Аркуссинус

Шаблон:Без източници Аркуссинус е математическа функция, която се определя като обратна на функцията синус в интервала $[-\pi /2,\pi /2]$.

Графика, изобразяваща функцията $f(x)=\arcsin (x)$

Формули

$\arcsin (\sin (x))=x$

$\arcsin (x)=\arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$

$\arcsin (x)=\frac{1}{2}\arccos (1-2x^2)\text{,}0\le x\le 1$

Производни

$\frac{d}{dx}\arcsin (ax+b)=\frac{a}{\sqrt{1-(ax+b{)}^2}}$

За $a=1$ и $b=0$:

$\frac{d}{dx}\arcsin (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Стойности

• $\arcsin (-1)=-\frac{\pi }{2}$

• $\arcsin (-\frac{1}{2}\sqrt{2})=-\frac{1}{4}\pi$

• $\arcsin (0)=0$

• $\arcsin \left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)=\frac{1}{4}\pi$

• $\arcsin (1)=\frac{\pi }{2}$

Интеграли

${\int }_0^x\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin (x)$

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{m^2-x^2}}=\arcsin \left(\frac{x}{m}\right)+C$

$\int \arcsin (mx)\mathrm{d}x=\frac{mx\arcsin (mx)+\sqrt{1-m^2{x}^2}}{m}+C$

Редове

Нека разгледаме следния интеграл:

$ℐ={\int }_0^x\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}}$

От биномната теорема получаваме:

$ℐ={\int }_0^x\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k)!t^{2k}\mathrm{d}t}{2^{2k}(k!{)}^2}$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!{)}^2}{\int }_0^x{t}^{2k}\mathrm{d}t$

Освен това знаем, че:

$ℐ={\int }_0^x\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin (x)$

Следователно:

$\arcsin (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!{)}^2}{\int }_0^x{t}^{2k}\mathrm{d}t$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!{)}^2}\frac{t^{2k+1}}{2k+1}{|}_0^x$

Откъдето вече лесно се вижда, че:

$\begin{array}{c}\arcsin (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k)!x^{2k+1}}{2^{2k}(k!{)}^2(2k+1)}\text{,}-1\le x\le 1\end{array}$

$=x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{40}{x}^5+\frac{5}{112}{x}^7+\cdots$

Вижте също

• Аркускосинус