Единици на Планк

Единици на Планк във физиката е система единици, основана на 5 фундаментални физически константи, показани в таблицата по-долу. Макс Планк приема, че тези константи са равни на 1 и изразява всички останали величини чрез тях. Използването на единиците на Планк елегантно опростява много от математическите формули в съвременната физика. Тези измерителни единици произлизат по естествен път от наблюденията на природните явления и за разлика от други мерни единици не са резултат от въвеждане на нарочен измерителен стандарт.

Единиците на Планк не са свързани с предварително зададен еталон, обект или частица, а със свойствата на вакуума. Някои специалисти наричат полу на шега единиците на Планк „Мерните единици на Господ“. С въвеждането на тези измерителни единици се избягват множеството произволно избрани измерителни единици.

Петте константи

константа	символ	измерение
скорост на светлината във вакуум	$c$	L T-1
гравитационна константа	$G$	M-1L3T-2
константа на Дирак	$\hslash =\frac{h}{2\pi }$ където $h$ е константа на Планк	ML2T-1
константа на Кулон	$\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}$ където ${ϵ}_0$ е диелектричната проницаемост на вакуума	Q-2 M L3 T-2
константа на Болцман	$k$	ML2T-2Θ-1

Основни единици на Планк

След като в системата единици на Планк горните константи са равни на 1, то единиците за дължина, маса, време, електрически заряд и температура са производни. Удобни са кохерентните измерителни системи, като SI например, при които производните единици се получават от основните без някакви мащабиращи коефициенти. По този начин можем да изведем едно множество от производни единици на Планк:

Име	количество	изразяване	приближение в SI единици	други означения
дължина на Планк	дължина (L)	$l_P=\sqrt{\frac{\hslash G}{c^3}}$	1,61624 × 10-35 m
маса на Планк	маса (M)	$m_P=\sqrt{\frac{\hslash c}{G}}$	2,17645 × 10-8 kg	1,311 × 1019 u
време на Планк	време (T)	$t_P=\frac{l_P}{c}=\frac{\hslash }{m_P{c}^2}=\sqrt{\frac{\hslash G}{c^5}}$	5,39121 × 10-44 s
заряд на Планк	електрически заряд (Q)	$q_P=\sqrt{\hslash c4\pi {ϵ}_0}$	1,8755459 × 10-18 C	11,70624 e
температура на Планк	температура (Θ)	$T_P=\frac{m_P{c}^2}{k}=\sqrt{\frac{\hslash c^5}{G{k}^2}}$	1,41679 × 1032 K

Производни единици на Планк

Във всички измерителни системи следните величини са производни на основните физически величини:

име	количество	изразяване	приближение в SI единици
импулс на Планк	импулс (MLT-1)	$m_{P}c=\frac{\hslash }{l_P}=\sqrt{\frac{\hslash c^3}{G}}$	6,52485 kg m/s
енергия на Планк	енергия (ML2T-2)	$E_P=m_P{c}^2=\frac{\hslash }{t_P}=\sqrt{\frac{\hslash c^5}{G}}$	1,9561 × 109 J
сила на Планк	сила (MLT-2)	$F_P=\frac{E_P}{l_P}=\frac{\hslash }{l_P{t}_P}=\frac{c^4}{G}$	1,21027 × 1044 N
мощност на Планк	мощност (ML2T-3)	$P_P=\frac{E_P}{t_P}=\frac{\hslash }{t_P^2}=\frac{c^5}{G}$	3,62831 × 1052 W
плътност на Планк	плътност (ML-3)	${\rho }_P=\frac{m_P}{l_P^3}=\frac{\hslash t_P}{l_P^5}=\frac{c^5}{\hslash G^2}$	5,15500 × 1096 kg/m³
ъглова честота на Планк	честота (T-1)	${\omega }_P=\frac{1}{t_P}=\sqrt{\frac{c^5}{\hslash G}}$	1,85487 × 1043 s-1
налягане на Планк	налягане (ML-1T-2)	$p_P=\frac{F_P}{l_P^2}=\frac{\hslash }{l_P^3{t}_P}=\frac{c^7}{\hslash G^2}$	4,63309 × 10113 Pa
ток на Планк	електрически ток (QT-1)	$I_P=\frac{q_P}{t_P}=\sqrt{\frac{c^{6}4\pi {ϵ}_0}{G}}$	3,4789 × 1025 A
напрежение на Планк	напрежение (ML2T-2Q-1)	$V_P=\frac{E_P}{q_P}=\frac{\hslash }{t_P{q}_P}=\sqrt{\frac{c^4}{G4\pi {ϵ}_0}}$	1,04295 × 1027 V
импеданс на Планк	съпротивление (ML2T-1Q-2)	$Z_P=\frac{V_P}{I_P}=\frac{\hslash }{q_P^2}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_{0}c}=\frac{Z_0}{4\pi }$	29,9792458 Ω

Фундаментални уравнения на физиката, добиващи безразмерен вид при изразяване в измерителни единици на Планк

При преминаване в измерителни единици на Планк много от известните ни уравнения във физиката се опростяват:

	Стандартна формула с размерност	Безразмерна формула в планкови единици
Закон на Нютон за всеобщата гравитация	$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$	$F=\frac{m_1{m}_2}{r^2}$
Уравнение на Шрьодингер	$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (𝐫,t)+V(𝐫)\psi (𝐫,t)=i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}(𝐫,t)$	$-\frac{1}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (𝐫,t)+V(𝐫)\psi (𝐫,t)=i\frac{\partial \psi }{\partial t}(𝐫,t)$
Енергия на частица с вълнова функция в радиани$\omega$	$E=\hslash \omega$	$E=\omega$
Уравнение на Айнщайн за маса /енергия в специална теория на относителността	$E=m{c}^2$	$E=m$
Уравнения на Айнщайн за ОТО	$G_{\mu \nu }=8\pi \frac{G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$	$G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }$
Топлинна енергия на частица	$E=\frac{1}{2}kT$	$E=\frac{1}{2}T$
Закон на Кулон	$F=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}$	$F=\frac{q_1{q}_2}{r^2}$
Уравнения на Максуел	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{1}{{ϵ}_0}\rho$ $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$ $\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ $\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉+{\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=4\pi \rho$ $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$ $\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ $\mathrm{\nabla }\times 𝐁=4\pi 𝐉+\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

История на откритието

Единиците, носещи името на Макс Планк, са предложени от него, когато през май 1899 г. той публикува в списанието на Пруската академия на науките своето откритие – константата на Планк – h. Към този момент квантовата механика все още не е формулирана и такава измерителна единица не съществува.

По-рано, през 1881 г., ирландският физик Джордж Стони вече е предложил идеята стойностите на четири фундаментални константи да се приемат за единица, т.е.

$c=G=k_{\text{e}}=e=1$

В тази система зарядът на електрона не е производен, а е приет за единица, така че приведената константа на Планк е

$\hslash =\frac{1}{\alpha }\approx 137.0359991$

където α е константа на тънката структура.

Външни препратки

• John D. Barrow, 2002. The Constants of Nature; From Alpha to Omega – The Numbers that Encode the Deepest Secrets of the Universe. Pantheon Books. ISBN 0-375-42221-8.

• The NIST website(National Institute of Standards and Technology) is a convenient source of data on the commonly recognized constants, including Planck units.
• Planck's original paper Шаблон:Webarchive
• A note on h and h-bar – Blaze Labs Research Argues that h-bar should not be used to derive Planck's units