Многочлен

Многочлен или полином на реална променлива $x$ е функция, която се дефинира като сума от неотрицателните числени степени на $x$, умножени с реални числа, т.е. алгебричен израз от вида:

$P(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$ при $a_n\ne 0$

Отделните събираеми в израза се наричат едночлени или мономи, числата $a_1,a_2,...,a_n$ – коефициенти, а $n$ – степен на многочлена. Освен на една, многочлените могат да са функции и на повече от една променлива.

Над множеството от многочлени на една реална променлива се въвеждат две операции – събиране и умножение, спрямо които множеството представлява пръстен с единичен елемент – единичният елемент на $R[x]$. Многочлените се подчиняват на асоциативния, комутативния и дистрибутивния закон. В сила са следните твърдения:

• Два многочлена се наричат равни, когато са от една и съща степен и имат едни и същи коефициенти пред еднаквите степени.
• Сумата на два многочлена $f(x)={\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}^i$ и $g(x)={\sum }_{j=1}^m{b}_j{x}^j$ е многочлен $h(x)=\sum c_k{x}^k$, където $c_i=a_i\pm b_i$ и $k=max(i,j)$
• При същите означения, произведението на два многочлена е многочлен $h(x)=a_n{b}_m{x}^{n+m}+(a_{n-1}{b}_m+a_n{b}_{m-1})x^{n+m-1}+...+(a_0{b}_2+a_1{b}_1+a_2{b}_0)x^2+(a_1{b}_0+a_0{b}_1)x+a_0{b}_0$

Вижте също

• деление на полиноми
• триъгълник на Паскал
• полиномиално разпределение
• полиноми на Ермит, полиноми на Льожандър, полиноми на Чебишов, полиноми на Якоби

Източници

• „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
• „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х