Уравнение на Поасон

Уравнението на Поасон е частно диференциално уравнение от елиптичен тип с широко приложение в машиностроенето и теретичната физика. То е полезно, например, при описване на потенциално поле, предизвикано от определен заряд или разпределение на плътността на масата. С известно потенциално поле става възможно да се изчисли гравитационното или електростатичното поле.

Уравнението представлява общ случай на уравнението на Лаплас, което също има широко приложение във физиката. Уравнение е кръстено в чест на френския математик Симеон Дени Поасон.

Същност

Уравнението на Поасон е:

$\mathrm{\Delta }\phi =f$

където $\mathrm{\Delta }$ е оператор на Лаплас, а $f$ и $\phi$ са реални или комплексни функции върху в дадено многообразие. Обикновено, $f$ е дадено, а се търси $\phi$. Когато многообразието е Евклидово пространство, операторът на Лаплас чест се обозначава с ∇², поради което уравнението на Поасон често се записва така:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =f.$

В тримерни Декартови координати, то приема вида:

$(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})\phi (x,y,z)=f(x,y,z).$

Когато $f=0$, се получава уравнението на Лаплас.

Уравнението на Поасон може да се реши и с функция на Грийн:

$\phi (𝐫)=-\iiint \frac{f({𝐫}^{\prime })}{4\pi |𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime },$

където интегралът обхваща цялото пространство. Съществуват различни методи за числено решение.