Интегриране по части

Интегриране по части в диференциалното и интегрално смятане или най-вече в математическия анализ е един от методите на интегриране (или правилата), по които се решава даден интеграл.

Ако подинтегралната функция представлява произведение на две непрекъснати и диференцируеми функции, то тогава:

при неопределен интеграл:

$\int udv=uv-\int vdu$

при определен интеграл:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv=uv{|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$

Доказателство:

Нека $u(x)$ и $v(x)$ са две непрекъснати диференцируеми функции. Тогава:

$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)]=v(x)\frac{d}{dx}(u(x))+u(x)\frac{d}{dx}(v(x))$ (правило за произведенията)

Интегрираме двете страни на уравнението спрямо $x$,

$\int \frac{d}{dx}[u(x)v(x)]dx=\int v(x)u^{\prime }(x)dx+\int u(x)v^{\prime }(x)dx$

По Фундаменталната теорема на анализа получаваме, че:

$u(x)v(x)=\int v(x)u^{\prime }(x)dx+\int u(x)v^{\prime }(x)dx$

И след пренареждане се получава,

$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime }(x)dx\Rightarrow$

$\int udv=uv-\int vdu$

Външни препратки

• Integration by Parts - From MathWorld
• Tabular Integration by Parts
• Tabular Integration by Parts Demonstrated Шаблон:Webarchive