Мултииндекс

Шаблон:Без източници Мултииндекс е вид опростяване на формули в анализа на функции с много параметри, частните диференциални уравнения и теорията за обобщената функция, което генерализира концепцията за целочислен индекс до наредено множество от индекси.

Може да се каже, че N-измерен мултииндекс е N-измерен вектор над естествените числа

$\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$

За мултииндексите $\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}^n$ и $𝐱=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$ се дефинират:

$\alpha \pm \beta :=({\alpha }_1\pm {\beta }_1,{\alpha }_2\pm {\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n\pm {\beta }_n)$

$\alpha \le \beta \iff {\alpha }_i\le {\beta }_i\mathrm{\forall }i$

$|\alpha |={\alpha }_1+{\alpha }_2+\dots +{\alpha }_n$

$\alpha !={\alpha }_1!{\alpha }_2!\dots {\alpha }_n!$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })=\frac{\alpha !}{(\alpha -\beta )!\beta !}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_1}{{\beta }_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_2}{{\beta }_2})\dots (\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_n}{{\beta }_n})$

${𝐱}^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\dots x_n^{{\alpha }_n}$

$D^{\alpha }:=D_1^{{\alpha }_1}{D}_2^{{\alpha }_2}\dots D_n^{{\alpha }_n}$, където $D_i^j:={\partial }^j/\partial x_i^j$

Тази нотация позволява разширяването на всяка формула от елементарния анализ до вариант с много параметри. Следват няколко примера на приложението на мултииндексите:

• Ред:

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^k=\sum _{|\alpha |=k}^{}\frac{k!}{\alpha !}{𝐱}^{\alpha }$

• Формула на Лайбниц: за гладките функции u, v

$D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \le \alpha }^{}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\nu })D^{\nu }u{D}^{\alpha -\nu }v$

• Ред на Тейлър: за аналитични функции f

$f(𝐱+𝐡)=\sum _{|\alpha |\ge 0}^{}\frac{D^{\alpha }f(𝐱)}{\alpha !}{𝐡}^{\alpha }$

Теорема

Теоремата за мултииндексите гласи: Ако $i,k$ са мултииндекси в ${\mathbb{N}}^n$, и $x=(x_1,\dots ,x_n)$, то тогава

${\partial }^i{x}^k=\{\begin{array}{cc}\frac{k!}{(k-i)!}{x}^{k-i}& ,i\le k\\ 0& ,i>k\end{array}$