Вълново уравнение

Шаблон:Класическа електродинамика Вълновото уравнение във физиката представлява линейно хиперболично частно диференциално уравнение, определящо малки напречни колебания на тънка мембрана или струна, както и други колебателни явления в твърди среди и анализ на процесите в електромагнетизма. Шаблон:Multiple image Намира приложение и в други области на теоретичната физика, например при описанието на гравитационните вълни. Това е едно от основните уравнения в математическата физика. През 1746 г. Д'Аламбер открива едномерното вълново уравнение, а след десет години Ойлер открива триизмерното вълново уравнение.

Видове уравнения

В многомерния случай еднородното вълново уравнение се записва във вида:

$\mathrm{\Delta }u=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$,

където $\mathrm{\Delta }$ е оператор на Лаплас, $u=u(x,t)$ е неизвестната функция, $t\in ℝ$ е времето, $x\in {ℝ}^n$ е пространствената променлива, а $v$ е фазовата скорост.

В едномерния случай уравнението се записва във вида:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$.

Оператор на Д'Аламбер

Разликата $\mathrm{\Delta }-\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$ се нарича оператор на Д'Аламбер и се обозначава като $◻$ (въпреки че различните източници използват различни знаци). С използването на оператора на Д'Аламбер (Д'Аламбертиан) еднородното вълново уравнение се записва като:

$◻u=0$

Нееднородно уравнение

Нееднородното вълново уравнение се записва във вида:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=v^2\mathrm{\Delta }u+f$,

където $f=f(x,t)$ е дадена функция на външно въздействие (сила).

Стационарният вариант на вълновото уравнение е уравнението на Лаплас (уравнение на Поасон в нееднороден случай).

Задачата за намиране на нормални колебания в система, описана от вълнови уравнения, се привежда до задача на собствените значения на уравнението на Лаплас, тоест до намирането на решение на уравнението на Хелмхолц, което се намира чрез заместване:

$u(x,t)=v(x)e^{i\omega t}$ или $u(x,t)=v(x)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega t)$.

Вълнови уравнения за електромагнитното поле

Шаблон:Основна Електромагнитният потенциал на електромагнитното поле e 4-мерен вектор, който зависи от пространството $r$ и времето $t$ и съдържа електричния (скаларен) $\mathrm{C}\mathrm{(}𝐫,\mathrm{t}\mathrm{)}$ и магнитния (векторен) $𝐀\mathrm{(}𝐫,\mathrm{t}\mathrm{)}$ потенциали:

$\begin{array}{cc}𝐅\mathbf{(}𝐫,𝐭\mathbf{)}& =C(𝐫,𝐭\mathbf{)}\mathbf{+}𝐀\mathbf{(}𝐫,𝐭\mathbf{)}\mathbf{.}\end{array}$

Потенциалите са свързани с напрегнатостта на електрическото $𝐄$ и магнитното $𝐇$ полета. Магнитният потенциал е дефиниран така, че

$𝐇\mathbf{=}\mathrm{rot}𝐀$. (1)

Ако така определеният вектор на магнитното поле $𝐇$ се замести във второто уравнение на Максуел, след известни математически преобразования се получава следният израз за напрегнатостта на електричното поле:

$𝐄\mathbf{=}\mathbf{-}𝝁\frac{\partial 𝐀}{\partial t}\mathbf{-}\mathrm{grad}𝐂$. (2)

Ако в първото уравнение на Максуел се замести $𝐇$ с дясната част на уравнение (1), след някои преобразувания се получава уравнението на Даламбер за векторния потенциал:

${\mathrm{\nabla }}^2\times 𝐀-\epsilon \mu \frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}+{𝐉}_{𝐧𝐩}=0$. (3)

Следователно, за определяне на векторния потенциал $𝐀$ е необходимо да се реши диференциалното уравнение (3), ако е известен токът на проводимостта ${𝐉}_{𝐧𝐩}$.

Ако в третото уравнение на Максуел се замести $𝐄$ с дясната част на уравнение (2), след аналогични преобразувания се получава уравнението на Даламбер за скаларния потенциал:

${\mathrm{\nabla }}^2\cdot C-\epsilon \mu \frac{{\partial }^{2}C}{\partial t^2}+\frac{\rho }{\epsilon }=0$. (4)

Следователно, за определяне на скаларния потенциал $C$ е необходимо да се реши диференциалното уравнение (4), ако е известна обемната плътност на електричните заряди $\rho$.

Ако векторният потенциал $𝐀$, скаларният потенциал $C$ и плътността на обемните заряди $\rho$ се изменят много бавно, може да се приеме, че почти не зависят от времето и производните им спрямо времето са нули. Тогава уравненията (3) и (4) стават Поасонови уравнения:

${\mathrm{\nabla }}^2\times 𝐀+{𝐉}_{𝐧𝐩}=0$. (5)

${\mathrm{\nabla }}^2\cdot C+\frac{\rho }{\epsilon }=0$. (6)

В областта, където липсват свободни електрически заряди $\rho =0$ и диференциалното уравнение (4) приема вида:

${\mathrm{\nabla }}^2\cdot C-\epsilon \mu \frac{{\partial }^{2}C}{\partial t^2}=0$. (7)

Това диференциално уравнение е известно с името вълново уравнение за електричния потенциал.

Аналогично от равенство (3) при липса на ток на проводимост ${𝐉}_{𝐧𝐩}=0$ се получава вълновото уравнение за магнитния потенциал:

${\mathrm{\nabla }}^2\times 𝐀-\epsilon \mu \frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}=0$. (8)

Решения на вълновите уравнения

Съществува аналитично решение на хиперболичното уравнение в частни производни. В евклидово пространство с произволна размерност то се нарича формула на Кирхоф. Частни случаи: за колебания на струна (${ℝ}^1$) – формула на Д'Аламбер, за колебания на мембрана (${ℝ}^2$) – формула на Поасон.

Решенията на Поасоновите уравнения са както на диференциалните уравнения на Поасон в електростатиката:

$C=\frac{1}{4\pi \epsilon }{\int }_V\frac{\rho dV}{r}$

Решението на вълновото уравнениe е функция на аргумента $t-\frac{r}{v}$:

$C(t-\frac{r}{v})$,

където $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ е разстоянието от координатното начало до точката на наблюдение с координати $(x,y,z)$ и изразява модула на радиус-вектора между двете точки;
$c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$ e скоростта на светлината във вакуум с диелектрична и магнитна проницаемости ε₀ и μ₀. Така скаларният потенциал в електродинамиката се получава като решение на Поасоново уравнение във вида:

$C=\frac{1}{4\pi \epsilon }{\int }_V\frac{\rho (t-\frac{r}{v})dV}{r}.$

Аналогично е решението на Поасоновото уравнение за векторния потенциал:

$𝐀=\frac{1}{4\pi }{\int }_V\frac{{𝐉}_{𝐧𝐩}(t-\frac{r}{v})dV}{r}$.

Следователно решенията на уравненията са същите, както в електростатиката, но със закъснене по време $\frac{r}{v}$, необходимо за разпространение на вълнàта на разстояние $r$ със скорост $v$. Затова електродинамичните потенциали се наричат закъсняващи потенциали.

Формула на Д'Аламбер

Решение на едномерно вълново уравнение (тук $v=a$ е фазовата скорост):

$u_{tt}=a^2{u}_{xx}+f(x,t)$ (функцията $f(x,t)$ съответства на външна сила)

с начални условия

$u(x,0)=\phi (x),u_t(x,0)=\psi (x)$

има вида

$u(x,t)=\frac{\phi (x+at)+\phi (x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\underset{x-at}{\overset{x+at}{\int }}\psi (\alpha )d\alpha +\frac{1}{2a}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{x-a(t-\tau )}{\overset{x+a(t-\tau )}{\int }}f(s,\tau )dsd\tau$

Интересно е да се отбележи, че решението на еднородната задача

$u_{tt}=a^2{u}_{xx}$,

имащо следния вид

$u(x,t)=\frac{\phi (x+at)+\phi (x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\underset{x-at}{\overset{x+at}{\int }}\psi (\alpha )d\alpha$

Решение на двуизмерното вълново уравнение.

може да бъде представено и така

$u(x,t)=f_1(x+at)+f_2(x-at)$

където

$f_1(x)=\frac{\phi (x)}{2}+\frac{1}{2a}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\psi (\alpha )d\alpha$

$f_2(x)=\frac{\phi (x)}{2}+\frac{1}{2a}\underset{x}{\overset{0}{\int }}\psi (\alpha )d\alpha$

В такъв случай се казва, че решението е представено във вида на сбор от бягащи вълни, а функциите $f_1(x)$ и $f_2(x)$ са профили на вълните, бягащи, съответно, наляво и надясно. В разглеждания случа профилите на вълните се изменят с времето.

В многомерния случай решението на задачата на Коши може да бъде разложено на бягащи вълни, само че не в сбор, ами в интеграл, тъй като направленията стават безкрайно много. Това лесно се преодолява с помощта на трансформация на Фурие.

Методи за решение в ограничена едномерна област

Метод на отражение

Нека разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка $[0,a]$

$u_{tt}=a^2{u}_{xx}$

с еднородни гранични условия от първи род (тоест при фиксирани краища)

$u(0,t)=0u(a,t)=0$

и начални условия

$u(x,0)=\phi (x),u_t(x,0)=\psi (x)\mathrm{\forall }x\in [0,a]$

В дадения случай трябва безкрайно число на отражение и в резултат на това продължаването на първоначалните условия ще се определи по следния начин:

$\phi (2na+x)=\phi (x)\psi (2na+x)=\psi (x)\mathrm{\forall }x\in [0,a]\mathrm{\forall }n\in Z$

$\phi (2na-x)=-\phi (x)\psi (2na-x)=-\psi (x)\mathrm{\forall }x\in [0,a]\mathrm{\forall }n\in Z$

При разглеждането на нееднородно вълново уравнение:

$u_{tt}=a^2{u}_{xx}+f(x,t)$

се използват същите съображение и функцията $f(x,t)$ се продължава по такъв начин.

Метод на Фурие

Нека отново да разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка $[0,l]$

$u_{tt}=a^2{u}_{xx}$

с еднородни гранични условия от първи род

$u(0,t)=0u(l,t)=0$

и начални условия

$u(x,0)=\phi (x),u_t(x,0)=\psi (x)\mathrm{\forall }x\in [0,l]$

Методът на Фурие се основава на представянето на решението във вида на безкрайна линейна комбинация от прости решения на задачата от вида

$X(x)T(t)$, където и двете функции зависят само от една променлива.

Оттук е и другото название на метода – метод на разделянето на променливи.

Лесно е да се докаже, че за да може функцията $u(x,t)=X(x)T(t)$ да е решение на уравнението на колебание и да удовлетворява граничните условия, е необходимо да са изпълнени условията

$X(0)=0X(l)=0$

$a^2{X}^{″}(x)=-\lambda X(x)$

$T^{″}(t)=-\lambda T(t)$

Решението на задачата на Щурм при $X(x)$ води до резултат:

$X_n(x)=\sin \left(\frac{\pi nx}{l}\right)n\in 𝐍$

и техните собствени стойности ${\lambda }_n={\left(\frac{\pi na}{l}\right)}^2$

Съответстващите им функции $T$ изглеждат като

$T_n(t)={\alpha }_n\sin ({\sqrt{\lambda }}_{n}t)+\beta \cos ({\sqrt{\lambda }}_{n}t).$

По този начин, тяхната линейна комбинация (при условие, че редът е сходящ) е решение на смесената задача

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{X}_n(x)T_n(t)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}({\alpha }_n\sin ({\sqrt{\lambda }}_{n}t)+{\beta }_n\cos ({\sqrt{\lambda }}_{n}t))\sin \frac{\pi nx}{l}.$

Разлагайки функцията $\phi (x),\psi (x)$ в ред на Фурие, е възможно да се получат коефициентите ${\alpha }_n,{\beta }_n$, при които решението ще приеме такива начални условия.

Вижте също

• Частно диференциално уравнение
• Уравнение на електромагнитните вълни
• Уравнения на Максуел
• Уравнение на Поасон
• Уравнение на Лаплас
• Уравнение на Хелмхолц
• Електричен потенциал
• Магнитен векторен потенциал
• Закъсняващ потенциал