Векторно произведение

Векторното произведение на два вектора $𝐚$ и $𝐛$ е вектор, перпендикулярен на равнината, определена от векторите $𝐚$ и $𝐛$, образува дясна тройка с тях и има дължина, равна на произведението от големините на двата вектора и синуса на ъгъла между тях.

Ъгълът между два вектора приема стойности от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$, следователно синусът му, а оттам – и дължината на векторното произведение са неотрицателни (т.е. дължината е коректно дефинирана):

$\Vert 𝐚\times 𝐛\Vert =\Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert \sin \sphericalangle (𝐚;𝐛)$

Самото векторно произведение на два вектора се дефинира така:

$𝐚\times 𝐛=\Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert \sin \sphericalangle (𝐚;𝐛)\widehat{𝐧}$

като тук $\widehat{𝐧}=\frac{𝐚\times 𝐛}{\Vert 𝐚\times 𝐛\Vert }$.

Векторното произведение на $𝐚$ и $𝐛$

Ако са нанесени векторите $𝐚$ и $𝐛$ с общо начало, то директрисата на вектора $(𝐚\times 𝐛)$ минава през това начало и е перпендикулярна на равнината, образувана от $𝐚$ и $𝐛$. Посоката на вектора се определя с правилото $(𝐚,𝐛,𝐚\times 𝐛)$ да образуват дясно ориентирана тройка вектори.

Аналитично представяне

Ако векторите $𝐚$ и $𝐛$ са зададени с координатите си $𝐚=(a_1,a_2,a_3)$ и $𝐛=(b_1,b_2,b_3)$ в тримерното пространство и $𝐢,𝐣,𝐤$ са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система, то:

$𝐚\times 𝐛=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right)$.

По-подробно горната формула изглежда така: $\begin{array}{cc}𝐚\times 𝐛& =𝐢\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right)-𝐣\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{cc}{a}_1& a_3\\ b_1& b_3\end{array}\right)+𝐤\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right)\\ & =𝐢(a_2{b}_3-a_3{b}_2)-𝐣(a_1{b}_3-a_3{b}_1)+𝐤(a_1{b}_2-a_2{b}_1)\end{array}$

Свойства

• Антикомутативност: $𝐚\times 𝐛=-𝐛\times 𝐚$

Доказателство:

$\begin{array}{cc}𝐚\times 𝐛& =\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right)\\ & =-\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ b_1& b_2& b_3\\ a_1& a_2& a_3\end{array}\right)\\ & =-𝐛\times 𝐚\end{array}$

• Дистрибутивност: $(𝐚+𝐛)\times 𝐜=𝐚\times 𝐜+𝐛\times 𝐜$

Доказателство:

Тъй като $𝐚+𝐛=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$, то:

$\begin{array}{cc}(𝐚+𝐛)\times 𝐜& =\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_1+b_1& a_2+b_2& a_3+b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right)\\ & =\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_1& a_2& a_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right)+\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right)\\ & =𝐚\times 𝐜+𝐛\times 𝐜\end{array}$

• Линейност: $(\lambda 𝐚)\times (\mu 𝐛)=\lambda \mu (𝐚\times 𝐛)$ за произволни реални числа $\lambda$ и $\mu$.

Доказателство:

Понеже $\lambda 𝐚=(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)$ и $\mu 𝐛=(\mu b_1,\mu b_2,\mu b_3)$, то:

$\begin{array}{cc}(\lambda 𝐚)\times (\mu 𝐛)& =\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ \lambda a_1& \lambda a_2& \lambda a_3\\ \mu b_1& \mu b_2& \mu b_3\end{array}\right)\\ & =\lambda \mu \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right)\\ & =\lambda \mu (𝐚\times 𝐛)\end{array}$

• Ако $𝐚\parallel 𝐛$, то $𝐚\times 𝐛=\mathrm{𝟎}$

Доказателство:

Щом $𝐚\parallel 𝐛$, то $\sphericalangle (𝐚,𝐛)=0^{\circ }$, откъдето следва, че

$𝐚\times 𝐛=\Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert \sin 0^{\circ }\widehat{𝐧}=\mathrm{𝟎}$

Пресмятане на векторното произведение

Нека $𝐢,𝐣,𝐤$ са единичните вектори на дясно ориентирана ортонормирана координатна система. Тогава са в сила равенствата:

$\begin{array}{c}\mathrm{i}\times \mathrm{j}=\mathrm{k}\\ \mathrm{j}\times \mathrm{k}=\mathrm{i}\\ \mathrm{k}\times \mathrm{i}=\mathrm{j}\end{array}$.

Понеже векторното произведение е антикомутативно, то:

$\begin{array}{c}\mathrm{j}\times \mathrm{i}=-\mathrm{k}\\ \mathrm{k}\times \mathrm{j}=-\mathrm{i}\\ \mathrm{i}\times \mathrm{k}=-\mathrm{j}\end{array}$.

Освен това лесно може да се покаже, че $𝐢\times 𝐢=𝐣\times 𝐣=𝐤\times 𝐤=\mathrm{𝟎}$ (равенствата следват от антикомутативността на векторното произведение).

С помощта на тези равенства можем да изразим векторното произведение на векторите $𝐚$ и $𝐛$.

Понеже

$\begin{array}{cccccc}𝐚& =a_1𝐢& & +a_2𝐣& & +a_3𝐤\\ 𝐛& =b_1𝐢& & +b_2𝐣& & +b_3𝐤\end{array}$

то векторното произведение $𝐚\times 𝐛$ ще бъде равно на:

$\begin{array}{cc}𝐚\times 𝐛=& (a_1𝐢+a_2𝐣+a_3𝐤)\times (b_1𝐢+b_2𝐣+b_3𝐤)\\ =& a_1{b}_1(𝐢\times 𝐢)+a_1{b}_2(𝐢\times 𝐣)+a_1{b}_3(𝐢\times 𝐤)+\\ & a_2{b}_1(𝐣\times 𝐢)+a_2{b}_2(𝐣\times 𝐣)+a_2{b}_3(𝐣\times 𝐤)+\\ & a_3{b}_1(𝐤\times 𝐢)+a_3{b}_2(𝐤\times 𝐣)+a_3{b}_3(𝐤\times 𝐤)\\ =& a_1{b}_1\mathrm{𝟎}+a_1{b}_2𝐤-a_1{b}_3𝐣-\\ & a_2{b}_1𝐤+a_2{b}_2\mathrm{𝟎}+a_2{b}_3𝐢+\\ & a_3{b}_1𝐣-a_3{b}_2𝐢+a_3{b}_3\mathrm{𝟎}\\ =& (a_2{b}_3-a_3{b}_2)𝐢+(a_3{b}_1-a_1{b}_3)𝐣+(a_1{b}_2-a_2{b}_1)𝐤\\ \end{array}$

Геометрично тълкуване

Нека с $S$ бележим лицето на успоредника и нека $\theta$ е ъгълът, заключен между $𝐚$ и $𝐛$. Тогава:

$S=\Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert \sin \theta =\Vert 𝐚\times 𝐛\Vert$

Приложение

• В аналитичната геометрия: Пресмятане на лице на успоредник и лице на триъгълник;
• В механиката: пресмятане на момент на сила, въртящ момент;
• В механиката на непрекъснатите среди (електро -, аеро – и хидродинамика): пресмятане на ротацията на векторно поле.