Окръжност

Окръжност с радиус r, диаметър d и център М

Окръжността е геометрична затворена крива, образувана от множеството от точките в дадена равнина, намиращи се на определено разстояние (радиус, r) от определена точка (център). Диаметър на окръжността (d) е отсечка, свързваща две точки от окръжността и преминаваща през центъра ѝ, като дължината ѝ е два пъти радиуса (d = 2r).

Кръг

Фигурата, съставена от точките на окръжността и точките във вътрешността ѝ, т.е. точките, които са на разстояние от центъра, равно или по-малко от радиуса, се нарича кръг.

Окръжност се отнася към кръг в двуизмерното пространство, както сфера към кълбо в триизмерното.

Определения

Окръжността е и частен случай на елипса с два съвпадащи фокуса и може да бъде определена също като сечение на прав кръгов конус и равнина, перпендикулярна на оста му.

Площта S (лицето) на кръг с радиус r или диаметър d е

$S=\pi r^2=\pi d^2/4\approx 0,785d^2.$

Периметърът p (обиколката) на кръг, тоест дължината на окръжност, с радиус r или диаметър d е

$p=2\pi r=\pi d.$

По Евклид

Според класическото определение окръжността е геометричното място на точките в равнината, разположени на еднакво разстояние от дадена точка. В известното математическо съчинение „Елементи“ древногръцкият математик Евклид (IV – III век пр.н.е.) дава следното определение:

По Аполоний от Перге

Аполониевата дефиниция за окръжност: d₁/d₂ е константа

Аполоний от Перге (262 – 190 г. пр.н.е.) показва, че окръжността може да се определи и като множеството от точки в дадена равнина, за които съотношението на разстоянието до две зададени точки е постоянно и различно от единица.

Доказателството за еквивалентност на определението на Аполоний с класическото определение се състои от две части. Първо, трябва да се докаже, че при зададени две точки, фокусите A и B, и съотношение на разстоянията, всяка точка P, за която е изпълнено условието, трябва да лежи върху определена окръжност. Ако C е друга точка, също изпълняваща условието и лежаща на отсечката AB. От теоремата за ъглополовящата следва, че отсечката PC е ъглополовяща на вътрешния ъгъл APB, заради съотношението:

$\frac{|AP|}{|BP|}=\frac{|AC|}{|BC|}$

Аналогично отсечка PD през точка D на правата AB е ъглополовяща на съответния външен ъгъл BPQ, където Q лежи на правата AP. Тъй като сборът на вътрешния и външния ъгъл е 180°, ъгълът CPD е прав. Множеството от точки P, за които ъгълът CPD е прав, образуват окръжност, за която CD е диаметър. Вторият етап от доказателството е да се покаже, че всяка точка от въпросната окръжност удовлетворява зададеното съотношение на разстоянията.

Дефиницията на Аполоний е тясно свързана с едно отношение на окръжностите с геометрията на двойното отношение на точките в комплексната равнина. Ако точките A, B и C са зададени както в горното доказателство, Аполониевата окръжност за тези три точки е множеството от точките P, за които абсолютната стойност на двойното отношение е равна на 1:

$|[A,B;C,P]|=1$

Формулирано по друг начин, P е точка от Аполониевата окръжност тогава и само тогава, когато двойното отношение [A,B;C,P] лежи върху единичната окръжност на комплексната равнина.

Определението на Аполоний дава възможност за дефиниране и на т.нар. обобщена окръжност, множество от криви, включващо освен окръжностите в тесен смисъл, също и правите, образувани при:

$\frac{|AP|}{|BP|}=\frac{|AC|}{|BC|}=1$

В декартови координати

• Уравнението на окръжност с център $M=(x_M,y_M)$ и радиус $r$ е

  ${(x-x_M)}^2+{(y-y_M)}^2=r^2$

  ако $M$ съвпада с центъра на координатната система, уравнението придобива вида

  $x^2+y^2=r^2.$

• Параметрично представяне на окръжност:

  $x=x_M+r\cos \phi$

  $y=y_M+r\sin \phi$

  където координатите x и y се изразяват чрез параметъра $\phi$, който може да приема всички стойности в интервала $0\le \phi <2\pi$.

В полярни координати

Ако полярните координати на центъра на окръжност са $M=(r,\alpha )$, то окръжността с радиус $r$ се описва с равенството

$\rho (\phi )=2r\cos (\phi -\alpha )$, $0\le \phi <2\pi$

ако $M$ е началото на координатната система, то

$\rho =r.$

Термини, свързани с окръжността

• Всеки две точки от окръжността я делят на две части, които се наричат дъги на окръжността. Дъгата се нарича полуокръжност, ако отсечката, съединяваща краищата ѝ, е диаметър.
  • $d=2r$
• Кръгов сектор или просто сектор се нарича част от кръг, ограничена от дъга и два радиуса, които съединяват краищата на дъгата с центъра на кръга.
• Отсечка, съединяваща две точки от окръжност, се нарича хорда. Диаметърът на окръжността е хорда, минаваща през центъра ѝ.
• Сегмент се нарича част от кръг, ограничена от дъга и прилежащата ѝ хорда.
• Допирателна (тангента) се нарича права, имаща само една обща точка с окръжност, точката се нарича допирна точка.
• Секуща се нарича права, която има две общи точки с окръжност.
• Централен ъгъл на окръжност се нарича ъгъл, чийто връх съвпада с центъра на окръжността.
• Вписан ъгъл се нарича ъгъл, чийто връх лежи на окръжността, а раменете му са секущи.
• Периферен ъгъл се нарича ъгъл, на който върхът е точка от окръжността, едното рамо е допирателна към К, а другото пресича окръжността.
• Две окръжности, които имат общ център, се наричат концентрични.

Свойства

• Права и окръжност може да нямат общи точки, да имат една обща точка (правата е допирателна) и да имат две общи точки (правата е секуща).
• През три точки, нележащи на една права, може да се прекара само една окръжност.
• Допирната точка на две окръжности лежи на правата, съединяваща техните центрове.

Вижте също

• Вписана окръжност
• Описана окръжност