Обикновено диференциално уравнение

Обикновено диференциално уравнение (ОДУ) е диференциално уравнение, съдържащо една или повече функции на независима променлива и производните на тези функции.Уравнение от вида $F(x,y,y^{\text{'}},\mathrm{...},y^{(n)})=0$, където $x$ е независима променлива, $y$ е неизвестна функция, а $y^{\text{'}},\mathrm{...},y^{(n)}$ са нейните производни до ред $n$, се нарича обикновено диференциално уравнение (ОДУ) от $n$-ти ред. Определението „обикновено“ се използва в контраст с термина частно диференциално уравнение, което може да се решава спрямо повече от една независима променлива.

Хомогенни диференциални уравнения

Важна роля в приложните научни дисциплини играят диференциалните уравнения от типа:

$a_0\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+a_1\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+\mathrm{...}+a_{n-1}\frac{dy}{dx}+a_n.y=b$,

където $a$ и $b$ могат да са функции на $x$ или константи.

За удобство при решаването на това интегрално уравнение $n$-тата производна спрямо $x$ се обозначава с $D^n$.

Ползвайки този оператор $D$ горното диференциално уравнение може да се запише като:

$a_0{D}^{n}y+a_1{D}^{n-1}y+\mathrm{...}+a_{n-1}Dy+a_{n}y=b.$

Ако $b=0$, горното линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно. Ако $b\ne 0$, уравнението се нарича нехомогенно.

Решение на хомогенни диференциални уравнения от втори ред

$a\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+b\frac{dy}{dx}+cy=0$

При решението на диференциални уравнения от втори и по-висок ред ползваме оператора D – имащ значение на диференциране спрямо х.

Да поясним какво е значението на този оператор:

$Dy=dy/dx$

$(D+1)y=dy/dx+y$

$(D-2)(D+1)y=(D-2)(dy/dx+y)=d^{2}y/d{x}^2+dy/dx-2dy/dx-2y=D^{2}y-Dy-2y$

$(D-2)(D+1)y=(D^2-D-2)y$

Забележете че $D$ има смисъл на математическа операция, а не на променлива, и че с $D$ можем да извършваме прости математически операции като събиране, изваждане и умножение. Тук няма да доказваме свойствата на този оператор. Чрез използването на този оператор решението на диференциалното уравнение се свежда до намиране на първа производна на функция и до събиране със същата функция.

Диференциалното уравнение от втори ред добива следния вид: $a{D}^{2}y+bDy+cy=0$ =>$(a{D}^2+bD+c)y=0.$

Решаваме горното квадратно уравнение и получаваме: $𝐚\mathbf{(}𝐃\mathbf{-}{𝐲}_{\mathrm{𝟏}}\mathbf{)}\mathbf{(}𝐃\mathbf{-}{𝐲}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{)}𝐲\mathbf{=}\mathrm{𝟎}.$

Полагаме

$z=(D-y_2)y$, където $(D-y_2)y$ е функция на х.

Тогава цялото диференциално уравнение се свежда до:

$(D-y_1)z=0$

$\frac{dz}{dx}-y_1.z=0$

Това уравнение се решава лесно чрез разделяне на променливите:

$\frac{dz}{dx}=y_1.z$

$\frac{dz}{z}-y_1.dx=0$

$ln\frac{z}{C_1}=y_1.x$

$z=C_1.e^{y_1.x}$

Заместваме полученият резултат за z в

$(D-y_2)y=C_1.e^{y_1.x}$

Това е линейно диференциално уравнение от първи ред.

$dy-y_2.y.dx=C_1.e^{y_1.x}.dx$

$y^{\prime }-y_2.y=C_1.e^{y_1.x}$

$(y.e^{-y_2.x}{)}^{\prime }=y^{\prime }{e}^{-y_2.x}-y.e^{-y_2.x}.y_2=e^{-y_2.x}.(y^{\prime }-y_2.y)$

$y^{\prime }-y_2.y=(y.e^{-y_2.x}{)}^{\prime }.e^{y_2.x}=C_1.e^{y_1.x}$

$(y.e^{-y_2.x}{)}^{\prime }=C_1.e^{y_1.x}.e^{-y_2.x}=C_1.e^{(y_1-y_2).x}$

интегрираме и получаваме следното решение:

$y.e^{-y_2.x}=\int C_1.e^{(y_1-y_2).x}dx+C_2$

Преобразуваме:

$y=e^{y_2.x}.\int C_1.e^{(y_1-y_2).x}dx+C_2.e^{y_2.x}$

Когато $y_1$ и $y_2$ са реални числа, решението за функцията $y$ е:

$y=c_1{e}^{y_1.x}+c_2.e^{y_2.x}$

Вижте също

• Методи на Рунге-Кута