Триъгълник

Шаблон:Към пояснение Триъ̀гълникът е една от основните фигури в геометрията. Представлява двуизмерна фигура, многоъгълник с три страни и три ъгъла. Може да се дефинира и като част от равнината, ограничена от три точки, нележащи на една права, и трите отсечки, съединяващи тези точки. Триъгълникът няма диагонали, защото всеки връх е съседен на другите два.

Диаграма на Ойлер за видовете триъгълници.

Основни елементи и съотношения

Основните понятия, свързани с триъгълниците, са представени от Евклид в книги 1 – 4 от „Елементи“ около 300 г. пр. н. е.

Основните елементи на триъгълника са върховете, страните и ъглите. Стандартните им означения в произволен триъгълник са дадени на чертежа вляво.

Триъгълник със стандартни означения

Върховете на триъгълника ABC са три точки $A,B$ и $C$, които не лежат на една права линия и ограничават триъгълника. Те определят равнината, в която лежи триъгълникът. Триъгълник с върхове $A$, $B$ и $C$ се означава като $\mathrm{\Delta }ABC$.

Страните са отсечките, свързващи върховете:
$BC=a$, $AC=bB$ и $AB=c$.

Дължината на всяка страна н триъгълника е по-малка от сумата на дължините на другите две страни и по-голяма от тяхната разлика. За страните на всеки триъгълник са изпълнени неравенствата: Шаблон:Колони Шаблон:Колони Периметър на триъгълника е сумата от дължините на трите му страни: $P=AB+BC+AC$.

Половината от тази стойност се нарича полупериметър: $p=\frac{a+b+c}{2}$.

Ъглите на триъгълника са вътрешни и външни. Вътрешните ъгли са заключени между страните на триъгълника, а външните са съседни ъгли на вътрешните и ги допълват до 180°. Ако вътрешният ъгъл при даден връх на триъгълник е образуван от две страни, излизащи от този връх, тогава външният ъгъл на триъгълника се образува от едната страна, излизаща от този връх, и продължението на другата страна, излизащо от същия връх.

Външен ъгъл $DCA$ на $\mathrm{\Delta }ABC$
при върха $C$.

На чертежа вдясно външен ъгъл $DCA$ на плоския триъгълник $ABC$ при върха $C$ е ъгълът, съседен на вътрешния ъгъл $ACB$ на триъгълника при този връх. Ако не е уточнено, под ъгли на триъгълника се разбират вътрешните ъгли. На чертежа вляво те са означени с гръцките букви алфа, бета и гама или с едноименните върхове:

• ъгъл $BAC:$ $\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }A=\alpha$,
• ъгъл $CBA:$ $\mathrm{\angle }CBA=\mathrm{\angle }B=\beta$,
• ъгъл $ACB:$ $\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }C=\gamma$.

Теорема за сумата от ъглите на триъгълника

Сумата от ъглите на триъгълника е 180°

Сумата от вътрешните ъгли на всеки триъгълник винаги е равна на 180°: $\alpha +\beta +\gamma =180$°.

Доказва се чрез прекарване през върха на ъгъла на права, успоредна на срещулежащата страна $CL\Vert BA$. $\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }MCL$ като съответни ъгли, а $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }LCA$ като кръстни ъгли. Следователно за $\mathrm{\Delta }ABC$ $\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }MCL+\mathrm{\angle }LCA+\mathrm{\angle }ACB=180$°.

Всeки три ъгъла, чиито сбор е 180°, могат да бъдат вътрешни ъгли на триъгълник. Безкрайно много триъгълници имат еднакви ъгли, тъй като определянето на ъглите на триъгълник не определя неговия размер. Условията за три ъгъла α, β и γ, всеки от които e между 0° и 180°, да бъдат ъгли на триъгълник, могат да бъдат формулирани и с помощта на тригонометрични функции. Например, триъгълник с ъгли α, β и γ съществува тогава и само тогава, когато $${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma +2\cos (\alpha )\cos (\beta )\cos (\gamma )=1.$$

Вътрешният и външният ъгъл могат да приемат стойности от $0$ до $180$°, изключвайки тези стойности:

$0<\alpha ,\beta ,\gamma <180$°.

Синусова и косинусова теореми

Шаблон:Основна Синусова теорема:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R,$

където $R$ е радиусът на описаната около триъгълника окръжност. Синусовата теорема може да се използва, за да бъдат намерени другите две страни на триъгълник, ако са известни една страна и два прилежащи ъгъла. Чрез нея може да се определи и сключеният ъгъл между двете известни страни, ако се знае един от другите два ъгъла.

Шаблон:Основна Косинусова теорема:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma .$

В този си вид тя е валидна за всички триъгълници (не само за правоъгълните). С нея могат да бъдат намерени всички страни и ъгли в един триъгълник, ако са известни три от страните или две от тях и ъгъла, сключен помежду им.

Видове триъгълници

В зависимост от дължините на страните си триъгълникът може да бъде:

• Разностранен триъгълник – всичките му страни са с различни дължини и има три различни ъгъла.
• Равнобедрен триъгълник – дължините на две от страните, наречени бедра, са равни, а третата се нарича основа; ъглите при основата са равни.
• Равностранен триъгълник – дължините на трите страни са равни; ъглите също са равни и всеки от тях е 60°.

Разностранен триъгълник

Равностранен триъгълник

Равнобедрен триъгълник

Според големината на най-големия си вътрешен ъгъл, триъгълникът може да бъде:

• Остроъгълен триъгълник е този триъгълник, при който всички вътрешни ъгли са по-малки от 90° (остри ъгли).
• Правоъгълен триъгълник е този триъгълник, който има ъгъл от 90° (прав ъгъл). Страната, срещулежаща на правия ъгъл, се нарича хипотенуза и е най-дългата страна в правоъгълния триъгълник. Сборът от ъглите при хипотенузата е 90°. Другите две страни се наричат катети.
• Тъпоъгълен триъгълник е този триъгълник, който има вътрешен ъгъл, по-голям от 90°. Сборът на другите два ъгъла е по-малък от 90°.

Остроъгълен триъгълник	Правоъгълен триъгълник	Тъпоъгълен триъгълник

Сходства на триъгълници

Еднаквост

Два триъгълника са еднакви, ако съответните им страни (С) и ъгли (Ъ) са равни. Има четири признака за еднаквост на триъгълници:

Втори признак за еднаквост на триъгълници: триъгълник ABC е еднакъв с триъгълник A'B'C', ако: ъгъл CAB е равен на ъгъл C'A'B', ъгъл ABC е равен на ъгъл A'B'C', а BC е равна на B'C'. Щриховките показват равенствата на ъглите и страните.

1. Ако две страни и ъгъл заключен между тях на един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъла заключен между тях от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви
(по първи признак – СЪС = С'Ъ'С' ).

2. Ако два ъгъла и страна на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла и страна на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви (по втори признак – ЪСЪ = Ъ'С'Ъ' , ЪЪС = Ъ'Ъ'С' ).

3. Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви
(по трети признак – ССС = С'С'С' ).

4. Ако две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях в един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях в друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви
(по четвърти признак – СсЪ = С'с'Ъ' ).

Съществува един често срещан частен случай на четвъртия признак:

Ако катет (К) и хипотенуза (Х) в триъгълник са съответно равни на катет и хипотенуза в друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви (по следствие от четвърти признак КХ=К'Х'; третият елемент е правият ъгъл.)

Подобие

Два триъгълника са подобни, ако ъглите на единия са равни на ъглите на другия и страните, които съединяват върховете на равните ъгли, са пропорционални. Означава се $\mathrm{\Delta }ABC$ ~ $\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Има три признака за подобни триъгълници:

1. Ако два ъгъла от един триъгълник са равни на два ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.

2. Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тези страни, са равни, то триъгълниците са подобни.

3. Ако страните на един триъгълник са пропорционални на страните на друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.

Точки, прави и окръжности

• Височини в триъгълника са перпендикулярите, спуснати от върховете на триъгълника към срещуположните страни. Трите височини на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. Ортоцентърът лежи вътре в триъгълника, само ако той не е тъпоъгълен. В противен случай ортоцентърът се намира извън триъгълника.

Пресечната точка на височините се нарича ортоцентър

Дължината на височината $h_c$, спусната към страната $c$, може да се намери по формулите:

$h_c=b\sin \alpha =a\sin \beta =c\frac{\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}$; Шаблон:Nbsp
за другите височини е аналогично:

$h_a=b\sin \gamma =c\sin \beta =a\frac{\sin \beta \cdot \sin \gamma }{\sin (\beta +\gamma )}$; Шаблон:Nbsp

$h_b=c\sin \alpha =a\sin \gamma =b\frac{\sin \alpha \cdot \sin \gamma }{\sin (\alpha +\gamma )}$. Шаблон:Nbsp

Дължините на височините, спуснати към страните, могат да бъдат намерени също с формулите Шаблон:Rp:

$h_c=\frac{ab}{2R},h_a=\frac{bc}{2R},h_b=\frac{ca}{2R}$,

където $R$ е радиусът на описаната окръжност около триъгълника.

Център на описаната окръжност

• Описана окръжност около триъгълник се нарича тази окръжност, която минава и през трите му върха.
• Симетрали в триъгълник са правите линии, които са перпендикулярни на страните и минават през средите им. Трите симетрали се пресичат в точка, която е и център на описаната около триъгълника окръжност. Диаметърът на тази окръжност може да бъде намерен, като се използва синусовата теорема.
• Теоремата на Талес гласи, че ако центърът на окръжността, описана около един триъгълник, лежи на една от страните на триъгълника, то срещуположният ъгъл на триъгълника е прав.

Правоъгълен, тъпоъгълен и остроъгълен триъгълник, и описаните около тях окръжности

Също така, ако центърът на описаната около триъгълника окръжност се намира във вътрешността на триъгълника, то триъгълникът е остроъгълен, а ако центърът е извън триъгълника, то триъгълникът е тъпоъгълен. Шаблон:-

• Ъглополовящи или бисектриси в един триъгълник са тези прави, които минават през върховете на ъглите, като ги разполовяват. Пресечната точка на трите ъглополовящи е център на вписаната окръжност в триъгълника (инцентър). Вписана е тази окръжност, за която страните на описания около нея триъгълник са допирателни.

Пресечната точка на ъглополовящите е център на вписаната в триъгълника окръжност

Ако триъгълникът е разностранен (не равнобедрен), тогава ъглополовящата, изтеглена от всеки връх, се намира между медианата и височината, изтеглена от същия връх. Друго важно свойство на ъглополовящата е, че тя разделя противоположната страна на части, пропорционални на съседните страни.Шаблон:Sfn

Дължината на ъглополовящата $l_c$, спусната върху страната $c$, може да се намери с помощта на една от формулите:

$l_c=\frac{\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}=\frac{2\sqrt{abp(p-c)}}{a+b},$
където $p$ е полупериметърът.

Триъгълник АВС и неговите окръжности: вписана, описана и три външно вписани

$l_c=\frac{2ab\cos \frac{\gamma }{2}}{a+b}=\frac{c\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )\cdot \cos \frac{\alpha -\beta }{2}}$.

$l_c=\frac{h_c}{\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}$; Шаблон:Nbspтук $h_c$ е височина.

Формулите за останалите ъглополовящи са аналогични.

Триъгълниците имат и три външно вписани окръжности, които лежат извън триъгълника и се допират до рамената на външните ъгли на триъгълника. Центровете на вътрешно вписаната и външно вписаните окръжности формират ортоцентричната система на триъгълника.

Следващите формули позволяват да се изчислят радиусите на описаната $R$ и вписаната $r$ окръжности:

$r=\frac{S}{p},$ където $S$ е лицето (площта) на триъгълника,
$p$ – неговият полупериметър;

$r=\sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}};$

$r=\frac{2R\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma }=4R\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2};$

$R=\frac{a}{2\sin \alpha }=\frac{b}{2\sin \beta }=\frac{c}{2\sin \gamma };$

$R=\frac{abc}{4S}=\frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}=\frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}};$

$R=\frac{r(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )}{2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }=\frac{r}{4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}};$

$\frac{1}{r}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c},$ где $r_a,r_b,r_c$ – радиуси на съответните външно вписани окръжности.

Радиусът на описаната окръжност около правилен (равностранен) триъгълник със страна $a$ е:

$R=\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)}=\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Още две полезни съотношения:

$\frac{r}{R}=\frac{4S^2}{pabc}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1$;

$2Rr=\frac{abc}{a+b+c}.$

Съществува също формула на Карно:

$R+r=k_a+k_b+k_c=\frac{1}{2}(d_A+d_B+d_C),$

където $k_a,$ $k_b,$ $k_c$ са разстояния от центъра на описаната окръжност съответно до страните $a,$ $b,$ $c$ на триъгълника,

$d_A,$ $d_B,$ $d_C$ – разстояния от ортоцентъра съответно до върховете $A,$ $B,$ $C$ на триъгълника.

Разстоянието от центъра на описаната окръжност, например до страната $a$ на триъгълника е

$k_a=a/(2\mathrm{tg}A);$

разстоянието от ортоцентъра, например до върха $A$ на триъгълника е

$d_A=a/\mathrm{tg}A.$

• Медиани в триъгълника са правите, които минават през върховете и средите на срещулежащите им страни. Трите медиани се пресичат в една точка, която се нарича медицентър на триъгълника.

Медицентърът е центърът на тежестта

Известна е още като центроид или център на тежестта на триъгълника. Медицентърът разделя всяка медиана в отношение 2:1, тоест разстоянието от върха до медицентъра е два пъти по-голямо от разстоянието от медицентъра до средата на срещулежащата страна.
Дължините на медианите на страните $a$, $b$ и $c$ се определят по формулите:

$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^2{+}^{a}2+2bc\cos \alpha };$

$m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2+2ac\cos \beta };$

$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos \gamma }.$

Триъгълник с върхове в средните точки на медианите му се нарича медиален или срединен триъгълник. Основите на медианите на този триъгълник образуват така наречения допълнителен триъгълник.

9-точкова окръжност на Ойлер

• Средите на трите страни и петите на трите височините лежат върху една окръжност – окръжността на деветте точки (окръжност на Ойлер). Останалите три точки са среди на отсечките от височините, които са заключени между върховете и ортоцентъра. Радиусът на тази окръжност е половината от радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

Права на Ойлер (червената линия)

• Медицентърът (в жълто), ортоцентърът (синьо), центърът на описаната окръжност (зелено) и центърът на 9-точковата окръжност (в червено) лежат на една права линия, известна като права на Ойлер (червената линия). Центърът на 9-точковата окръжност е средата на отсечката, свързваща ортоцентъра и центъра на описаната окръжност. Разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност е равно на половината от разстоянието между медицентъра и ортоцентъра. Центърът на вписаната окръжност не лежи на тази права.

• Средна отсечка на триъгълник е отсечка, съединяваща средите на две от неговите страни. Нейната дължина е равна на 1/2 от дължината на срещулежащата страна на триъгълника. Средната отсечка е успоредна на срещулежащата страна.

• Средни отсечки на триъгълник
• 
  Остроъгълен разностранен
• 
  Равностранен
• 
  Правоъгълен разностранен
• 
  Правоъгълен равнобедрен

Лице на триъгълник

Изчисляването на лицето на триъгълник може да стане по няколко начина:

• Геометрично:

Лицето $S$ на триъгълник е равно на полупроизведението на дължината на която и да е негова страна и височината, спусната към нея.

$S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c$ За да се намери лицето на триъгълника (зелено), първо се прави точно негово копие (синьо), което се завърта на $180^{\circ }$, и то се долепва до първия триъгълник, за да се получи успоредник. След това се отрязва излишната част и се долепва от другата страна на успоредника, за да получим правоъгълник. Тъй като лицето на правоъгълника е $bh$, то лицето на триъгълника е $\frac{1}{2}bh$.

Оранжевите триъгълници Шаблон:Math имат равни основа Шаблон:Mvar и площ. Местоположението на върха им Шаблон:Mvar е на зелената линия Шаблон:Mvar, успоредна на основата.

Тъй като съотношенията между площите на фигури в една и съща равнина се запазват чрез афинни преобразования, относителните площи на триъгълниците във всяка афинна равнина могат да бъдат дефинирани без позоваване на понятието за разстояние или квадрати. Във всяко афинно пространство (включително Евклидови равнини), всеки триъгълник с еднаква основа и ориентирана площ има своя трети връх на линия, успоредна на основата, а общата им площ е половината от тази на успоредник със същата основа, чиято противоположна страна лежи на успоредната линия. Този афинен подход е разработен в книга 1 от „Начала“ на Евклид.Шаблон:Sfn Това е евклидовата версия на теоремата на Лексел от сферичната геометрия. Шаблон:-

• Тригонометрично:

Височината на триъгълника може да бъде намерена с помощта на тригонометрични функции. Ако се използват означенията на чертежа вдясно, височината е $h=a\sin \gamma$. Замествайки $h$ във формулата $S=\frac{1}{2}bh$, лицето на триъгълника може да бъде изразено като $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$. Аналогично $S=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$ и $S=\frac{1}{2}ac\sin \beta$.

• Векторно:

Лице на триъгълник с вектори

Лицето на успоредника $ABCD$ може да бъде представено с помощта на векторното произведение $\Vert 𝐀𝐁\times 𝐀𝐂\Vert$. Понеже лицето на триъгълника $ABC$ е половината от това на успоредника, то $S=\frac{1}{2}\Vert 𝐀𝐁\times 𝐀𝐂\Vert$.
Аналогично $S=\frac{1}{2}\Vert 𝐁𝐂\times 𝐁𝐀\Vert$ и $S=\frac{1}{2}\Vert 𝐂𝐁\times 𝐂𝐀\Vert$

• С помощта на координатна система:

Нека върховете на триъгълникът са зададени с координатите си $A=(x_1,y_1)$, $B=(x_2,y_2)$ и $C=(x_3,y_3)$. Тогава лицето му може да бъде пресметнато по следния начин:

$S=\frac{1}{2}\left|\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right)\right|$
или
$$\begin{array}{cc}S& =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ y_1& y_2\end{array}\right|+\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}{x}_2& x_3\\ y_2& y_3\end{array}\right|+\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}{x}_3& x_1\\ y_3& y_1\end{array}\right|\\ & =\frac{1}{2}(x_1{y}_2-x_2{y}_1+x_2{y}_3-x_3{y}_2+x_3{y}_1-x_1{y}_3).\end{array}$$

Ако върхът $A=(0,0)$ е в началото на координатната система, тогава:

$S=\frac{1}{2}\left|\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right)\right|$

или

$S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$

• Херонова формула:

Нека $a$, $b$ и $c$ са страните на триъгълника, а $p$ е полупериметърът му. Тогава лицето на триъгълника е:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Формулата на Херон е числово нестабилна за триъгълници с много малък ъгъл. Една стабилна алтернатива включва подреждане на дължините на страните така, че a ≥ b ≥ c и изчислението

$S=1/4\sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}$.

Скобите в горната формула са необходими, за да се предотврати числена нестабилност в оценката.

Изроден триъгълник

Трите вида изродени триъгълници, които имат нулева площ.

Изроденият триъгълник е „линеен“ или „точков“ триъгълник в смисъл, че се съдържа в отсечка или точка. Следователно той има колинеарни върхове и нулева площ. Ако трите върха са различни, той има два ъгъла от 0° и един ъгъл от 180°. Ако два върха са равни, той има един ъгъл от 0° и два неопределени ъгъла. Ако и трите върха са равни, и трите ъгъла са неопределени. Сумата от дължините на две страни може да е равна на дължината на третата страна само в случай на изроден триъгълник.

Триъгълници в неевклидови геометрии

Ако всеки четири от елементите на триъгълник (върхове и/или елементи от страните му) са в една равнина един спрямо друг, триъгълникът се нарича „равнинен“. Ако триъгълникът не лежи изцяло в една равнина, то за него важат формулите на т. нар. неевклидова геометрия, а не на посочените по-горе. Например въображаем триъгълник върху земната повърхност с върхове върху екватора на 0° и 90° дължина, и Северния полюс, които вместо върху равнина са върху сфера. И трите ъгъла са прави и сборът им не е 180°.

Сферичен триъгълник

Хиперболичен триъгълник на седловидна повърхност

Неевклидовите геометрии изучават неравнинни триъгълници, като сферични триъгълници в сферична геометрия и хиперболични триъгълници в хиперболична геометрия (геометрия на Лобачевски). В хиперболичната геометрия сумата от ъглите на всеки триъгълник винаги е по-малка от 180°, а в сферичната геометрия винаги е по-голяма от 180°. В сферичната и хиперболична геометрии триъгълниците са еднакви, ако са равни трите им ъгъла.

Аналози

• Тетраедър
• Пентахрон

Вижте също

• Планиметрия
• Тригонометрични тъждества
• Тригонометрия
• Енциклопедия на центровете на триъгълника
• Тригонометрични тъждества

Литература

На руски език

• Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть 1: Планиметрия. Изд. 4-е, М.: Учпедгиз, 1957. 608 с.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
• Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0.

На английски език

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book Dover reprint, 1956.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book

На френски език

• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)
• Marshall Clagett, Ancient Egyptian Science, A Source Book, vol. 3 : Ancient Egyptian Mathematics, American Philosophical Society, 1999.

На немски език

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 71–91, 108–135, 143–197.
• Joseph von Radowitz: Die Formeln der Geometrie und Trigonometrie. Ferdinand Dümmler, Berlin 1827 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

На грузински език

• ქართული საბჭოთა ენციკლოპედია, ტ. 9, თბ., 1985. — გვ. 17.
• გ. გოგიშვილი, თ. ვეფხვაძე, ი. მებონია, ლ. ქურჩიშვილი – გეომეტრია (მეცხრე კლასის სახელმძღვანელო). თბილისი, „ინტელექტი“ 2004.
• ბ. ღვაბერიძე, ფ. დვალიშვილი, ალ. მოსიძე, კ. გელაშვილი, გ. სირბილაძე – მათემატიკა: გეომეტრია.
• ა. პოგორელოვი — გემოეტრია 7–11. მეექვსე გამოცემა. გამომცემლობა „განათლება“, თბილისი 1995.
• ს. თოფურია, გ. აბესაძე, გ. ოზბეგაშვილი, ვ. ხოჭოლავა, ზ. მეტრეველი - მათემატიკა, II ნაწილი. გეომეტრია (თეორია და ამოცანათა კრებული). მესამე გამოცემა. გამომცემლობა „განათლება“, თბილისი 1991.