\xi =a+\theta .$

Тук той е следствие на фундаменталната теорема на анализа.

За някои функции може да се покаже че остатъчният член клони към 0, когато n клони към ∞. Те могат да се изразят с ред на Тейлър в околоност на a и се наричат аналитични функции.

• Трета форма е формата на Пеано:

$R_n=o(|x-x_0{|}^n)$, където x клони към x₀, а o е така наречената, нотация на малкото о

• Четвъртата форма за остатъчния член е интегралната форма. За комплексни функции, диференцируеми в окръжност C около a изразът

$R_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}(z-x)}dz$

важи в C

Теоремата за няколко параметъра

Теоремата на Тейлър може да бъде генерализирана за няколко параметъра по следния начин. Нека Б e многообразие от тип сфера около точка a, в N-мерното пространство, а f е функция с реални стойности, дефинирана в отворената околност $\overline{B}$ и имаща n+1 частни производни във всяка точка. Теоремата твърди, че за всяко $x_i\in B$,

$f(x)=\sum _{|\alpha |=0}^n\frac{D^{\alpha }f(a)}{\alpha !}(x-a{)}^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=n+1}{R}_{\alpha }(x)(x-a{)}^{\alpha }$

където сумата е за мултииндекса α.

Остатъчният член трябва да задоволява неравенството

$|R_{\alpha }(x)|\le \underset{y\in \overline{B}}{\sup }\left|\frac{D^{\alpha }f(y)}{\alpha !}\right|$

за всички α където |α|=n+1.