Градиент

Тази статия е за математическото понятие. За градиент в химията вижте йонен градиент.

---

Градиентът на функцията $f(x,y)=-(co{s}^2(x)+co{s}^2(y){)}^2$ изобразен като векторно поле, проектирано върху долната равнина. Червените стрелки показват посоката на нарастване на функцията.

Градиèнт във векторния анализ е векторен оператор, действащ върху скаларно поле. Градиентът на скаларно поле е векторно поле, наречено градиентно поле, което показва величината и посоката на промяна на скаларното поле и по стойност (модул) е равен на темпа на промяната му в тази посока.

Градиентът се означава с grad или набла $\mathrm{\nabla }$ и в триизмерна правоъгълна координатна система $(x,y,z)$ се дефинира като:

$\mathrm{grad}f(x,y,z)=\mathrm{\nabla }f=\frac{\partial f}{\partial x}{\overrightarrow{e}}_x+\frac{\partial f}{\partial y}{\overrightarrow{e}}_y+\frac{\partial f}{\partial z}{\overrightarrow{e}}_z$

където $f$ е скаларна, непрекъсната и диференцируема функция и ${\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_z$ са единични вектори. Резултатът от операцията градиент е вектор или множество от вектори или векторна функция в зависимост от областта, в която е дефинирана функцията $f$. Градиентът се прилага само върху скаларни величини, представлява мярка за максималната промяна на величината и има посока на най-стръмното покачване на величината в дадена точка.

От определението се вижда, че градиентът е производната по отношение на пространството, но за разлика от производната по отношение на едномерното време, градиентът не е скаларна, а векторна величина. Пространството, върху което са дефинирани функцията и нейният градиент, може, най-общо казано, да бъде или обикновено триизмерно пространство, или пространство с всяко друго измерение от каквато и да е физическа природа, или чисто абстрактно (безразмерно) пространство.

Градиент на двумерната функция $f(x,y)=x.exp(x^2+y^2)$, изобразен със сини стрелки.

Етимология

Думата „градиент“ произхожда от латинските думи gradiens (постепенно нарастване) и gradientis („постепенно нарастващ“), затова при буквалния превод постепенното намаляване се нарича antigradiens (антиградиент).

Във векторния анализ „градиент“ означава изменение и в двете посоки, като при нарастване величината е с положителен, а при намаляване – с отрицателен знак, определен от знака на първата производна.

Общи сведения

Терминът се появява за първи път в метеорологията и е въведен в математиката от Джеймс Максуел през 1873 г.; означението $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ също е предложено от Максуел.

Пример: Нека температурата в помещение се задава с помощта на скаларното поле T по такъв начин, че във всяка точка, дадена с координати (x, y, z), температурата е T(x, y, z) (приема се, че температурата не се променя във времето). Във всяка точка в помещението градиентът на функцията Т ще сочи в посоката, в която температурата се повишава най-бързо. Големината на градиента определя колко бързо се повишава температурата в дадена посока.

Операцията градиент преобразува хълма (в ляво), гледан отгоре, във векторно поле (в дясно). Вижда се, че векторите са насочени към проекцията на върха върху равнината и колкото са по-дълги, толкова по-стръмен е наклонът.

Например, ако височината на земната повърхност над морското равнище се вземе като скаларна функция $f$, тогава нейният градиент във всяка точка от повърхността ще покаже „посоката на най-стръмното изкачване“ и неговата стойност ще характеризира стръмността на наклона.

От математическа гледна точка градиентът може да се разглежда като:

1. Коефициент на линейна зависимост на промяната в стойността на функция на много променливи от промяната в стойността на аргумента;
2. Вектор в пространството на областта на скаларна функция на много променливи, съставена от частни производни;
3. Редовете на матрицата на Якоби съдържат градиенти на съставни скаларни функции, които образуват векторна функция на много променливи.

Ако $f$ е функция от $n$ променливи $x_1,\dots ,x_n$, тогава неин градиент е $n$-мерният вектор $(\frac{\partial \phi }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial \phi }{\partial x_n}),$ чиито компоненти са равни на частните производни на $f$ по отношение на всички нейни аргументи. Така размерността на градиентния вектор се определя от размерността на пространството (или многообразието), върху което е дадено скаларното поле.

Смисълът на градиента на всяка скаларна функция $f$ е, че нейното скаларно произведение с безкрайно малък вектор на преместване $d𝐱$ дава общия диференциал на тази функция със съответната промяна в координатите в пространството, в което е дефинирана $f$, тоест линейната (в общия случай тя е и главната) част от изменението на $f$ когато аргументът $x$ се измени с $d𝐱$. Използвайки една и съща буква за означаване на функция на вектор и съответната функция на неговите координати, може да се напише:

$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}d{x}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}d{x}_2+\frac{\partial f}{\partial x_3}d{x}_3+\dots =\sum _i\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i=(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}𝐟\cdot d𝐱).$

Тук следва да се отбележи, че тъй като формулата за общия диференциал не зависи от вида на координатите $x_i$, тоест от естеството на параметрите $x$ като цяло, полученият диференциал е инвариант, т.е. скалар, при всякакви координатни преобразования, и тъй като $d𝐱$ е вектор, тогава градиентът, изчислен по обичайния начин, се оказва ковариантен вектор, тоест вектор, представен в двоен базис, който само скалар може да даде чрез просто сумиране на произведенията от координатите на обичайния контравариантен вектор, тоест вектор, записан в обичайния базис. По този начин най-общо за произволни криволинейни координати изразът може да бъде записан съвсем правилно и инвариантно като:

$df=\sum _i({\partial }_{i}f)d{x}_i$

или, пропускайки знака за сумата според правилото на Айнщайн,

$df=({\partial }_{i}f)d{x}_i$.

Градиентът се оказва истински ковариантен вектор във всякакви криволинейни координати.

Използвайки интегралната теорема

$\underset{V}{\iiint }\mathrm{\nabla }fdV=\underset{S}{\iint }fd𝐬$,

градиентът може да бъде изразен в интегрална форма:

$\mathrm{\nabla }f=\underset{V\to 0}{lim}\frac{1}{V}\left(\underset{S}{\iint }fd𝐬\right),$

тук $𝑆$ е затворена повърхност, обхващаща обема $𝑉;𝑑𝐬$ е нормален елемент към тази повърхност.

Например, градиентът на функцията $f(x,y,z)=2x+3y^2-5\sin z$ е

$\mathrm{\nabla }f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})=(2,6y,-5\cos z).$

Геометричен смисъл

Разглежда се семейството от линии на ниво на функцията $f$:

$\gamma (h)=\{(x_1,\dots ,x_n)\mid f(x_1,\dots ,x_n)=h\}.$

Лесно е да се покаже, че градиентът на функцията $f$ в точката $\overrightarrow{x}{}^0$ е перпендикулярен на нейната линия на ниво, минаваща през тази точка. Модулът на градиента показва максималната скорост на промяна на функцията в близост до $\overrightarrow{x}{}^0$, тоест честотата на линиите на нивото. Например линиите на надморската височина се показват на топографски карти, като градиентният модул показва стръмността на спускането или изкачването в дадена точка.

Връзка с производна по посока

Използвайки правилото за диференциране на сложна функция, е лесно да се покаже, че производната на функцията $f$ в посока $\overrightarrow{e}=(e_1,\dots ,e_n)$ е равна на скаларното произведение на градиента $f$ и единичния вектор $\overrightarrow{e}$:

$\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{e}}=\frac{\partial f}{\partial x_1}{e}_1+\dots +\frac{\partial f}{\partial x_n}{e}_n=(\mathrm{\nabla }f,\overrightarrow{e}).$

По този начин, за да се изчисли производната на скаларна функция на векторен аргумент във всяка посока, е достатъчно да се знае градиентът на функцията, тоест векторът, чиито компоненти са неговите частични производни.

Градиент в ортогонални криволинейни координати

Общата формула за градиент в ортогонални криволинейни координати $(q_1,q_2,q_3)$ е

$\mathrm{grad}f(q_1,q_2,q_3)=\frac{1}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1}{\overrightarrow{e}}_1+\frac{1}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2}{\overrightarrow{e}}_2+\frac{1}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3}{\overrightarrow{e}}_3,$

където $H_i$ са коефициенти на Ламе, а ${\overrightarrow{e}}_i$ са единични вектори.

Полярни координати в равнина

Коефициентите на Ламе са $H_1=1$ и $H_2=r,$ откъдето:

$\mathrm{grad}f(r,\phi )=\frac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi }\overrightarrow{e_{\phi }}.$

Цилиндрични координати

Коефициентите на Ламе имат стойности $H_1=1$ , $H_2=r$ и $H_3=1$ , откъдето:

$\mathrm{grad}f(r,\phi ,z)=\frac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi }\overrightarrow{e_{\phi }}+\frac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{e_z}.$

Сферични координати

Коефициентите на Ламе са $H_1=1$ , $H_2=r$ и $H_3=r\sin \theta$ , откъдето:

$\mathrm{grad}f(r,\theta ,\phi )=\frac{\partial f}{\partial r}\overrightarrow{e_r}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \phi }\overrightarrow{e_{\phi }}.$

Изчисление на градиент

Правила за изчисление

За всички константи $c\in ℝ$ и скаларни полета $u,v:{ℝ}^n\to ℝ$ се прилагат следните правила:

1. Диференциране на константа: $\mathrm{grad}c=\overrightarrow{0}$

2. Линейност:

$\mathrm{grad}(c\cdot u)=c\cdot \mathrm{grad}u$

$\mathrm{grad}(u+v)=\mathrm{grad}u+\mathrm{grad}v$

3. Правило за произведението

$\mathrm{grad}(uv)=u\mathrm{grad}v+v\mathrm{grad}u$

4. Верижно правило

$\mathrm{grad}(u(v))=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}\mathrm{grad}v$

$\mathrm{grad}(u^n)=n{u}^{n-1}\mathrm{grad}u,n\in ℝ,\ne 0$

Вижте също #Полезни формули.

5. Интегрални теореми

${\int }_{\overrightarrow{a}}^{\overrightarrow{b}}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(u(\overrightarrow{r}))\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=u(\overrightarrow{b})-u(\overrightarrow{a})$

Тук „·“ е скаларно произведение и пътят от $\overrightarrow{a}$ до $\overrightarrow{b}$ е произволен. Тази независимост на пътя характеризира градиентните полета, вижте също #Консервативни сили.

${\int }_V\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(u)\mathrm{d}V={\int }_{S}u\hat{n}\mathrm{d}S$

${\int }_S\hat{n}\times \mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(u)\mathrm{d}S={\int }_{Q}u\mathrm{d}\overrightarrow{r}$

Тук „×“ е векторно произведение, $u$ е двумерно непрекъснато диференцируемо поле и $\hat{n}$ е външният нормален единичен вектор върху затворената повърхност $S$ на обема $V$ и $Q$ е частично гладка затворена гранична крива на повърхността $S$. Безкоординатното представяне като производна на обем следва от първия интеграл на обема, ако обемът стане толкова малък, че градиентът в него е приблизително постоянен.

Полезни формули

Следните градиенти са често срещани във физиката. Използва се радиус-векторът $\overrightarrow{r}=r{\hat{e}}_r$.

$\mathrm{grad}r={\hat{e}}_r=\frac{\overrightarrow{r}}{r}$

$\mathrm{grad}U(r)=\frac{\partial U}{\partial r}{\hat{e}}_r$

$\mathrm{grad}\frac{1}{r}=-\frac{1}{r^2}\mathrm{grad}r=-\frac{{\hat{e}}_r}{r^2}=-\frac{\overrightarrow{r}}{r^3}$

$\mathrm{grad}\frac{1}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}=-\frac{1}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^2}\mathrm{grad}|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|=-\frac{\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^3}$

В последния пример градиентът действа само върху $\overrightarrow{r}$, а не върху ${\overrightarrow{r}}^{\prime }$ и следователно също се записва като ${\mathrm{\nabla }}_{\overrightarrow{r}}$.

Консервативни сили

Във физиката много силови полета могат да бъдат представени като градиент на потенциал. Примери за това са:

• гравитационна сила

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{.}}(x,y,z)=-m\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }(x,y,z),$

или с отчитане на централната маса M, разположена в началото на координатите:

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{.}}(r)=-m\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }(r)=\mathrm{grad}\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{r^3}\overrightarrow{r}$

• статични електрически полета $\overrightarrow{E}$ в електродинамиката

$\overrightarrow{E}(x,y,z)=-\mathrm{grad}\mathrm{\Phi }(x,y,z).$

В консервативните силови полета извършената работа от пробните маси или пробните заряди се определя от интеграла по пътя им $L$ през полето $W={\int }_L\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}$ и зависи само от началната и крайната точка на пътя, но не и от курса му, виж #Правила за изчисление, интегрални теореми.

Градиент в други науки

Във физиката

В различни клонове на физиката се използва понятието градиент на различни физически полета.

Например интензитетът на електростатичното поле е минус градиента на електричния потенциал, интензитетът на гравитационното поле (ускорението на свободното падане) в класическата теория на гравитацията е минус градиента на гравитационния потенциал. Консервативната сила в класическата механика е минус градиента на потенциалната енергия.

В природните науки

Концепцията за градиент се използва не само във физиката, но и в сродни и дори относително далечни от физиката науки (понякога това приложение е количествено, а понякога само качествено).

Например, градиент на концентрацията е увеличаване или намаляване на концентрацията на разтворено вещество във всяка посока, градиент на влажността е повишаване или намаляване на [[влажност]та на средата в някаква посока и т.н.

Градиентът на такива стойности може да бъде причинен от различни причини, например механично препятствие, действието на електромагнитни, гравитационни или други полета или разлика в силата на разтваряне на съседните фази.

В метеорологията

В метеорологията се използват понятията барометричен и температурен (термометричен) градиент.

Барометричният градиент (БГ) е разликата в показанията на барометрите (приведени до морското равнище) на две места, разположени в посоката, в която в момента еластичността на въздуха намалява най-бързо, т.е. в посоката, перпендикулярна на изобарите или линиите на равни налягания, на разстояние от един меридианен градус (111 km). Колкото по-високо е барометричното налягане в даден район, толкова повече се нарушава въздушният баланс и толкова по-силен трябва да е вятърът. Стефенсон първо обръща внимание на това и законът, изразяващ връзката между БГ и силата на вятъра, се нарича закон на Стефенсон. При БГ 1,78 мм вече може да се очакват силни ветрове. Силата на вятъра обаче зависи и от други фактори, сред които най-важни са неравностите на земната повърхност, температурата и влажността на въздуха: при еднакъв БГ морският вятър е по-силен от континенталния, а топлите и влажните ветрове са по-силни от студените и сухите. Най-големите градиенти се срещат в циклоните, особено тропическите, където достигат 10 или дори повече mm на 111 km. Барометричният градиент показва степента на неравномерност в разпределението на атмосферното налягане в хоризонтално направление. Той се определя с помощта на внимателно съставени метеорологични или синоптични карти, като разликата във височините на барометрите, съответстващи на две съседни изобари, се раздели на разстоянието между тях, изразено в градуси от меридиана (111 km ≡ 1°). Начини за по-точното му определяне са дадени в специализираната литература.

Температурният градиент (ТГ) определя степента на неравномерност в разпределението на температурата. Това е разликата в температурите на две места, разположени на разстояние между тях, равно на 1 градус от меридиана (111 km) в посока, перпендикулярна на изотермите (линиите с еднаква температура). Стойността на ТГ в Европа понякога достига 4 или дори повече градуса по Целзий при постъпателното движение на циклоните и антициклоните.

В икономиката

В икономическата теория понятието градиент се използва за обосноваване на определени заключения. По-специално, методът на множителите на Лагранж и условията на Каруш–Кун–Такър (заимствани от естествените науки), използвани за намиране на оптимума на потребителя, се основават на сравняване на градиентите на функцията на полезност и функцията на бюджетното ограничение.

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. – Современная геометрия методы и приложения: учебное пособие для физико-математических специальностей университетов. — М.: Наука, 1986. — 759 с.

Външни препратки

• Броунов П. И. – Градиент // Энциклопедический словарь Ф. А. Брокгауза и И. А. Ефрона, в 86 томах (82 т. и 4 доп.) с иллюстрациями и дополнительными материалами) — СПб., 1890—1907.