Числа на Бернули

B_{0} = 1

B_{1} = - \frac{1}{2}

B_{2} = \frac{1}{6}

B_{3} = 0

B_{4} = - \frac{1}{30}

B_{5} = 0

B_{6} = \frac{1}{42}

B_{7} = 0

B_{8} = - \frac{1}{30}

B_{9} = 0

B_{10} = \frac{5}{66}

B_{11} = 0

B_{12} = - \frac{691}{2730}

B_{13} = 0

B_{14} = 1 \frac{1}{6}

B_{15} = 0

B_{16} = - 7 \frac{47}{510}

B_{17} = 0

B_{18} = 54 \frac{775}{798}

B_{19} = 0

B_{20} = - 529 \frac{41}{330}

Числата на Бернули представляват редица от рационални числа $B_{0}, B_{1}, B_{2}, \dots$ , открита от Якоб Бернули във връзка с изчислението на сумата на последователните естествени числа, вдигнати на една и съща степен:

\sum_{n = 0}^{N - 1} n^{k} = \frac{1}{k + 1} \sum_{s = 0}^{k} (\binom{k + 1}{s}) B_{s} N^{k + 1 - s},

където $(\binom{k + 1}{s}) = \frac{(k + 1)!}{s! \cdot (k + 1 - s)!}$ е биномен коефициент.

Рекурсивна формула

За числата на Бернули съществува следната рекурсивна формула:

B_{0} = 1,

B_{n} = \frac{- 1}{n + 1} \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k + 1}) B_{n - k}, n \in ℕ .

Всички нечетни числа на Бернули, с изключение на $B_{1}$ , са равни на нула, а знаците на четните числа се редуват.
Числата на Бернули се използват като променливи в полиномите на Бернули. $B_{n} (x)$ при $x = 0$ :

B_{n} = B_{n} (0) .

Числата на Бернули често служат като коефициенти за разлагане на елементарни функции в степенни редове:
- $\frac{x}{e^{x} - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{B_{n}}{n!} x^{n}, | x | < 2 π$ ,
- $x ctg x = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} B_{2 n} \frac{2^{2 n}}{(2 n)!} x^{2 n}, | x | < π$ ,
- $tg x = \sum_{n = 1}^{\infty} | B_{2 n} | \frac{2^{2 n} (2^{2 n} - 1)}{(2 n)!} x^{2 n - 1}, | x | < π / 2$ .
Ойлер установява връзка между числата на Бернули и променливите в Дзета-функцията на Риман ζ(s) за четни s = 2k:

B_{2 k} = 2 (- 1)^{k + 1} \frac{ζ (2 k) (2 k)!}{(2 π)^{2 k}} .

Също така:

B_{n} = - n ζ (1 - n)

за всички естествени числа n, по-големи от 1.

$\int_{0}^{\infty} \frac{x^{2 n - 1} d x}{e^{2 π x} - 1} = \frac{1}{4 n} | B_{2 n} |, n = 1, 2, \dots .$