Оператор на Д'Аламбер

В специалната теория на относителността, електромагнетизма и теорията на вълните, операторът на Д'Аламбер (обозначаван с кутийка: $◻$), също наричан Д'Аламбертиан или вълнов оператор, е лапласиан в пространството на Минковски. Операторът е наречен в чест на френския математик и физик Жан льо Рон д'Аламбер.

В пространство на Минковски и в стандартни координати Шаблон:Math операторът има следната форма:

$\begin{array}{cc}◻& ={\partial }^{\mu }{\partial }_{\mu }=g^{\mu \nu }{\partial }_{\nu }{\partial }_{\mu }=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\\ & =\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\mathrm{\Delta }.\end{array}$

Тук ∇² е триизмерен лапласиан, а Шаблон:Math е обратната метрика на Минковски с Шаблон:Класическа електродинамика

$g_{00}=1$, $g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1$, $g_{\mu \nu }=0$ for $\mu \ne \nu$.

Трябва да се отбележи, че показателите за сума на Шаблон:Math и Шаблон:Math са в диапазона от 0 до 3. Взети са такива единици предвид, че скоростта на светлината Шаблон:Mvar = 1.

Някои автори също така използват отрицателната метрична сигнатура от Шаблон:Nowrap, с $g_{00}=-1,g_{11}=g_{22}=g_{33}=1$.

Трансформациите на Лоренц оставят метриката на Минковски инвариантна, така че Д'Аламбертианът дава Лоренцов скалар. По-горният координатен израз остава валиден за стандартни координати във всяка инерциална система.

Алтернативна нотация

Има различни нотации за Д'Аламбертиана. Най-честото означение е със символа $◻$: четирите страни на квадрата представляват четирите измерения на пространство-времето и ${◻}^2$, който подчертава скаларното свойство. Символът понякога се нарича квабла (по аналогия с набла). Придържайки се към триъгълната нотация на лапласиана, понякога се използва и нотацията ∆_M.

Друг начин за изписване на Д'Аламбертиана в стандартни координати е с ∂². Тази нотация се използва основно в квантовата теория на полето, където частните производни обикновено се индексират.

Приложение

Вълновото уравнение за малки вибрации има вида:

${◻}_{c}u(x,t)\equiv u_{tt}-c^2{u}_{xx}=0,$

където Шаблон:Math е преместването.

Вълновото уравнение за електромагнитно поле във вакуум е:

$◻A^{\mu }=0$,

където Шаблон:Math е електромагнитният 4-потенциал.

Уравнението на Клайн – Гордън има вида:

$(◻+m^2)\psi =0$.

Функция на Грийн

Функцията на Грийн $G(\tilde{x}-{\tilde{x}}^{\prime })$ за Д'Аламбертиана е дефинирана от уравнението:

$◻G(\tilde{x}-{\tilde{x}}^{\prime })=\delta (\tilde{x}-{\tilde{x}}^{\prime })$

където Шаблон:Math е многоизмерната делта функция на Дирак, а Шаблон:Overset и Шаблон:Overset' са две точки в пространството на Минковски.

Специално решение се получава от забавената функция на Грийн, която съответства на разпространението на сигнал само напред във времето:

$G(\overrightarrow{r},t)=\frac{1}{4\pi r}\mathrm{\Theta }(t)\delta (t-\frac{r}{c})$,

където Θ е функцията на Хевисайд.

Запис в криволинейни координати

Операторът на Д'Аламбер в сферични координати:

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \mathrm{\Theta }}\frac{\partial }{\partial \mathrm{\Theta }}(\sin \mathrm{\Theta }\frac{\partial u}{\partial \mathrm{\Theta }})+\frac{1}{r^2{\sin }^2\mathrm{\Theta }}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\phi }^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2};$

в цилиндрични координати:

$\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial u}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2};$

в общи криволинейни координати (за пространство-време):

$◻u\equiv \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}\left(\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }\frac{\partial u}{\partial x^{\mu }}\right),$

където $g$ е детерминанта на матрицата $\Vert g_{\mu \nu }\Vert$, съставена от коефициентите на метричния тензор $g_{\mu \nu }$.

Вижте също

• 4-градиент