Уравнение на Шрьодингер

Шаблон:Без източници Шаблон:Навигационна кутия за физична дисциплина Уравнението на Шрьодингер е постулат в квантовата механика. То е частно диференциално уравнение от втори ред за еволюцията на вълновата функция:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (\overrightarrow{r},t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (\overrightarrow{r},t)+V(\overrightarrow{r},t)\psi (\overrightarrow{r},t)$

или съкратено:

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{H}(t)\psi ,$

където $\hat{H}(t)$ е (евентуално) зависещия от времето $t$ оператор на Хамилтон за дадената система. В случаите, когато потенциалът $V$ не зависи явно от времето, енергията на системата е интеграл на движението и вълновата функция може да се представи като произведение на осцилиращ член $\exp (-i\frac{E}{\hslash }t)$ (където $E$ е енергията на системата), който не зависи от координатите и временезависима координатна част $\psi (\overrightarrow{r})$, която се намира като решение на т.нар. стационарно уравнение на Шрьодингер:

$\hat{H}\psi =E\psi$

или

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (\overrightarrow{r})+(E-V(\overrightarrow{r}))\psi (\overrightarrow{r})=0$

Уравнението на Шрьодингер представлява еволюцията на вълновата функция в представяне на Шрьодингер.

Извод

Кратък евристичен извод

Следващият евристичен подход, макар и различен от този, който следва Шрьодингер, много добре илюстрира логиката и физическите съображения при извода.

Допускания

1. Пълната енергия E на една частица е

   $E=T+V=\frac{p^2}{2m}+V.$

   Това е класически израз за частица с маса m, където пълната енергия E е сума от кинетичната енергия $T=\frac{p^2}{2m}$ и потенциалната енергия V (която може да се променя с местоположението и времето). p и m са съответно импулса и масата на частицата.

2. Хипотезата на Планк за квантите на светлината от 1905 г., съгласно която енергията E на фотона е пропорционална на честотата ν (или ъгловата честота, ω = 2πν) на съответстващата електромагнитна вълна:

   $E=h\nu =\frac{h}{2\pi }(2\pi \nu )=\hslash \omega ,$

   където честотата $\nu$ на фотона е свързана с константата на Планк h,

   и $\omega =2\pi \nu ;$ е ъгловата честота на вълната.

3. Хипотезата на дьо Бройл от 1924 г., съгласно която всяка частица може да бъде асоциирана с вълна, а също и че импулсът на частицата p е свързан с дължината на вълната λ (или вълновото число k) по следния начин:

   $p=\frac{h}{\lambda }=\frac{h}{2\pi }\frac{2\pi }{\lambda }=\hslash k$

   където $\lambda$ е дължината на вълната, а $k=2\pi /\lambda$ – нейното вълново число.

   Изразявайки p и k като вектори, имаме

   $𝐩=\hslash 𝐤.$

Тези три допускания позволяват да изведем уравнението само за плоска вълна. За да е валидно в общия случай е необходимо да включим в допущанията и принципа за суперпозицията, като по този начин постулираме, че уравнението на Шрьодингер е линейно.

Изразяване на вълновата функция като комплексна плоска вълна

Голямото прозрение на Шрьодингер през 1925 г. е да изрази фазата на плоската вълна като комплексен фазов фактор

$\mathrm{\Psi }(𝐱,t)=A{e}^{i(𝐤\cdot 𝐱-\omega t)}$

и да си да даде сметка, че доколкото

$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=-i\omega \mathrm{\Psi }$,

то

$E\mathrm{\Psi }=\hslash \omega \mathrm{\Psi }=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }$

По подобен начин от

$\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{\Psi }=i{k}_x\mathrm{\Psi }$

и

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{\Psi }=-k_x^2\mathrm{\Psi }$

се стига до

$p_x^2\mathrm{\Psi }=(\hslash k_x{)}^2\mathrm{\Psi }=-{\hslash }^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{\Psi }$

така че, отново за плоска вълна, той получава:

$p^2\mathrm{\Psi }=(p_x^2+p_y^2+p_z^2)\mathrm{\Psi }=-{\hslash }^2(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})\mathrm{\Psi }=-{\hslash }^2{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }$

След като заместим тези изрази за енергията и импулса в класическата формула, с която започнахме, получаваме прочутото уравнение на Шрьодингер за единична частица в три измерения при наличие на потенциал V:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }+V\mathrm{\Psi }$

Вижте също

• Котка на Шрьодингер