Уравнение на Лаплас

Уравнението на Лаплас е частно диференциално уравнение от втори ред, кръстено в чест на Пиер-Симон Лаплас, който първи изучава свойствата му. Обикновено, то се записва във вида:

\nabla^{2} f = 0 или Δ f = 0,

където $Δ = \nabla \cdot \nabla = \nabla^{2}$ е оператор на Лаплас, $\nabla \cdot$ е оператор на дивергенция, $\nabla$ е оператор на градиент, а $f (x, y, z)$ е двойно диференцируема реална функция. По този начин операторът на Лаплас съотнася една скаларна функция към друга скаларна функция.

Ако дясната страна на уравнението е вече известна функция, $h (x, y, z)$ , тогава се получава:

Δ f = h .

Този общ случай е известен като уравнение на Поасон. Уравненията на Лаплас и на Поасон са най-простите примери за елиптични частни диференциални уравнения. Всъщност, уравнението на Лаплас е частен случай на уравнението на Хелмхолц.

Общата теория от решения на уравнението на Лаплас, се нарича теория на потенциала. Решенията на уравнението са хармонични функции,^[1] които са важни в определени области на физиката, най-вече в електростатиката, гравитацията и динамиката на флуидите. В областта на топлопроводимостта, уравнението на Лаплас е уравнение на топлопроводимостта в стационарно състояние.^[2]

Вид в различни координатни системи

В Декартови координати:^[3]

Δ f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} = 0 .

В цилиндрични координати:^[3]

Δ f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial ϕ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} = 0 .

В сферични координати, използвайки конвенцията $(r, θ, φ)$ :^[3]

Δ f = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} \sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (\sin θ \frac{\partial f}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} θ} \frac{\partial^{2} f}{\partial φ^{2}} = 0 .

По-общо, в криволинейни координати:

Δ f = \frac{\partial}{\partial ξ^{j}} (\frac{\partial f}{\partial ξ^{k}} g^{k j}) + \frac{\partial f}{\partial ξ^{j}} g^{j m} Γ_{m n}^{n} = 0,

или

Δ f = \frac{1}{\sqrt{| g |}} \frac{\partial}{\partial ξ^{i}} (\sqrt{| g |} g^{i j} \frac{\partial f}{\partial ξ^{j}}) = 0, (g = d e t {g_{i j}}) .

Източници

↑ Stewart, James. Calculus : Early Transcendentals. 7th ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012. Chapter 14: Partial Derivatives. p. 908. ISBN 978-0-538-49790-9.
↑ Zill, Dennis G, and Michael R Cullen. Differential Equations with Boundary-Value Problems. 8th edition / ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013. Chapter 12: Boundary-value Problems in Rectangular Coordinates. p. 462. ISBN 978-1-111-82706-9.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics. 4th ed., Pearson, 2013. Inner front cover. ISBN 978-1-108-42041-9.

[1] Stewart, James. Calculus : Early Transcendentals. 7th ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012. Chapter 14: Partial Derivatives. p. 908. ISBN 978-0-538-49790-9.

[2] Zill, Dennis G, and Michael R Cullen. Differential Equations with Boundary-Value Problems. 8th edition / ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013. Chapter 12: Boundary-value Problems in Rectangular Coordinates. p. 462. ISBN 978-1-111-82706-9.

[Griffiths-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics. 4th ed., Pearson, 2013. Inner front cover. ISBN 978-1-108-42041-9.

[1]

[2]

[3]

Уравнение на Лаплас

Вид в различни координатни системи

Източници

Навигация

Търсене